Скобка Пуассона

Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона. Рассматривался С. Пуассоном в 1809 году, затем забыт и переоткрыт Карлом Якоби.

Пусть ${\displaystyle v}$  и ${\displaystyle u}$  — векторные поля на гладком многообразии ${\displaystyle M}$ , ${\displaystyle L_{v}}$  — оператор производной Ли по направлению векторного поля ${\displaystyle v}$ . Коммутатор операторов ${\displaystyle L_{v}}$  и ${\displaystyle L_{u}}$  есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле ${\displaystyle [v,u]}$ , для которого

${\displaystyle L_{v}L_{u}-L_{u}L_{v}\equiv [L_{v},L_{u}]=L_{[v,u]}}$ 

Компоненты векторного поля ${\displaystyle [v,u]}$  в произвольной системе координат выражаются через компоненты ${\displaystyle v}$  и ${\displaystyle u}$  по формуле

${\displaystyle [v,u]_{i}=\sum _{j}v_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-u_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}.}$ 

Таким образом, поле ${\displaystyle [v,u]}$  не зависит от системы координат ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n}),}$  которая используется в формуле.

Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:

${\displaystyle [v,u]=L_{v}u}$ 

В голономном базисе оно принимает вид

${\displaystyle [v,u]^{\mu }=v^{\alpha }\partial _{\alpha }u^{\mu }-u^{\alpha }\partial _{\alpha }v^{\mu }}$ 

Пример

Пусть ${\displaystyle G=\mathrm {Diff} (M)}$  есть группа диффеоморфизмов многообразия ${\displaystyle M}$ . Тогда ${\displaystyle \mathrm {ad} _{v}w=-\{v,w\},}$  где ${\displaystyle \{v,w\}}$  — скобка Пуассона, ${\displaystyle \mathrm {ad} }$  — дифференциал ${\displaystyle \mathrm {Ad} }$  в единице группы. Символ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{v}}$  обозначает образ элемента ${\displaystyle v}$ .

Пусть ${\displaystyle t\mapsto g(t)}$  является кривой, которая выходит из ${\displaystyle k}$  с начальной скоростью ${\displaystyle {\dot {g}}=m,}$  и пусть ${\displaystyle s\mapsto h(s)}$  является такой же кривой с начальной скоростью ${\displaystyle h'=\omega .}$  Тогда

${\displaystyle g(t)h(s)g(t)^{-1}=(k+tm+o(t))(k+s\omega +o(s))(k+tm+o(t))^{-1}=k+s[\omega +t(m\omega -\omega m)+o(t)]+o(s)}$ 

при ${\displaystyle t,s\rightarrow 0.}$ 

 

Все, кроме последних двух, доказываются простым подсчётом.

• Линейность: ${\displaystyle {\Big [}u,cv{\Big ]}=c{\Big [}u,v{\Big ]},\;\;\;\;c}$  — функция, не зависящая от ${\displaystyle u}$  и ${\displaystyle v}$ .
• Антикоммутативность: ${\displaystyle {\Big [}u,v{\Big ]}=-{\Big [}v,u{\Big ]}}$ 
• ${\displaystyle {\Big [}w,u+v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}+{\Big [}w,v{\Big ]}}$ 
• ${\displaystyle {\Big [}u,u{\Big ]}=0}$ 
• ${\displaystyle {\cfrac {\partial {\Big [}u,v{\Big ]}}{\partial t}}={\Big [}{\cfrac {\partial u}{\partial t}},v{\Big ]}+{\Big [}u,{\cfrac {\partial v}{\partial t}}{\Big ]}}$ 
• ${\displaystyle {\Big [}w,c{\Big ]}=0}$ 
• ${\displaystyle {\Big [}w,u\cdot v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}v+u{\Big [}w,v{\Big ]}}$ 
• ${\displaystyle {\Big [}w,u(v_{1},\ldots ,v_{k}){\Big ]}=\sum _{l=1}^{k}{\cfrac {\partial u}{\partial v_{l}}}{\Big [}w,v_{l}{\Big ]}}$ 
• Тождество Якоби: ${\displaystyle {\Big [}{\Big [}u,v{\Big ]},w{\Big ]}+{\Big [}{\Big [}v,w{\Big ]},u{\Big ]}+{\Big [}{\Big [}w,u{\Big ]},v{\Big ]}=0.}$ 
• Операция коммутирования задаёт на множестве векторных полей структуру алгебры Ли.

Пусть ${\displaystyle M}$  — симплектическое многообразие. Симплектическая структура ${\displaystyle \omega }$  на ${\displaystyle M}$  позволяет ввести на множестве функций на ${\displaystyle M}$  операцию скобок Пуассона, обозначаемую ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$  или ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$  и задаваемую по правилу

${\displaystyle [F,G]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ L_{\mathbf {F} }G\equiv dG(\mathbf {F} )\equiv \omega (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )}$ 

где ${\displaystyle \mathbf {F} }$  (также ${\displaystyle IdF}$ ) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона ${\displaystyle F}$ . Оно определяется через дифференциал функции ${\displaystyle F}$  и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой ${\displaystyle \omega }$ . Именно, для любого векторного поля ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 

${\displaystyle dF(\mathbf {v} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \omega (\mathbf {v} ,\mathbf {F} )}$ 

Алгебра Ли функций Гамильтона

В силу кососимметричности и билинейности ${\displaystyle \omega }$  скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:

${\displaystyle [F,G]=-[G,F]}$ 
${\displaystyle [F,\lambda G+\mu H]=\lambda [F,G]+\mu [F,H]}$ 

Выражение

${\displaystyle [F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]}$ 

является линейной функцией вторых производных каждой из функций ${\displaystyle F,G,H}$ . Однако

${\displaystyle {\begin{array}{r}[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=\\-L_{Id[G,H]}F+L_{\mathbf {G} }L_{\mathbf {H} }F-L_{\mathbf {H} }L_{\mathbf {G} }F=\\\left(-L_{Id[G,H]}+L_{[\mathbf {G} ,\mathbf {H} ]}\right)F\end{array}}}$ 

Это выражение не содержит вторых производных ${\displaystyle F}$ . Аналогично, оно не содержит вторых производных ${\displaystyle G}$  и ${\displaystyle H}$ , а потому

${\displaystyle [F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=0}$ 

то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на ${\displaystyle M}$  структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции ${\displaystyle H}$ 

${\displaystyle L_{Id[F,G]}H=L_{[\mathbf {F} ,\mathbf {G} ]}H}$ ,

то есть

${\displaystyle Id[F,G]=[\mathbf {F} ,\mathbf {G} ]}$ 

— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.

Свойства

• Скобки Пуассона невырождены:

${\displaystyle \forall F\not \equiv 0\ \exists H:[F,H]\neq 0}$ 

• Скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Лейбница:

${\displaystyle [F,GH]=[F,G]H+G[F,H]}$ 

• Функция ${\displaystyle F}$  является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом ${\displaystyle H}$  тогда и только тогда, когда ${\displaystyle [F,H]=0}$ 
• Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби).
• Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона ${\displaystyle H}$ , заданной на многообразии ${\displaystyle M}$ . Полная производная по времени от произвольной функции ${\displaystyle f\colon M\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  запишется в виде

${\displaystyle {\begin{array}{cl}{\frac {d}{dt}}f=&{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\dot {q}}{\frac {\partial f}{\partial q}}+{\dot {p}}{\frac {\partial f}{\partial p}}=\\&{\frac {\partial f}{\partial t}}+L_{\mathbf {H} }f=\\&{\frac {\partial }{\partial t}}f+[H,f]\end{array}}}$ 

• В канонических координатах ${\displaystyle (q_{i},p_{j})}$  скобки Пуассона принимают вид

${\displaystyle [f,g]=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)}$ 

Скобки Пуассона сыграли важную эвристическую роль при создании квантовой механики методом классической аналогии между классическими и квантовыми скобками Пуассона.