Prova Direta

Em cada passo, usa-se implicação "Se p, então q" com p sendo verdadeiro.

Este exemplo ilustra a diferença entre um prova direta e uma prova por contradição, dita indireta. Considere o teorema da desigualdade das médias: Se p e q são números reais não-negativos então:

${\displaystyle {\sqrt {pq}}\leq {\frac {p+q}{2}}\,}$ 

Prova direta

${\displaystyle (p-q)^{2}\geq 0\,}$ 

expandindo:

${\displaystyle p^{2}-2pq+q^{2}\geq 0\,}$ 

somando 4pq a cada lado:

${\displaystyle p^{2}+2pq+q^{2}\geq 4pq\,}$ 

fatorando:

${\displaystyle (p+q)^{2}\geq 4pq\,}$ 

extraínda a raiz quadrada (aqui se usa que ${\displaystyle p+q\geq 0\,}$  e ${\displaystyle pq\geq 0\,}$ ):

${\displaystyle (p+q)\geq 2{\sqrt {pq}}\,}$ 

logo

${\displaystyle {\frac {p+q}{2}}\geq {\sqrt {pq}}\,}$ 

o o resultado segue.

Prova por contradição

Suponha, por absurdo, que existem dois números reais não negativos p e q tais que:

${\displaystyle {\sqrt {pq}}>{\frac {p+q}{2}}\,}$ 

então, tomando quadrados, temos:

${\displaystyle pq>{\frac {(p+q)^{2}}{4}}\,}$ 

o que implica:

${\displaystyle 4pq>p^{2}+2pq+q^{2}\,}$ 

ou, reescrevendo:

${\displaystyle 0>p^{2}-2pq+q^{2}\,}$ 

fatorando o lado direito:

${\displaystyle 0>(p-q)^{2}\,}$ 

o que é um absurdo pois :${\displaystyle (p-q)^{2}\geq 0\,}$ .