תורת השדות הקוונטית

התורה מהווה את הבסיס התאורטי לפיזיקת החלקיקים ולתיאור מלא של פיזיקה של חומר מעובה ומערכות מרובות חלקיקים.

תורת השדות הקוונטית צמחה מתוך תורת הקוונטים החל משנות ה-20 של המאה ה-20, עקב הצורך בתיאור מערכות רבות חלקיקים ותגובות בין חלקיקים, בפרט תגובות שבהן חלקיקים נוצרים ומתפרקים, שלא ניתנות לתיאור בתורת הקוונטים. היישום הראשון של התורה היה תיאור אינטראקציה בין פוטונים לחומר, שהוביל לתורת השדות הקוונטית הראשונה והמדויקת ביותר עד היום שהיא אלקטרודינמיקה קוונטית.

במודל הסטנדרטי של החלקיקים היסודיים, מתארים בעזרת תורת השדות את מקורם ותכונותיהם של כל כוחות היסוד בטבע מלבד כבידה, הנובעות מסימטריות מיוחדות. התורה מתארת את הפיזיקה של תופעות בקנה מידה קטן ביותר, עד מיליארדית של מיליארדית המטר (אלפית מגודלו של גרעין האטום). התורה מתארת את התנהגותם של החלקיקים היסודיים והמורכבים (כמו אלקטרונים, פוטונים ואבני הבניין של גרעין האטום), ומתארת את הכוח האלקטרומגנטי, הכוח הגרעיני החזק והכוח הגרעיני החלש.

שדה קוונטי מייצג סוג של חלקיקים, והוא גודל התלוי במרחב ובזמן. חלקיק בתורת השדות הוא עירור, או מצב קוונטי של השדה, ויש לו מיקום, תנע, אנרגיה ותכונות אחרות. להסבר על השדות (סוגי החלקיקים היסודיים) הידועים בטבע ותכונותיהם, ראו המודל הסטנדרטי.

תורת שדות קוונטיים נבנית מסימטריות כיול ומשדות קוונטיים, שקובעים את הלגרנז'יאן של התורה, שהוא התלות של האנרגיה בשדות ונגזרותיהן, וממנו נגזרים כל שאר הגדלים והפתרונות. בנוסף, סימטריות כיול (סימטריות שתלויות במיקום במרחב) יוצרות שדות חדשים, שנקראים שדות כיול.

באמצעות תורת השדות ניתן לחשב את תוצאות הפיזור מהתנגשות שני חלקיקים במאיץ חלקיקים, שהם מקור המידע המקיף ביותר על חלקיקים יסודיים, ומתוך תוצאות אלו למצוא את מבנה החומר הבסיסי ביותר (החלקיקים היסודיים), ואת הסימטריות הבסיסיות. תורת שדות קוונטית גם מאפשרת לחשב את תכונותיהם של חלקיקים מורכבים כמו אטומים. קיימות שיטות חישוב רבות בתורה, שכן אין שיטה אחת שמאפשרת פתרון כללי מדויק. השיטה הנפוצה ביותר היא תורת ההפרעות עם שימוש בדיאגרמות פיינמן. שיטות אחרות הן תורות שדה על סריג ( לדוגמה כרומודינמיקה קוונטית על סריג) ותורות קונפורמיות מסוימות.

גדלים רבים בתורות שדה הם סכומים אינסופיים שהגדרתם המתמטית אינה תמיד בהירה, ולכן חישובים רבים זקוקים לרגולריזציה ולרנורמליזציה, שהיא דרך לסכום גדלים אלה בצורה שמעבירה גודל אינסופי לתוך גודל שאינו מדיד, כך שהגודל המדיד ("גודל פיזיקלי") הוא סופי ומוגדר היטב.

אחת ממטרות הפיזיקה היא הניסיון לפתח תאוריה של הכל, תאוריה פיזיקלית אחת שתתאר ותאחד את כל תופעות הטבע בעזרת מספר מצומצם של גדלים יסודיים. התורה הפיזיקלית המתקדמת ביותר הקיימת כיום אשר מתקרבת צעד נוסף לחזון זה ושאוששה בניסויים היא תורת השדות הקוונטית. תורה זו מצליחה לאחד את תורת הקוונטים עם תורת היחסות הפרטית, מצליחה לתאר את החלקיקים השונים בטבע ולאחד שלושה מתוך ארבעת הכוחות היסודיים בטבע.

לפי תורת השדות הקוונטית הדבר הבסיסי ביותר אינו חומר, אנרגיה או כוח אלא שדה. ישנם שדות שיוצרים את חלקיקי החומר ושדות שיוצרים את הכוחות היסודיים בטבע. בעזרת תורת כיול ניתן להראות ששדות רוב הכוחות היסודיים בטבע נובעים מתוך שדות החומר, כך ששדות החומר הם גדלים יסודיים יותר משדות כוח אלה.

בנוסף, בפיזיקה המודרנית יש חשיבות רבה לסימטריות. כאשר יש מספר חלקים סימטריים זה לזה, הכוונה היא שאי אפשר להבדיל ביניהם. מתוך משפט נתר מתברר שסימטריות הן מקור לחוקי שימור. לדוגמה, חוק שימור התנע נובע מתוך סימטריה מרחבית - כאשר אין הבדל בין כל כיוון בו אפשר לנוע (בשום כיוון אין כוחות שמפריעים בדרך) התוצאה היא שבכל כיוון התנע נשמר (אין שום כוח שיגרום לו להשתנות). לפי תורת השדות הקוונטית, השדה נמצא בתחום מסוים של המרחב והזמן וכופה באזור זה סימטריה מסוימת שיוצרת גדלים נשמרים כמו מסה, מטען חשמלי, תנע וכדומה (במילים אחרות השדה יוצר חלקיקים בעלי הגדלים הנשמרים הללו). לכן כדי להסביר את החלקיקים והכוחות השונים בתורת השדות הקוונטית השדות צריכים לקיים סימטריות שונות, בייחוד נחפש מתי האנרגיה של השדה (שמבוטאת מבחינה מתמטית בעזרת לגראנז'יאן) תישאר סימטרית, כלומר אילו פעולות אפשר לעשות על השדה ובכל זאת האנרגיה לא תשתנה. כך אפשר למצוא את משוואות התנועה שמתארות את התנהגות החלקיקים השונים הנוצרים בשדה. בנוסף, פיזיקאים גילו שאפשר להגיע (כמעט) לכל הכוחות היסודיים בטבע בעזרת תורת כיול.

עיקרון בסיסי של תורת השדות הקוונטית הוא העיקרון של סכום של היסטוריות.

ביום יום אנו רגילים שכאשר גוף נע בין שתי נקודות, הוא עובר דרך מסלול אחד. בגלל אופייה ההסתברותי של תורת הקוונטים, לכל חלקיק הנע בין שתי נקודות, יש מספר מסלולים אפשריים. כמו כן, בדרך החלקיק יכול לפלוט או לבלוע חלקיקים אחרים. כל מסלול כזה (כולל כל התהליכים שקרו לחלקיק בדרך) נקרא "היסטוריה" אפשרית של החלקיק, ויש לו הסתברות מסוימת.

עקרון הסיכום על היסטוריות קובע, שהחלקיק למעשה יעבור דרך כל המסלולים האפשריים בו זמנית, כך שכדי לדעת מה יקרה לו בסופו של דבר צריך לסכם (בצורה מיוחדת) על כל ההיסטוריות האפשריות של החלקיק, תוך התחשבות בהסתברות של כל היסטוריה, בדומה לתוחלת בהסתברות. אנו אומרים, שההיסטוריה של החלקיק היא סופרפוזיציה קוונטית של כל ההיסטוריות האפשריות שלו.

כיוון שכל חלקיק עובר סופרפוזיציה של כל התהליכים האפשריים שהוא יכול לעבור, מסתבר שכל אלקטרון פולט ללא הרף פוטונים ובולע אותם חזרה, לאחר שהם "מתרוצצים" סביבו. כך נוצרת מעין "הילה" של פוטונים סביב כל אלקטרון; פוטונים אלה קרויים פוטונים וירטואליים. כאשר אלקטרון אחר עובר ב"הילה" זו, הוא עשוי לבלוע חלק מהפוטונים הללו, וכך נוצרת אינטראקציה בין שני האלקטרונים - הפוטונים שיעברו ביניהם יגרמו להם לשנות את תנועתם, מה שייראה כהפעלת כוח אלקטרומגנטי ביניהם. לפיכך, "הילה" זו היא למעשה שדה אלקטרומגנטי, כלומר שדה חשמלי ושדה מגנטי.

לפני פיתוח תורת הקוונטים, עסקה הפיזיקה הקלאסית בשדות כמו אלה כבגדלים בסיסיים, הקיימים סביב אלקטרונים ומטענים חשמליים אחרים. תורת השדות הקוונטית מסבירה מהם שדות אלה במונחים של חלקיקים.

גם נקודת המבט ההפוכה היא לגיטימית: ניתן להתייחס לשדה (כמו השדה האלקטרומגנטי) כאל הגודל הבסיסי, ולחשוב על חלקיקים (כמו הפוטונים) כעל שינויים קטנים ומחזוריים בשדה. לשינויים כאלה אנו קוראים גלים, כפי שגל ים מהווה שינוי קטן ומחזורי (בקירוב) בגובה פני הים. ואולם, לפי מכניקת הקוונטים הגלים בתורת הקוונטים מתנהגים באופן שונה מהגלים שאנו מכירים בחיי היום-יום - הם באים ב"חבילות", ולא באופן רציף, וחבילות אלה הן החלקיקים.

כל זה נכון לגבי חלקיקים שהם בוזונים (לדוגמה הפוטונים). מספר בוזונים מאותו סוג יכולים להימצא באותו מקום. שדה המתאים לחלקיקים אלה קרוי 'שדה בוזוני', וכאמור הוא צירוף של חלקיקים רבים מאותו סוג (מה שנקרא מצב קוהרנטי).

חלקיקים מסוג אחר קרויים פרמיונים (לדוגמה אלקטרונים). שני פרמיונים מאותו סוג ובאותו מצב פיזיקלי לא יכולים להימצא באותו מקום. באופן פורמלי אפשר להגדיר גם שדה המתאים לחלקיקים כאלה, וקרוי שדה פרמיוני, אך הוא אינו דומה לשדות הקיימים בפיזיקה קלאסית.

שלושה ענפים של תורת השדות הקוונטית מרכיבים יחד את המודל הסטנדרטי של פיזיקת החלקיקים:

אלקטרודינמיקה קוונטית (QED) היא התורה המסבירה את תופעות האלקטרומגנטיות. החלקיקים בתורה זו הם אלקטרון ופוזיטרון (אנטי-אלקטרון) - או כל חלקיק אחר בעל מטען חשמלי - ופוטונים. הפוטון הוא החלקיק הנושא את הכוח האלקטרומגנטי. מטען חשמלי מוסבר בתורה זו כסיכוי לפלוט או לבלוע פוטון. סיכוי זה, עבור חלקיק בעל מטען חשמלי 1 (ביחידות של מטען האלקטרון, שהוא כ-${\displaystyle 10^{-19}}$  קולון), הוא (באנרגיות נמוכות) 1/137, ומספר זה קרוי קבוע הצימוד של התורה. אלקטרודינמיקה קוונטית היא תורת כיול בעלת חבורת כיול ${\displaystyle \ U(1)}$ .

כרומודינמיקה קוונטית (QCD) היא התורה המסבירה את מקורו של הכוח הגרעיני החזק. החלקיקים בתורה זו הם קווארקים, אנטי-קווארקים וגלואונים. הגלואון הוא החלקיק הנושא את הכוח בתורה זו (שממנו נובע הכוח הגרעיני החזק). זאת, בדומה לתפקידו של הפוטון ב-QED. בניגוד ל-QED, שם יש רק סוג אחד של מטען (מטען חשמלי), הרי ב-QCD יש שלושה סוגי מטענים. מטענים אלה מכונים צבעים (למרות שאין שום קשר בינם לצבע במובנו היום-יומי), ושלושת הסוגים נקראים כחול, אדום וירוק. קבוע הצימוד בתורה זו, שהוא הסיכוי של חלקיקים בעלי "צבע" לפלוט או לבלוע גלואון, תלוי באנרגיה של החלקיקים, והתורה מקיימת חופש אסימפטוטי - באנרגיות נמוכות קבוע הצימוד גדול, ובאנרגיות גבוהות הוא קטן. תכונה נוספת שלה היא כליאה - החלקיקים מצויים רק בקבוצות חסרות "צבע". כרומודינמיקה קוונטית היא תורת כיול בעלת חבורת כיול ${\displaystyle \ SU(3)}$ .

מודל גלשאו-ויינברג-סאלאם הוא התורה המתארת את הכוח הגרעיני החלש ומשלבת אותו עם האלקטרומגנטיות. היא כוללת בתוכה גם את האלקטרודינמיקה הקוונטית. תורה זו עוסקת בחלקיקים הבאים: לפטונים (כמו אלקטרון וניוטרינו), אנטי-לפטונים (כמו פוזיטרון ואנטי-ניוטרינו), קווארקים ואנטי-קווארקים, וכן בפוטון (הנושא את הכוח האלקטרומגנטי) ובחלקיקים הנושאים את הכוח החלש - בוזוני W ו-Z. מודל גלשאו-ויינברג-סאלאם הוא תורת כיול בעלת חבורת כיול ${\displaystyle SU(2)\times U(1)}$ , כאשר הסימטריה הלוקאלית המתאימה נשברת (שבירת סימטריה ספונטנית) ל-${\displaystyle \ U(1)}$  במנגנון היגס. לפיכך, לבוזוני W ו-Z יש מסה (בניגוד לחלקיקים נושאי כוח אחרים, שהם חסרי מסה).

דיאגרמות פיינמן הן שיטה לחישוב תגובות בין חלקיקים. המטרה היא חישוב פונקציית הקורלציה (הנקראת גם פונקציית גרין) בין מצבים חיצוניים מסוימים: N-חלקיקים נכנסים או יוצאים. הגודל המחושב הוא המשרעת (אמפליטודה) של כל דיאגרמה, וסכום כל הדיאגרמות האפשריות הוא האמפליטודה, או פונקציית הקורלציה של N-חלקיקים.

דיאגרמות פיינמן הן חישוב מקורב בתורת ההפרעות: החישוב המדויק אינו אפשרי באופן ישיר. בתורת ההפרעות מניחים שעוצמת האינטראקציה היא חלשה באופן יחסי וככזו ניתן לבטאה כתלות בפרמטר קטן מתאים הנקרא קבוע צימוד. השיטה של דאגרמות פיינמן מאפשרת לנו לכתוב את פונקציית הקורלציה כטור מתכנס של איברים שכל אחד מהם כולל מקדם הכופל חזקה כלשהי של קבוע הצימוד. קבוצת דיאגרמות בעלות אותה חזקה של קבוע הצימוד נקראת סדר, וככל שמחשבים סדר גבוה יותר התוצאה מדויקת יותר, אך גם מורכבת יותר לחישוב, כיוון שמספר הדיאגרמות יחסי רב יותר וגם החישוב של כל דיאגרמה מורכב יותר.

מתוך פונקציית הקורלציה מחשבים גדלים רבים בתורת החלקיקים: מסה של חלקיקים מורכבים, חתכי פעולה של תגובות, זמן מחצית חיים של חלקיקים.

הדיאגרמות עצמן מצוירות ומחושבות באמצעות כללי פיינמן, שהם נוסחאות המתארות את החלקיקים ואת האינטראקציות המותרות. קו בדיאגרמה מייצג חלקיק (צורות שונות של הקו מייצגות סוג חלקיקים שונה), וצומת מייצג אינטראקציה.

דוגמה: פיזור קומפטון

אלקטרודינמיקה קוונטית היא סוג של תורת שדות קוונטית שבה קיימים אלקטרונים (קווים ישרים) ופוטונים (קווים עקלתוניים) בלבד, וצומת אחד: פוטון עם שני אלקטרונים.

פיזור קומפטון (ראו תמונה) הוא תגובה שבה פוטון פוגע באלקטרון ומוחזר ממנו לכוון אחר. בדיאגרמות פיינמן האינטראקציה הכוללת מתוארת באמצעות שני קווי פוטונים ושניים של אלקטרונים, כאשר באמצע "קופסה שחורה" - סך כל הדיאגרמות (הדיאגרמה השמאלית). הדיאגרמה הראשונה בסכום היא דיאגרמת סדר-עץ, ושתי הבאות הן דיאגרמות מסדר לולאה אחת.

 

דוגמה נוספת

חישוב תגובה בין ארבעה חלקיקים בתורה שיש בה חלקיק מסוג אחד (סקלר) ואינטראקציה מסוג אחד בלבד, צומת של ארבעה חלקיקים, עם מקדם g. קיימת רק דיאגרמה אחת לסדר הראשון. הסדר הראשון, g, נקרא "סדר עץ" (tree-level), כי הוא מתואר באמצעות כגרף עץ ואין בו לולאות. לעומת זאת בסדר השני, g², קיימות 4 דיאגרמות, כל אחת בעלת לולאה אחת. הסדרים נקראים גם על שם מספר הלולאות.

  ערך מורחב – רנורמליזציה

בתורת השדות חישוב נאיבי של גדלים רבים מתבדר. התוצאה הזו אינה תואמת את התוצאות האמפיריות של גדלים מדידים, שהן סופיות, ולעיתים קרובות מובילה לתוצאות שכלל אינן מוגדרות. לכן נדרשת תורת השדות לתהליך אשר ייתן תוצאה סופית, ויסביר את מקורו של הגודל האינסופי המקורי. התהליך הזה נקרא רנורמליזציה.

ניתן לראות תוצאה אינסופית, לדוגמה, בחישוב של דיאגרמת פיינמן עם לולאה אחת. סדר העץ הוא סופי, אך לעיתים קרובות סדר לולאה נותן אינסוף (או תוצאה שאינה מוגדרת) בחישוב.

השלב הראשון הוא "כימות" של האינסוף: רגולריזציה. מכניסים גודל חדש לחישוב שבגבול מסוים אינו משפיע. למשל אנרגיית קיטעון, כך שהאינטגרל מתבצע בתחום סופי של התנע והאנרגיה במקום בתחום אינסופי, והחישוב בכללו סופי אך תלוי בגודל המלאכותי שהוספנו. בגבול שבו אנרגיית הקיטעון אינסופית התוצאה חוזרת לתוצאה האמיתית.

תהליך הרנורמליזציה "מחביא" את האינסוף: מגדירים את הפרמטרים המקוריים של החלקיקים (מסה, מטען, מקדם אינטראקציה) בעזרת הגודל המלאכותי, כך שהתוצאה הכוללת היא סופית. נאמר שהפרמטרים המקוריים הם "עירומים" (bare) ולכן אינסופיים ולא מדידים, ורק הפרמטרים המנורמלים הם סופיים ומדידים ("פיזיקליים").

התהליך הזה גרם לאי-נוחות רבה בקרב פיזיקאי החלקיקים המוקדמים, אך נתן תוצאות כה מדויקות ומתאימות לניסויים עד שהוא לבסוף התקבל כפרוצדורה הסטנדרטית בתורת החלקיקים. כיום תהליך זה מובן כעדות לקיומה של פיזיקה שאינה ידועה במרחקים קצרים ביותר, אשר שקולים בתורת הקוונטים לאנרגיות גדולות ביותר - מרחקים ואנרגיות בהם ידוע כי תורת השדות הקוונטית דורשת השלמה, בפרט כדי לתאר את כוח הכבידה. במקרים אחרים, תהליך זה נדרש דווקא במקרים בהם ההתבדרות מתרחשת במרחקים מאד גדולים (או אנרגיות השואפות לאפס) - ובמקרה זה התהליך מובן כמתאר בצורה טובה יותר את האופן בו מבוצעת מדידה על ידי מכשירים מציאותיים בעלי דיוק סופי.

בנוסף לטיפול באינסוף, רנורמליזציה היא בעלת משמעות פיזיקלית עמוקה. אחת המסקנות היא שאכן "קבועים" בתורת השדות תלויים באנרגיה שבה נערך הניסוי: הקבוע של אינטראקציה אלקטרומגנטית גדל באנרגיה מאוד גבוהה, שמקבילה למרחקים קצרים. גם תוצאה זו נתמכת בניסויים.

• תורת הקוונטים
• המודל הסטנדרטי
• התפתחות הפיזיקה במאה ה-20
• פיזיקת חלקיקים
• פיזיקה של חומר מעובה
• תורת כבידה קוונטית
• תורת כיול

  מדיה וקבצים בנושא תורת השדות הקוונטית בוויקישיתוף

• ארז גרטי, QED – הפיזיקה של תגובת האור עם החומר, במדור "מאגר המדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 2 ביולי 2011
• חופשי ומאושר - בלוג של ניר להב באתר תפוז, שדות היגס לנצח - בחיפוש אחר הסימטריה האלוהית הסבר על תורת השדות הקוונטית, תורות כיול וחלקיק ההיגס
• תורת השדות הקוונטית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
•   תורת שדות קוונטית, דף שער בספרייה הלאומית