Grupo Abeliano

Os grupos abelianos reciben o seu nome en honra ao matemático noruegués Niels Henrik Abel, que os empregou no seu estudo das ecuacións alxébricas resolubles con radicais. Os grupos que non son conmutativos denomínanse “non abelianos” ou “non conmutativos”.

Dada unha estrutura alxébrica sobre un conxunto G e cunha operación interna binaria "${\displaystyle \circ }$ ", dise que a estrutura ${\displaystyle (G,\circ )}$  é un grupo abeliano con respecto á operación ${\displaystyle \circ }$  se:

1. ${\displaystyle (G,\circ )}$  ten a estrutura alxébrica de grupo.
2. ${\displaystyle (G,\circ )}$  ten a propiedade conmutativa.

• Todo grupo cíclico G é abeliano, pois se x, y ∈ G = <a>, x = a^m y y = aⁿ para algúns m, n enteiros, co que xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx. En particular, o grupo Z de enteiros coa suma é abeliano, ao igual que o grupo de enteiros módulo n, Z_n.
• Os números reais forman un grupo abeliano coa adición, ao igual que os reais non nulos coa multiplicación.
• Todo anel é un grupo abeliano con respecto á súa suma. Nun anel conmutativo, os elementos invertibles forman un grupo abeliano coa multiplicación.
• Todo subgrupo dun grupo abeliano é normal, e polo tanto, para todo subgrupo hai un grupo cociente. Subgrupos, grupos cocientes e sumas directas de grupos abelianos son tamén abelianos.

• Se n é un número natural e x un elemento dun grupo abeliano G, pódese definir nx = x + x +... + x (n sumandos), e (−n)x = −(nx), co que G se converte nun módulo sobre o anel Z dos enteiros. De feito, os módulos sobre Z non son outros cós grupos abelianos.
• Se f, g: G → H son dous homomorfismos entre grupos abelianos, a súa suma (definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)) tamén é un homomorfismo; isto non se cumpre en xeral para os grupos non abelianos. Con esta operación, o conxunto de homomorfismos entre G e H vólvese, entón, un grupo abeliano en si mesmo.