Хеш-Таблица

Существуют два основных варианта хеш-таблиц: с открытой адресацией и списками. Хеш-таблица является массивом ${\displaystyle H}$ , элементы которого есть пары (хеш-таблица с открытой адресацией) или списки пар (хеш-таблица со списками).

Выполнение операции в хеш-таблице начинается с вычисления хеш-функции от ключа. Получающееся хеш-значение ${\displaystyle i={\mbox{hash}}(key)}$  играет роль индекса в массиве ${\displaystyle H}$ . Затем выполняемая операция (добавление, удаление или поиск) перенаправляется объекту, который хранится в соответствующей ячейке массива ${\displaystyle H[i]}$ .

Ситуация, когда для различных ключей получается одно и то же хеш-значение, называется коллизией. Такие события не так уж и редки — например, при вставке в хеш-таблицу размером 365 ячеек всего лишь 23 элементов вероятность коллизии уже превысит 50% (если каждый элемент может равновероятно попасть в любую ячейку) — см. парадокс дней рождения. Поэтому механизм разрешения коллизий — важная составляющая любой хеш-таблицы.

В некоторых специальных случаях удаётся избежать коллизий вообще. Например, если все ключи элементов известны заранее (или очень редко меняются), то для них можно найти некоторую совершенную хеш-функцию, которая распределит их по ячейкам хеш-таблицы без коллизий. Хеш-таблицы, использующие подобные хеш-функции, не нуждаются в механизме разрешения коллизий, и называются хеш-таблицами с прямой адресацией.

Число хранимых элементов, делённое на размер массива ${\displaystyle H}$  (число возможных значений хеш-функции), называется коэффициентом заполнения хеш-таблицы (load factor) и является важным параметром, от которого зависит среднее время выполнения операций.

Важное свойство хеш-таблиц состоит в том, что, при некоторых разумных допущениях, все три операции (добавление, удаление, поиск элемента) в среднем выполняются за время ${\displaystyle O(1)}$ . Но при этом не гарантируется, что время выполнения отдельной операции мало́. Это связано с тем, что при достижении некоторого значения коэффициента заполнения необходимо осуществлять перестройку индекса хеш-таблицы: создать новый массив ${\displaystyle H'}$  увеличенного размера и заново добавить в него все пары из старого массива пар (он же старая хеш-таблица).

Существует несколько способов разрешения коллизий.

Метод списков

 

Каждая ячейка массива H является указателем на связный список пар ключ-значение, соответствующих одному и тому же хеш-значению ключа. Коллизии просто приводят к тому, что появляются списки длиной более одного элемента.

Операции поиска или удаления элемента требуют просмотра всех элементов соответствующего ему списка, чтобы найти в нём элемент с заданным ключом. Для добавления элемента нужно добавить элемент в конец или начало соответствующего списка и в случае, если коэффициент заполнения станет слишком велик, увеличить размер массива H и перестроить таблицу.

При предположении, что каждый элемент может попасть в любую позицию таблицы H с равной вероятностью и независимо от того, куда попал любой другой элемент, среднее время работы операции поиска элемента составляет Θ(1 + α), где α — коэффициент заполнения таблицы.

Открытая адресация

 

В массиве H хранятся сами пары ключ-значение. Алгоритм вставки элемента проверяет ячейки массива H в некотором порядке до тех пор, пока не будет найдена первая свободная ячейка, в которую и будет записан новый элемент. Этот порядок вычисляется на лету, что позволяет сэкономить на памяти для указателей, требующихся в хеш-таблицах с цепочками.

Последовательность, в которой просматриваются ячейки хеш-таблицы, называется последовательностью проб. В общем случае, она зависит только от ключа элемента, то есть это последовательность h₀(x), h₁(x), …, h_{n — 1}(x), где x — ключ элемента, а h_i(x) — произвольные функции, сопоставляющие каждому ключу ячейку в хеш-таблице. Первый элемент в последовательности, как правило, равен значению некоторой хеш-функции от ключа, а остальные считаются от него одним из приведённых ниже способов. Для успешной работы алгоритмов поиска последовательность проб должна быть такой, чтобы все ячейки хеш-таблицы оказались просмотренными ровно по одному разу.

Алгоритм поиска просматривает ячейки хеш-таблицы в том же самом порядке, что и при вставке, до тех пор, пока не найдется либо элемент с искомым ключом, либо свободная ячейка (что означает отсутствие элемента в хеш-таблице).

Удаление элементов в такой схеме несколько затруднено. Обычно поступают так: заводят булевый флаг для каждой ячейки, помечающий, удален элемент в ней или нет. Тогда удаление элемента состоит в установке этого флага для соответствующей ячейки хеш-таблицы, но при этом необходимо модифицировать процедуру поиска существующего элемента так, чтобы она считала удалённые ячейки занятыми, а процедуру добавления — чтобы она их считала свободными и сбрасывала значение флага при добавлении.

Последовательности проб

Ниже приведены некоторые распространенные типы последовательностей проб. Сразу оговорим, что нумерация элементов последовательности проб и ячеек хеш-таблицы ведётся от нуля, а N — размер хеш-таблицы (и, как замечено выше, также и длина последовательности проб).

• Линейное пробирование: ячейки хеш-таблицы последовательно просматриваются с некоторым фиксированным интервалом k между ячейками (обычно k = 1), то есть i-й элемент последовательности проб — это ячейка с номером (hash(x) + ik) mod N. Для того, чтобы все ячейки оказались просмотренными по одному разу, необходимо, чтобы k было взаимно-простым с размером хеш-таблицы.
• Квадратичное пробирование: интервал между ячейками с каждым шагом увеличивается на константу. Если размер хеш-таблицы равен степени двойки (N = 2^p), то одним из примеров последовательности, при которой каждый элемент будет просмотрен по одному разу, является:
  hash(x) mod N, (hash(x) + (1+1*1)/2) mod N, (hash(x) + (2+2*2)/2) mod N, (hash(x) + (3+3*3)/2) mod N, … - треугольные числа.
• Двойное хеширование: интервал между ячейками фиксирован, как при линейном пробировании, но, в отличие от него, размер интервала вычисляется второй, вспомогательной хеш-функцией, а значит, может быть различным для разных ключей. Значения этой хеш-функции должны быть ненулевыми и взаимно-простыми с размером хеш-таблицы, что проще всего достичь, взяв простое число в качестве размера, и потребовав, чтобы вспомогательная хеш-функция принимала значения от 1 до N — 1.

Ниже представлен код, демонстрирующий двойное хеширование:

// DICT_CELL_COUNT должно быть простым числом! #define DICT_CELL_COUNT 30011  char* szWordAr[ DICT_CELL_COUNT ]; unsigned int uWordArSize = 0;  #define WORD_IDX_BAD (( unsigned int )-1)  unsigned int uWordIdxByHashAr[ DICT_CELL_COUNT ]; // необходимо инициализировать элементы значением WORD_IDX_BAD  #define STRIDE_1 17 #define STRIDE_2 13  // Функция GetOrAddWordIdx( .. ) возвращает индекс слова pcszWord в массиве szWordAr. // При этом происходит добавление слова pcszWord в словарь szWordAr, если его там нет.  unsigned int GetOrAddWordIdx( const char* const pcszWord )   {     unsigned int uHash1 = 0, uHash2 = 0;      const unsigned char* cbtWordCharCur = ( const unsigned char* )pcszWord;      // Вычислим два хеша слова pcszWord:     // uHash1 лежит в диапазоне [ 0 .. DICT_CELL_COUNT - 1 ]     // uHash2 лежит в диапазоне [ 1 .. DICT_CELL_COUNT - 1 ]      do       {         uHash1 *= STRIDE_1; uHash1 += ( STRIDE_2 * *cbtWordCharCur );         uHash2 *= STRIDE_2; uHash2 += ( STRIDE_1 * *cbtWordCharCur );       }     while( *( cbtWordCharCur++ ) ); // NB: инкремент!      // #1: cbtWordCharCur указывает на символ за посл. '\0' в pcszWord,     // будет использовано в #2      uHash1 %= DICT_CELL_COUNT;     uHash2 %= ( DICT_CELL_COUNT - 1 ); ++uHash2;      while( uWordIdxByHashAr[ uHash1 ] != WORD_IDX_BAD  )       {         if ( !strcmp( pcszWord, szWordAr[ uWordIdxByHashAr[ uHash1 ] ] ) )           return uWordIdxByHashAr[ uHash1 ];          uHash1 += uHash2; uHash1 %= DICT_CELL_COUNT;       }      strcpy(       szWordAr[         uWordIdxByHashAr[ uHash1 ] = // NB: присвоение!           uWordArSize       ] = // NB: присвоение!         ( char* )malloc(           // длина pcszWord плюс 1:           ( const char* )cbtWordCharCur - // #2: используем значение cbtWordCharCur из #1             pcszWord         ),       pcszWord     );      return uWordArSize++; // NB: инкремент!   } // unsigned int GetOrAddWordIdx( const char* const pcszWord ) 

• Ассоциативный массив
• Фильтр Блума

• Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Глава 11. Хеш-таблицы. // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2005. — 1296 с. — ISBN 5-8459-0857-4.