Axioma Alegerii

În matematică, axioma alegerii este o axiomă în cadrul teoriei mulțimilor.

Axioma alegerii spune, informal vorbind, că, dându-se o familie (posibil infinită) de mulțimi nevide, se poate alege simultan câte un element din fiecare dintre ele, rezultând o mulțime. Axioma alegerii are un statut mai special în teoria mulțimilor, în sensul că sunt studiate și variante ale teoriei mulțimilor în care nu este acceptată axioma alegerii.

Enunț

Un posibil enunț al axiomei alegerii este următorul: Dacă Axioma Alegerii  este o familie de mulțimi nevide (Axioma Alegerii ), disjuncte două câte două (Axioma Alegerii ), atunci există o mulțime Axioma Alegerii  a cărei intersecție cu fiecare mulțime din Axioma Alegerii  conține un singur element:

    Axioma Alegerii 

O formulare echivalentă este aceea că, dându-se o familie Axioma Alegerii  de mulțimi nevide, există o funcție Axioma Alegerii  satisfăcând

    Axioma Alegerii 

De notat că în cazul în care Axioma Alegerii  este finită, nu este nevoie de axioma alegerii, existența lui Axioma Alegerii  rezultă direct din celelalte axiome ale teoriei mulțimilor. De asemenea, este nevoie de axioma alegerii numai dacă nu există vreun element privilegiat în fiecare mulțime din Axioma Alegerii . De exemplu, dacă mulțimile din Axioma Alegerii  sunt ordonate și fiecare mulțime are un minim, atunci funcția Axioma Alegerii  există, fără să avem nevoie de axioma alegerii.

Independența de restul teoriei mulțimilor

Axioma alegerii este independentă de restul teoriei mulțimilor în sensul că, dacă teoria mulțimilor este necontradictorie, atunci teoria mulțimilor cu axioma alegerii este de asemenea necontradictorie și de asemenea teoria mulțimilor împreună cu negația axiomei alegerii este necontradictorie.

Din acest punct de vedere, poziția axiomei alegerii față de teoria mulțimilor este similară poziției axiomei lui Euclid față de geometrie.

Consecințe și proprietăți echivalente

Următoarele propoziții sunt echivalente cu axioma alegerii:

  • Teorema lui Zermelo: pe orice mulțime se poate stabili o relație de bună ordonare
  • Lema lui Zorn: dacă pe o mulțime nevidă X se definește o relație de ordine cu proprietatea că orice submulțime T care este total ordonată (de ordinea de pe X) admite un majorant în X, atunci X are cel puțin un element maximal

Următoarele propoziții rezultă din axioma alegerii:

Tags:

AxiomăMatematicăMulțimeTeoria mulțimilor

🔥 Trending searches on Wiki Română:

Marin PredaMara (roman)Margareta, Principesă a RomânieiAnca PopEnergie eolianăBullyingAutostrada A3 (România)XXXTimișoaraNoua ZeelandăGenerația ZMărimea penisului umanIon Luca CaragialeIsus din NazaretListă de figuri geometriceFaustino AsprillaIosif Vissarionovici StalinBaia MareFrancmasonerieShogun (roman)Muzeul Locomotivelor cu Abur din ReșițaWhatsAppAustraliaConstantin BrâncoveanuListă de zile internaționaleVaticanEnergie potențialăCipruIașiStatul IslamicHagia Sofia din IstanbulPoliția RomânăCroațiaAmfetaminăGrupă sanguinăSistemul internațional de unitățiTransfăgărășanPapa FranciscListă de țări cu arme nucleareSighișoaraPiotr Ilici CeaikovskiFerdinand I al RomânieiClima RomânieiPartidul Național Liberal (România)PortugaliaÎnsemnele gradelor militare și polițienești în RomâniaLegea lui OhmCampionatul Mondial de Fotbal 2026IslandaListă de basme româneștiAparatul genital femininAutomobile DaciaRiga Crypto și lapona EnigelLeuGeografia RomânieiVaricelăClitorisMadridFlorin TănaseAtentatele din 11 septembrie 2001IluminismLista prim-miniștrilor RomânieiRomulus și RemusMircea CărtărescuGheorghe HagiLaleaAprilieLista vârfurilor muntoase din România după înălțimePodul Regele Carol IEMAGOceanul PacificGeorge NicolescuAtmosferăNorvegiaMarea BritanieStatele Unite ale AmericiiDenis Alibec🡆 More