Fibonaccijev Niz

Fibonačijev niz je matematički niz primećen u mnogim fizičkim, hemijskim i biološkim pojavama.

Ime je dobio po italijanskom matematičaru Fibonačiju. Predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule a prva dva člana su mu 0 i 1.

Fibonaccijev Niz
Popločanje s kvadratima čije su stranice po dužini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi

To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao Fn, za n = 0, 1, … , su:

    0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.

Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.

Ako znamo Fibonačijeve brojeve i onda možemo naći broj po formuli

Također imamo

Uopšteno

Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonači, iako su ranije opisani u Indiji.

Odnos prema zlatnom odnosu

U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj Fibonaccijev Niz  koji je korjen jednačine Fibonaccijev Niz  i

Fibonaccijev Niz 

Iz Binetove formule

Fibonaccijev Niz 

Gdje je

    Fibonaccijev Niz 
    Fibonaccijev Niz 

Dalje imamo

Fibonaccijev Niz 

i

Fibonaccijev Niz 

Za sve vrijednosti a , b definišimo niz

Fibonaccijev Niz 

Zadovoljena je i relaciija

Fibonaccijev Niz 

Neka su Fibonaccijev Niz  i Fibonaccijev Niz  izabrani tako da je Fibonaccijev Niz  i Fibonaccijev Niz onda dobijeni niz mora biti Fibonaccijev niz.

Brojevi Fibonaccijev Niz  i Fibonaccijev Niz  zadovoljavaju relaciju

Fibonaccijev Niz 

Fibonaccijev Niz 

Odnosno imamo

Fibonaccijev Niz 

Uzimajući Fibonaccijev Niz  i Fibonaccijev Niz  kao početne varijable imamo

Fibonaccijev Niz 

Odnosno

    Fibonaccijev Niz 
    Fibonaccijev Niz .

Posmatrajmo sada

    Fibonaccijev Niz 

Za Fibonaccijev Niz , broj Fibonaccijev Niz  najbliži cio broj je Fibonaccijev Niz , koji se može dobiti iz funkcije

    Fibonaccijev Niz 

ili

    Fibonaccijev Niz 

Slično ako je F>0 Fiboničijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.

    Fibonaccijev Niz 

gdje se Fibonaccijev Niz  može izračunati korištenjem logaritma druge baze

Primjer

Fibonaccijev Niz 

Osobine

Najveći zajednički djelitelj dva Fibonačijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa

Posljedice

Fibonaccijev Niz  je djeljiv sa Fibonaccijev Niz  ako i samo ako je Fibonaccijev Niz  djeljivo sa Fibonaccijev Niz ( bez Fibonaccijev Niz )

  • Fibonaccijev Niz  je djeljivo sa Fibonaccijev Niz  samo ako je Fibonaccijev Niz 
  • Fibonaccijev Niz  je djeljivo sa Fibonaccijev Niz  samo ako je Fibonaccijev Niz 
  • Fibonaccijev Niz  je djeljivo sa Fibonaccijev Niz  samo ako je Fibonaccijev Niz 

Fibonaccijev Niz  je prost ako je Fibonaccijev Niz  prost broj sa isključenjem Fibonaccijev Niz 

    Fibonaccijev Niz 

Obratno ne važi tj ako je Fibonaccijev Niz  prost broj Fibonaccijev Niz  ne mora biti prost

    Fibonaccijev Niz 

Njegov polinom Fibonaccijev Niz  ima korjene Fibonaccijev Niz  i Fibonaccijev Niz 

Fibonaccijev Niz 

U nizu Fibonačijevih brojeva kvadrati ≤10^100 su Fibonačijevi brojevi sa indeksima 0, 1, 2, 12: Fibonaccijev Niz , Fibonaccijev Niz , Fibonaccijev Niz , Fibonaccijev Niz .

Generirajuća funkcija niza fibonaccijevih brojeva je Fibonaccijev Niz 

Fibonnačijev niz brojeva

Prvih 21 Fibonačijevih brojeva Fibonaccijev Niz  za Fibonaccijev Niz 

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.

    Fibonaccijev Niz 
    Fibonaccijev Niz 

Niz brojeva Fibonaccijev Niz  za Fibonaccijev Niz 

F−8 F−7 F−6 F−5 F−4 F−3 F−2 F−1 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
−21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21

Identiteti

  • Fibonaccijev Niz 
  • Fibonaccijev Niz 
  • Fibonaccijev Niz 
  • Fibonaccijev Niz 
  • Fibonaccijev Niz  (см. рис.)
  • Fibonaccijev Niz 
  • Fibonaccijev Niz 
  • Fibonaccijev Niz 
  • Fibonaccijev Niz 

Opšte formule

  • Fibonaccijev Niz 
  • Fibonaccijev Niz 
  • Fibonaccijev Niz 
      Fibonaccijev Niz , kao i Fibonaccijev Niz ,

gdje matrice imaju oblik Fibonaccijev Niz , i  je imaginarna jedinica.

  • Fibonačijeve brojeve možemo izraziti preko Chebyshevih polinoma
    Fibonaccijev Niz 
    Fibonaccijev Niz 

Za bilo koji Fibonaccijev Niz 

Fibonaccijev Niz 

Posljedica

Fibonaccijev Niz 

Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je

      Fibonaccijev Niz 

Fibonnačijev niz u prirodi

Fibonačijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki slijedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonačijem i prirodom:

  1. U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
  2. Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema slijedećem dobili bi broj fi.
  3. Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
  4. Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.

Vidi još

Reference

Literatura

Vanjske veze

Tags:

Fibonaccijev Niz Odnos prema zlatnom odnosuFibonaccijev Niz OsobineFibonaccijev Niz Fibonnačijev niz brojevaFibonaccijev Niz IdentitetiFibonaccijev Niz Fibonnačijev niz u prirodiFibonaccijev Niz Vidi jošFibonaccijev Niz ReferenceFibonaccijev Niz LiteraturaFibonaccijev Niz Vanjske vezeFibonaccijev NizBiologijaFizikaHemijaLeonardo Fibonacci

🔥 Trending searches on Wiki Srpskohrvatski / Српскохрватски:

AgnosticizamGlagoljicaĐurađ BrankovićMorsko praseHidrogenska bombaCarles PuigdemontDigestivni traktSocijalizamZrenjaninInternetLjubavKlasifikacija opasnih materijaSmederevoUstav Srbije od 1835. godineZumbulMasaObrezivanjeJarac (znak)Tarzan XPetrovac na MlaviToma ZdravkovićDedinjeDrugi svjetski ratBlizanci (znak)MoskvaReproduktivni sistemVojska SrbijeIbarAvionSpisak pozivnih brojeva u Crnoj GoriPanta reiZubiDrugi svjetski rat u JugoslavijiRocco SiffrediBufo periglenesHerceg NoviKlima AfrikeMuhamedPravoslavna crkvaAlkoholiZapadni BalkanMihailo ObrenovićFotosintezaSpisak pozivnih brojeva u SrbijiAleksandar ObrenovićZanzibarBipolarni tranzistorNBAProteinKalijum permanganatPost u islamuOlovoInformacijaPrijepoljeBukvaNikola KalabićSumporna kiselinaDrogaRepublika SrpskaTara (planina)Međunarodni praznik radaSatiraPotencijalna energijaPauza (muzika)Električni naponPromiskuitetMirjana Bobić-MojsilovićLanuvioNikica MarinovićCece muvaŠestougaoPovršinaJetraElizabeta IIEvropaUmraLuka Bojović🡆 More