阿貝爾羣

交換羣係代數入面好重要嘅概念，一啲更複雜嘅結構，例如環、體、向量空間、代數等等都係建基於交換羣嘅概念。比起非交換羣，交換羣嘅性質簡單好多，舉例嚟講，有限交換羣同有限生成交換羣嘅分類都簡單過非交換嘅版本。

假設G係個羣，${\displaystyle (G,\cdot )}$ ，而「•」係羣運算。如果${\displaystyle \forall x\cdot y\in G,x\cdot y=y\cdot x}$ ，噉G係個阿貝爾羣。任何兩粒係G入面嘅元素，佢哋喺運算之前交換位置都唔會影響出嚟嘅結果。

複數${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$ 

用${\displaystyle \mathbb {C} }$ 表示裝住所有複數嘅集。${\displaystyle +}$ 係普通加法。${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$ 呢個羣係一個阿貝爾羣。因為喺${\displaystyle \mathbb {C} }$ 入面，加法次序嘅改變係唔會影響佢嘅結果。

非零分數${\displaystyle (\mathbb {Q} \backslash \{0\},\times )}$ 

假設${\displaystyle \mathbb {Q} \backslash \{0\}}$ 係指所有數值非零嘅分數，噉${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ 而${\displaystyle a\neq 0}$ 。${\displaystyle \times }$ 係普通乘法。${\displaystyle (\mathbb {Q} \backslash \{0\},\times )}$ 呢個羣都係個阿貝爾羣。

正數${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\times )}$ 

假設${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 係所有嘅正數，唔包括0，而${\displaystyle \times }$ 係普通乘法。${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\times )}$ 都係個阿貝爾羣。當${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 嘅羣運算由${\displaystyle \times }$ 變${\displaystyle +}$ 嘅時候，佢就唔係個阿貝爾羣，因為佢冇「另一半」同埋「0」。