Divisor: Inteiro que divide exatamente outro inteiro

Exemplo:

${\displaystyle \,\!{\frac {x}{y}}=z\rightarrow \,\!{\frac {x}{z}}=y}$

Todo e qualquer número tem seus divisores, inclusive os números primos, que só tem como divisores 1 e o dito primo.

• Existem infinitos números primos (ver Teoria dos números, seção: Propriedades dos números primos; Teorema de Euclides) e infinitos divisores de números.
• Para cada número inteiro e racional há um conjunto de divisores que lhe é próprio.
• Dois números podem ter em comum vários divisores. Quando isto acontece, diz-se que os ditos números fazem parte de mais de um conjunto matemático.

Como exemplo, pode-se citar o número 22, que pertence ao conjunto de múltiplos de 2 e dos múltiplos de 11 igualmente, ou seja, os divisores de 22 são 2 e 11, além de 1 e 22.

No conjunto dos múltiplos de 11:

${\displaystyle \left\{11,22,33...\right\}\,\!}$ 

No conjunto dos múltiplos de 2:

${\displaystyle \left\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24...\right\}\,\!}$ 

• Quanto maior o divisor, menor será o resto. É similar a uma regra de três inversamente proporcional, pois, quanto menor o divisor de número qualquer inteiro e racional, maior será o resto.
• Somente há um número que dividido por qualquer número inteiro e racional tem como resto a mesma quantidade: 0. Quaisquer números divididos ou multiplicados pelo mesmo resultarão em 0;

${\displaystyle \,\!{\frac {0}{1298}}=0\rightarrow 0.\ 1298=\ 0}$ 

• Todos os divisores de um número qualquer N podem ser descobertos realizando-se Fatoração.
• Nem todos os números maiores possuem muitos divisores. É o caso de muitos números relativamente grandes em quantidade, tais como 158, 302, 218, 514, 614, 866, 914, 1514 e obviamente os números primos (ver também número defectivo). Números relativamente grandes em quantidade que não sejam múltiplos de 3, 4, 5 ou 7 tem grandes chances de serem do mesmo caso. Geralmente é um número defectivo ou número deficiente que se encontra nesse caso.
• Quando determinados números x possuem um determinado divisor N, que multiplicado por N, que possui o mesmo valor de x, diz-se que é um quadrado perfeito do número x

Exemplo:

${\displaystyle 5.\ 5=\ 25\rightarrow 5^{2}}$ 

Portanto:

${\displaystyle \,\!{\frac {25}{5}}=5}$ 

• Os números irracionais não podem ser postos em forma de fração (ver também números irracionais), logo não possuem nenhum divisor no conjunto dos números reais. Por exemplo o ${\displaystyle \pi }$ , que é a proporção numérica aproximada (pois é número irracional) oriunda da relação das medidas de perímetro de circunferência e diâmetro.

Sejam n, d e q números inteiros, com d diferente de zero (d ${\displaystyle \neq }$  0). Dizemos que d é divisor de n (ou que d divide n, ou ainda que n é divisível por d) se existir um q tal que ${\displaystyle q\cdot d=n}$  (note que isto é o mesmo que escrever ${\displaystyle n=d\cdot q}$ )

Exemplo:
${\displaystyle (n=0)\land (n=d\cdot q)\Rightarrow 0=d\cdot q\Rightarrow q=0,\forall d\in \mathbb {Z} ^{*}}$ 
(se n é igual a zero, e se ainda n é igual a d vezes q, então zero é igual a d vezes q, de onde se conclui que q deve ser igual a zero, para todo d pertencente a ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}$ , que é o conjunto dos números inteiros sem o zero)

Formalmente, se d é divisor de n, então:
${\displaystyle \exists _{q\in \mathbb {Z} }:n=d\cdot q}$ 
(lê-se: existe um número inteiro q tal que n é igual a d vezes q)

Também podemos dizer o seguinte: seja ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$ . Se ${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$  (n dividido por d) tem quociente q e resto r, então ${\displaystyle n=d\cdot q+r}$ 

Note que há duas situações possíveis para o resto r:
1) r = 0
Neste caso, dizemos que d divide n (d é divisor de n). Isto porque a expressão ${\displaystyle n=d\cdot q+r}$  será igual à expressão ${\displaystyle n=d\cdot q+0}$ , que é o mesmo que escrever simplesmente ${\displaystyle n=d\cdot q}$ .
Nota: como o divisor d não pode ser zero, repare que se n for zero o quociente q também terá que ser zero.

2) r ${\displaystyle \neq }$  0
Neste caso, dizemos que d não divide n (d não é divisor de n). Isto porque existe um resto r diferente de zero, ou seja, a expressão ${\displaystyle n=d\cdot q+r}$  não será igual à expressão ${\displaystyle n=d\cdot q}$ .
Nota: podemos escrever ${\displaystyle n-r=d\cdot q}$ . O resultado da diferença n-r é um número inteiro. Vamos chamar este número de x, ou seja: ${\displaystyle n-r=x}$ . Assim, ${\displaystyle x=d\cdot q}$ . Como d e q também são números inteiros e d é diferente de zero, concluímos que d divide x (d é divisor de x).

Exemplos:
1) A divisão ${\displaystyle {\frac {15}{3}}}$  tem quociente 5 e resto 0. Assim:
O numerador da fração é n = 15;
O denominador da fração é d = 3;
O quociente da divisão é q = 5;
O resto da divisão é r = 0.
Como ${\displaystyle n=d\cdot q+r}$ , escrevemos ${\displaystyle 15=3\cdot 5+0}$ , ou simplesmente ${\displaystyle 15=3\cdot 5}$ .
Neste exemplo, o denominador d (= 3) divide 15, portanto d também é divisor de 15 (note que r = 0).

2) A divisão ${\displaystyle {\frac {7}{2}}}$  tem quociente 3 e resto 1. Assim:
O numerador da fração é n = 7;
O denominador da fração é d = 2;
O quociente da divisão é q = 3;
O resto da divisão é r = 1.
Como ${\displaystyle n=d\cdot q+r}$ , escrevemos ${\displaystyle 7=2\cdot 3+1}$ 
Neste exemplo, o denominador d (= 2) não divide 7, portanto d não é divisor de 7 (note que r ${\displaystyle \neq }$  0).
Porém, lembre-se de que ${\displaystyle n-r=d\cdot q}$ . Isto significa que d divide n - r (d é divisor de n - r). Conferindo: ${\displaystyle d=2}$  e ${\displaystyle n-r=7-1=6}$ . Como ${\displaystyle d\cdot q=2\cdot 3=6}$ , ambas as expressões ${\displaystyle n-r}$  e ${\displaystyle d\cdot q}$  valem 6, portanto elas são iguais, e por isto podemos escrever ${\displaystyle n-r=d\cdot q}$ . Logo, d divide n - r, ou seja, 2 divide 6 (2 é divisor de 6).