Valinta-Aksiooma

Toisin sanoen voidaan muodostaa kuvaus, valintakuvaus, joka valitsee jokaisesta joukosta yhden alkion. Kaikissa tapauksissa, jos joukkoja ${\displaystyle S_{i}}$ on äärettömän monta, ei kuitenkaan voida muodostaa sääntöä, jonka mukaisesti alkiot kustakin joukosta valitaan, mutta valinta-aksiooma olettaa ainoastaan, että tällainen valintakuvaus on olemassa, vaikka sitä ei voitaisi konstruoida.

Valinta-aksioomaa käytti ensimmäisenä eksplisiittisesti Ernst Zermelo vuonna 1904. Hänen esittämässään muodossa aksiooma kuuluu näin:

»Jokaista keskenään erillisten epätyhjien joukkojen joukkoa x kohti on olemassa joukko y joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta x:n alkiosta»

Valinta-aksiooma voidaan ilmaista myös niin, että kun joukoista ${\displaystyle S_{i}}$ yksikään ei ole tyhjä, myöskään niiden karteesinen tulo ei ole tyhjä joukko.

Aksiomaattisessa joukko-opissa käytetään useimmiten aksioomina Zermelon-Fraenkelin aksioomia (ZF). Kun niihin lisätään valinta-aksiooma, saadusta aksioomakokoelmasta käytetään lyhennettä ZFC. Kurt Gödel todisti vuonna 1939, että valinta-aksiooma voidaankin ristiriidattomasti yhdistää Zermelon-Fraenkelin aksioomiin. Vuonna 1963 Paul Cohen toisaalta todisti, että sitä ei voida todistaa ZF-aksioomien avulla eli se on niistä riippumaton.

Valinta-aksiooman avulla voidaan todistaa muun muassa seuraavat, sen kanssa yhtäpitävät tulokset, joita voidaan pitää myös valinta-aksiooman vaihtoehtoisina muotoiluina:

• Zornin lemma: Jos H on järjestetty joukko ja sen jokaisella ketjulla on H:ssa pienin yläraja, niin H:lla on maksimaalinen alkio.
• Hyvinjärjestyslause: jokainen joukko voidaan järjestää niin, että sen jokaisella osajoukolla on "pienin" tai ensimmäinen alkio.
• Trikotomia: joukkoja voidaan aina vertailla mahtavuusjärjestyksessä, eli mille tahansa joukoille A ja B on aina joko ${\displaystyle {\mbox{card}}(A)<{\mbox{card}}(B)}$ , ${\displaystyle {\mbox{card}}(A)={\mbox{card}}(B)}$  tai ${\displaystyle {\mbox{card}}(A)>{\mbox{card}}(B)}$ 
• Jokainen ääretön joukko A on yhtä mahtava karteesisen tulon A x A kanssa.

Matematiikan eri aloilla on runsaasti lauseita, jotka voidaan todistaa ainoastaan valinta-aksiooman avulla. Tällaisia ovat esimerkiksi seuraavat:

• Jokaisella vektoriavaruudella on kanta
• Jokaisella kunnalla on algebrallinen sulkeuma
• Reaalilukujen joukossa ${\displaystyle \mathbb {R} }$  sekä jokaisessa joukossa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  on sellaisia osajoukkoja, jotka eivät ole Lebesgue-mitallisia
• Boolen algebrojen ultrafiltteriteoreema
• Stonesin esityslause Boolen algebroille
• Tihonovin lause topologiassa: Kompaktien avaruuksien karteesinen tulo on kompakti.
• Hahn-Banachin teoreema funktionaalianalyysissa

• Otavan suuri Ensyklopedia, 3. osa (Hasek-juuri), s. 2401, art. Joukko-oppi. Otava, 1978. ISBN 951-1-02232-6.
• Väisälä, Jussi: Topologia II, s. 73–77. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
• Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics, s. 179–180. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6.