Demonstrație Matematică

Este un aspect esențial în activitatea matematică.

Dezvoltarea demonstrației matematice este în principal produsul activității unor gânditori din Grecia Antică și unul dintre marile sale succese. Thales a demonstrat câteva teoreme din geometrie. Eudoxus din Knidos (408-355) și Teetet au formulat teoreme fără a le demonstra. Aristotel preciza că definițiile trebuie să descrie conceptul definit în termenii altor concepte deja cunoscute. Demonstrațiile matematice au cunoscut o revoluție prin Euclid, care a introdus metoda axiomelor utilizată până azi, începând cu termeni pe care nu i-a definit și cu axiome – propoziții privind acești termeni de bază nedefiniți considerate ca fiind adevărate prin evidență și simț comun – și le-a folosit pentru a demonstra teoreme folosind logica deductivă. Cartea sa, Elementele, a exercitat o influență deosebită fiind citită de către orice persoană care se considera educată în Occident până la jumătatea secolului al XX-lea. Suplimentar binecunoscutelor teoreme ale geometriei, precum teorema lui Pitagora, Elementele conține o demonstrație că rădăcina pătrată a lui 2 este un număr irațional și că există o infinitate de numere prime.

Alte progrese au avut loc în lumea islamică medievală. În timp ce demonstrațiile grecilor erau destul de apropiate de geometrie, dezvoltarea aritmeticii și algebrei de către matematicienii arabi au permis demonstrații mai generale, nelegate de geometrie.

O demonstrație este un mijloc logic de garantare a siguranței adevărului unei propoziții matematice. O demonstrație este un șir finit de propoziții, în care fiecare propoziție este sau o axiomă, sau se obține din propozițiile precedente cu ajutorul regulilor de deducție, altfel spus implicația logică structurează mulțimea propozițiilor deduse. Se poate obține astfel un șir de propoziții demonstrate. Numărul de propoziții din șir până la un anumit rezultat este una din modalitățile de a indica lungimea unei demonstrații.

Demonstrația este frecvent folosită în geometrie, dar și în alte sectoare ale matematicii. De exemplu pornind de la teorema lui Pitagora se poate obține teorema cosinusului care este utilă mai departe demonstrației pentru, de exemplu, teorema lui Stewart sau teorema paralelogramului.

Obținerea unei propoziții dintr-un șir deductiv din alte două premise poate fi reprezentată ca nod într-un graf. Pentru teorema cosinusului în cazul unghiului obtuz sunt necesare două șiruri de propoziții spre deosebire de unghiul ascuțit unde se intersectează trei șiruri de propoziții la substituția unor mărimi între expresiile algebrice care conțin lungimile unor segmente.

Este un aspect esențial al activității matematice și permite evidențierea conexiunii strânse dintre noțiunile matematice. Oferă și avantaje din punct de vedere pedagogic permițând reconstituirea enunțurilor matematice care se cer a fi memorate în procesul de predare a matematicii. Astfel se ușurează efortul cognitiv de memorare a informațiilor cerute de o programă de învățământ a matematicii. Matematica se deosebește astfel de alte materii ale programei școlare în privința ajutorului la memorare. Acordarea priorității cuvenite formării deprinderii de a demonstra propozițiile matematice în cadrul activității didactice are ca efect o înțelegere mai clară și profundă a activității matematice. Ignorarea acestei necesități în procesul didactic prin abordarea matematicii ca o materie școlară oarecare are efecte negative ușor observabile pentru cei care studiază matematica. Situația este similară și pentru alte materii școlare care utilizează intens matematica, cum ar fi fizica.^{[necesită citare]}

Există demonstrații directe și indirecte (prin reducere la absurd).

O demonstrație are drept obiectiv stabilirea adevărului unor propoziții despre proprietăți sau relații.