În matematică, axioma alegerii este o axiomă în cadrul teoriei mulțimilor.
Axioma alegerii spune, informal vorbind, că, dându-se o familie (posibil infinită) de mulțimi nevide, se poate alege simultan câte un element din fiecare dintre ele, rezultând o mulțime. Axioma alegerii are un statut mai special în teoria mulțimilor, în sensul că sunt studiate și variante ale teoriei mulțimilor în care nu este acceptată axioma alegerii.
Un posibil enunț al axiomei alegerii este următorul: Dacă este o familie de mulțimi nevide ( ), disjuncte două câte două ( ), atunci există o mulțime a cărei intersecție cu fiecare mulțime din conține un singur element:
O formulare echivalentă este aceea că, dându-se o familie de mulțimi nevide, există o funcție satisfăcând
De notat că în cazul în care este finită, nu este nevoie de axioma alegerii, existența lui rezultă direct din celelalte axiome ale teoriei mulțimilor. De asemenea, este nevoie de axioma alegerii numai dacă nu există vreun element privilegiat în fiecare mulțime din . De exemplu, dacă mulțimile din sunt ordonate și fiecare mulțime are un minim, atunci funcția există, fără să avem nevoie de axioma alegerii.
Axioma alegerii este independentă de restul teoriei mulțimilor în sensul că, dacă teoria mulțimilor este necontradictorie, atunci teoria mulțimilor cu axioma alegerii este de asemenea necontradictorie și de asemenea teoria mulțimilor împreună cu negația axiomei alegerii este necontradictorie.
Din acest punct de vedere, poziția axiomei alegerii față de teoria mulțimilor este similară poziției axiomei lui Euclid față de geometrie.
Următoarele propoziții sunt echivalente cu axioma alegerii:
Următoarele propoziții rezultă din axioma alegerii:
This article uses material from the Wikipedia Română article Axioma alegerii, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Conținutul este disponibil sub CC BY-SA 4.0, exceptând cazurile în care se specifică altfel. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Română (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.