Эллиптические Функции Вейерштрасса

Этот класс функций (зависящих от эллиптической кривой) назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют ${\displaystyle \wp }$-функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ ${\displaystyle \wp }$ (стилизованное P).

Пусть задана эллиптическая кривая ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Gamma }$ , где ${\displaystyle \Gamma }$  — решётка в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Тогда ${\displaystyle \wp }$ -функцией Вейерштрасса на ней называется мероморфная функция, заданная как сумма ряда

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-w)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\right).}$ 

Можно увидеть, что так определённая функция будет ${\displaystyle \Gamma }$ -периодичной на ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , и потому является мероморфной функцией на ${\displaystyle E}$ .

Задающий функцию Вейерштрасса ряд является, в определённом смысле, «регуляризованной версией» расходящегося ряда ${\displaystyle \sum _{w\in \Gamma }{\frac {1}{(z-w)^{2}}}}$  — «наивной» попытки задать ${\displaystyle \Gamma }$ -периодическую функцию. Этот последний абсолютно расходится (а при отсутствии естественного порядка на ${\displaystyle \Gamma }$  имеет смысл говорить только об абсолютной сходимости) при всех z, поскольку при фиксированном z и при больших w модули его членов ведут себя как${\displaystyle {\frac {1}{|w|^{2}}}}$ , а сумма ${\displaystyle \sum _{w\in \Gamma }{\frac {1}{|w|^{2}}}}$  по двумерной решётке ${\displaystyle \Gamma }$  расходится.

Варианты определения

Задавая решётку ${\displaystyle \Gamma }$  её базисом, ${\displaystyle \Gamma =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}$ , можно записать

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\left({\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right).}$ 

Также, поскольку функция Вейерштрасса как функция трёх переменных однородна, ${\displaystyle \wp (az;a\omega _{1},a\omega _{2})=a^{-2}\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})}$ , обозначив ${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$ , имеет место равенство

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1};1,\tau ).}$ 

Поэтому рассматривают

${\displaystyle \wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\left({\frac {1}{(z-m-n\tau )^{2}}}-{\frac {1}{(m+n\tau )^{2}}}\right).}$ 

• Функция Вейерштрасса ${\displaystyle \wp _{E}:E\mapsto {\widehat {\mathbb {C} }}}$  — чётная мероморфная функция на эллиптической кривой E, с единственным полюсом второго порядка в точке 0.
• Как мероморфное отображение степени 2, она задаёт двулистное разветвлённое накрытие сферы Римана тором E. У этого накрытия есть четыре точки ветвления: бесконечность и три критических значения ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$ . Эти четыре значения являются образами четырёх точек, оставляемых на месте автоморфизмом ${\displaystyle z\mapsto -z}$  кривой E — точки 0 и трёх полупериодов ${\displaystyle \omega _{1}/2,\omega _{2}/2,(\omega _{1}+\omega _{2})/2}$ . Таким образом, функция Вейерштрасса осуществляет изоморфизм (или, точнее, спускается до изоморфизма) между топологической сферой ${\displaystyle E/(z\mapsto -z)}$  (наследующей с E комплексную структуру) и сферой Римана ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ .
• Воспользовавшись разложением ${\displaystyle {\frac {1}{(w-z)^{2}}}={\frac {1}{w^{2}}}+\sum \nolimits _{j=1}^{\infty }{\frac {j+1}{w^{j+2}}}z^{j}}$  и просуммировав по ${\displaystyle w\in \Gamma \setminus \{0\}}$ , можно получить разложение в точке ${\displaystyle z=0}$  функции Вейерштрасса в ряд Лорана:

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=2}^{\infty }(2k+1)G_{2k}(\Gamma )z^{2k-2},}$  где ${\displaystyle G_{2k}(\Gamma )=\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}w^{-2k}}$  — ряды Эйзенштейна для решётки ${\displaystyle \Gamma }$  (соответствующие нечётные суммы равны нулю).

Однако, коэффициенты при ${\displaystyle z^{2}}$  и ${\displaystyle z^{4}}$  зачастую записывают в другой, традиционной, нормировке, связанной (см. ниже) с вложением эллиптической кривой в ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$ :

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,}$ 

где ${\displaystyle g_{2}}$  и ${\displaystyle g_{3}}$  — модулярные инварианты решётки ${\displaystyle \Gamma }$ :

${\displaystyle g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma ),\quad g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma ).}$ 

Функции Вейерштрасса позволяют построить вложение эллиптической кривой в ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$ , предъявив уравнение, которым задаётся образ. Это устанавливает соответствие между «алгебраическим» и «топологическим» взглядами на эллиптическую кривую — позволяя вложить эллиптическую кривую ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Gamma }$  в ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$  и выписать явно уравнение, задающее образ.

А именно, рассмотрим отображение ${\displaystyle F:E\to \mathbb {C} P^{2}}$ , задаваемое вне точки ${\displaystyle z=0}$  как ${\displaystyle F(z)=(\wp (z),\wp '(z))\in \mathbb {C} ^{2}.}$  Поскольку функция ${\displaystyle \wp }$  мероморфная — это отображение продолжается до голоморфного отображения из ${\displaystyle E}$  в ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$ .

Образ этого отображение может быть явно задан. А именно, единственный полюс как функции ${\displaystyle \wp (z)}$ , так и функции ${\displaystyle \wp '(z)}$  — это точка ${\displaystyle z=0}$ . Более того, поскольку ${\displaystyle \wp (z)}$  — чётная функция, ${\displaystyle \wp '(z)}$  — нечётная, и, соответственно, ${\displaystyle (\wp '(z))^{2}}$  — чётная. Функция ${\displaystyle \wp (z)}$  имеет в нуле полюс второго порядка — поэтому полюса ${\displaystyle (\wp ')^{2}}$  могут быть убраны вычитанием линейной комбинации степеней ${\displaystyle \wp }$ . Явно подбирая коэффициенты из разложений

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,}$ 
${\displaystyle (\wp '_{E}(z))^{2}=\left(-{\frac {2}{z^{3}}}+{\frac {1}{10}}g_{2}(\Gamma )z+{\frac {1}{7}}g_{3}(\Gamma )z^{3}+\dots \right)^{2}={\frac {4}{z^{6}}}-{\frac {2}{5}}g_{2}(\Gamma ){\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {4}{7}}g_{3}(\Gamma )+\dots ,}$ 

видим, что разница

${\displaystyle \varphi (z)=(\wp _{E}'(z))^{2}-4\wp _{E}^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)}$ 

в точке ${\displaystyle z=0}$  неособая. Но ${\displaystyle \varphi (z)}$  голоморфна и вне ${\displaystyle z=0}$  (в силу голоморфности ${\displaystyle \wp }$  и ${\displaystyle \wp '}$ ), поэтому ${\displaystyle \varphi (z)}$  — голоморфная на всей компактной римановой поверхности ${\displaystyle E}$  функция. В силу принципа максимума ${\displaystyle \varphi (z)}$  — константа. Наконец, из всё того же разложения в нуле находим её значение — оно оказывается равным ${\displaystyle -g_{3}(E)}$ . Окончательно, функция ${\displaystyle (\wp '(z))^{2}-4\wp ^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)+g_{3}(E)}$  обращается на ${\displaystyle E}$  в тождественный нуль. Тем самым, образ отображения ${\displaystyle F}$  это эллиптическая кривая в ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$ , задаваемая уравнением

${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}(E)x-g_{3}(E).}$ 

Собственно говоря, именно с этим связаны «исторические» коэффициенты 60 и 140, связывающие модулярные инварианты ${\displaystyle g_{2}}$  и ${\displaystyle g_{3}}$  с соответствующими суммами обратных степеней ${\displaystyle G_{2}(E)}$  и ${\displaystyle G_{3}(E)}$ : благодаря такому традиционному выбору нормировки, в уравнении на кривую ${\displaystyle g_{2}}$  и ${\displaystyle g_{3}}$  — это в точности коэффициент при ${\displaystyle x}$  и свободный член.

Голоморфные формы, решётки периодов и обратное отображение

Для эллиптической кривой ${\displaystyle E}$  задающая её решётка ${\displaystyle \Gamma }$  не является однозначно заданной: она определена с точностью до пропорциональности. Однако, решётка взаимно-однозначно соответствует паре ${\displaystyle (E,\omega )}$ , где ${\displaystyle \omega }$  — ненулевая голоморфная 1-форма на ${\displaystyle E}$ : в качестве ${\displaystyle \omega }$  можно взять проекцию на ${\displaystyle E}$  формы ${\displaystyle dz}$  на ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , тогда ${\displaystyle \Gamma }$  восстанавливается как набор всевозможных интегралов ${\displaystyle \omega }$  по петлям на торе ${\displaystyle E}$ :

${\displaystyle \Gamma =\left\{\int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in H_{1}(E)\right\}}$ 

На эллиптической кривой ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)}$ , являющейся образом отображения ${\displaystyle F=(\wp _{E},\wp '_{E})}$ , имеется голоморфная форма ${\displaystyle \omega ={\frac {dx}{y}}}$ . Несложно видеть, что она является в точности образом формы ${\displaystyle dz}$  на ${\displaystyle E}$  при отображении ${\displaystyle F}$ . Это позволяет прийти сразу к нескольким выводам:

• Обратное отображение к отображению ${\displaystyle F}$  ищется как интеграл формы ${\displaystyle \omega }$ :

${\displaystyle z(x,y)=\int _{\infty }^{(x,y)}{\frac {dx}{y}},}$ 

где интегрирование производится по пути, лежащему на эллиптической кривой ${\displaystyle F(E)}$ . Бесконечно удалённая точка на кривой ${\displaystyle F(E)}$  при этом выбрана как начало пути интегрирования, поскольку является F-образом точки ${\displaystyle z=0}$ , а изменение выбора пути на другой приводит к изменению результата на элемент решётки периодов ${\displaystyle \Gamma }$ .

• Обратное отображение к функции Вейерштрасса задаётся как

${\displaystyle \wp _{E}^{-1}(x)=\int _{\infty }^{x}{\frac {dx}{\pm {\sqrt {4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)}}}}.}$ 

(выбор знака соответствует выбору одного из двух прообразов на эллиптической кривой, а изменение пути интегрирования приводит к сдвигу вычисленного прообраза на элемент ${\displaystyle \Gamma }$ ).

• Решётка ${\displaystyle \Gamma }$  восстанавливается как множество интегралов формы ${\displaystyle {\frac {dx}{y}}}$  по всевозможным замкнутым путям на эллиптической кривой ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)}$ .

Сложение точек на эллиптической кривой

Эллиптическая кривая является (или, точнее, может быть сделана) абелевой группой по сложению. Для «алгебраического» представления ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Gamma }$  это просто сложение точек ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Для «геометрического» — как вложенной в ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$  кривой ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+px+q}$  — это сложение задаётся выбором в качестве нуля бесконечно удалённой точки и правилом «три точки, лежащие на одной прямой, в сумме дают ноль».

Естественно ожидать, что построенное по функции Вейерштрасса отображение ${\displaystyle F=(\wp (z),\wp '(z))}$  переводит заданное алгебраически сложение в заданное геометрически — что и имеет место. Этому (поскольку коллинеарность трёх точек задаётся обращением в ноль определителя) соответствует следующее соотношение:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{bmatrix}}=0}$ 

для любых ${\displaystyle u+v+w=0}$ . Также, ввиду чётности ${\displaystyle \wp }$  и нечётности ${\displaystyle \wp '}$ , оно может быть записано как

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\\\wp (z+w)&-\wp '(z+w)&1\end{bmatrix}}=0}$ 

С помощью ${\displaystyle \wp }$ -функции Вейерштрасса строится пример Латтэ — пример рационального отображения сферы Римана в себя, множество Фату которого пусто (и, тем самым, динамика которого везде хаотична). А именно, взяв ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$ , можно рассмотреть отображение ${\displaystyle D}$  удвоение на торе ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Gamma }$ :

${\displaystyle D(z)=2z\,\mod \mathbb {Z} [i].}$ 

Это отображение хаотично везде — сколь угодно маленькая окрестность через конечное число итераций покрывает весь тор.

С другой стороны — отображение ${\displaystyle D}$  корректно спускается на фактор ${\displaystyle S^{2}=E/(z\sim -z)}$ . Поэтому отображение D отображением ${\displaystyle \wp }$  полусопряжено некоторому рациональному отображению ${\displaystyle R:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1}}$ :

${\displaystyle \wp \circ D=R\circ \wp .}$ 

Иными словами,

${\displaystyle R(z)=\wp (2\wp ^{-1}(z)).}$ 

Для такого отображения ${\displaystyle R}$  образы малых окрестностей также через конечное число итераций закрывают всю сферу Римана. Поэтому множество Жюлиа ${\displaystyle J(R)=\mathbb {C} P^{1}}$ , а множество Фату, соответственно, пусто.

Наконец, несложно видеть, что степень отображения ${\displaystyle R}$  равна четырём (поскольку отображение ${\displaystyle z\mapsto 2z}$  на торе имеет степень 4), и его коэффициенты ${\displaystyle R}$  можно найти явно, вычислив достаточное число коэффициентов ряда Тейлора ${\displaystyle R}$  в нуле через ряд Лорана для ${\displaystyle \wp }$  (и, соответственно, для ${\displaystyle \wp ^{-1}}$ ).

• Weisstein, Eric W. Weierstrass Elliptic Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

• J. Hubbard, I. Pourezza, The space of closed subgroups of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , Topology 18 (1979), no. 2, p. 143—146.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного.
• A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2