Fibonačijev niz je matematički niz primećen u mnogim fizičkim, hemijskim i biološkim pojavama.
Ime je dobio po italijanskom matematičaru Fibonačiju. Predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule a prva dva člana su mu 0 i 1.
To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao Fn, za n = 0, 1, … , su:
Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.
Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.
Ako znamo Fibonačijeve brojeve i onda možemo naći broj po formuli
Također imamo
Uopšteno
Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonači, iako su ranije opisani u Indiji.
U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj koji je korjen jednačine i
Iz Binetove formule
Gdje je
Dalje imamo
i
Za sve vrijednosti a , b definišimo niz
Zadovoljena je i relaciija
Neka su i izabrani tako da je i onda dobijeni niz mora biti Fibonaccijev niz.
Brojevi i zadovoljavaju relaciju
Odnosno imamo
Uzimajući i kao početne varijable imamo
Odnosno
Posmatrajmo sada
Za , broj najbliži cio broj je , koji se može dobiti iz funkcije
ili
Slično ako je F>0 Fiboničijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.
gdje se može izračunati korištenjem logaritma druge baze
Primjer
Najveći zajednički djelitelj dva Fibonačijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa
Posljedice
je djeljiv sa ako i samo ako je djeljivo sa ( bez )
je prost ako je prost broj sa isključenjem
Obratno ne važi tj ako je prost broj ne mora biti prost
Njegov polinom ima korjene i
U nizu Fibonačijevih brojeva kvadrati ≤10^100 su Fibonačijevi brojevi sa indeksima 0, 1, 2, 12: , , , .
Generirajuća funkcija niza fibonaccijevih brojeva je
Prvih 21 Fibonačijevih brojeva za
F0 | F1 | F2 | F3 | F4 | F5 | F6 | F7 | F8 | F9 | F10 | F11 | F12 | F13 | F14 | F15 | F16 | F17 | F18 | F19 | F20 |
0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610 | 987 | 1597 | 2584 | 4181 | 6765 |
Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.
Niz brojeva za
F−8 | F−7 | F−6 | F−5 | F−4 | F−3 | F−2 | F−1 | F0 | F1 | F2 | F3 | F4 | F5 | F6 | F7 | F8 |
−21 | 13 | −8 | 5 | −3 | 2 | −1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 |
Opšte formule
gdje matrice imaju oblik , i je imaginarna jedinica.
Za bilo koji
Posljedica
Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je
Fibonačijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki slijedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.
Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonačijem i prirodom:
This article uses material from the Wikipedia Srpskohrvatski / Српскохрватски article Fibonaccijev niz, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Sadržaj je dostupan pod CC BY-SA 4.0 osim ako je drugačije navedeno. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Srpskohrvatski / Српскохрватски (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.