Froga Matematiko

Matematikan, proposizio matematiko bat egiaztatzeko erabiltzen den argudio deduktibo bat da froga edo frogapen bat.

Argumentazioan aurretik ezarritako baieztapenak erabil daitezke, hala nola teoremak eta hasierako baieztapenak edo axiomak. Froga, printzipioz, funtsean frogarik behar ez duten baieztapenak lortu arte garatu daiteke, axioma izenekoak. Frogantzak dedukziozko arrazoibideen adibideak dira, eta indukzio bidezkoak eta enpirikoak bereizten dira. Frogapen batek baieztapen bat beti egiazkoa dela frogatu behar du (batzuetan, kasu posible guztiak zerrendatu eta horietako bakoitzean baliozkoa dela ikusita), eta ez kasu askotan onartzen dela. Egiazkotzat jotzen den frogatu gabeko baieztapen bati aieru deritzo.

Froga Matematiko
Euklides-en "Στοιχεῖα" (Elementuak) liburuaren zati bat.

Frogapenetan, logikaz gain, normalean, hizkuntza naturala ere erabiltzen da, anbiguotasunen bat izan dezakeena. Egia esan, frogantza matematiko gehienak logika informal zorrotzaren aplikaziotzat jo daitezke. Froga formal hutsak, hizkuntza sinbolikoan (ez hizkuntza naturalean) idatziak, froga-teorian hartzen dira kontuan. Froga formal eta informalen bereizketak logika matematiko historikoa eta gaur egunekoa, kuasienpirismo matematikoa eta formalismo matematikoa ikertzea eragin du. Matematikaren filosofia hizkuntzaren eginkizunaz eta frogapenen logikaz arduratzen da.

Teorema baten frogapena ez ezagutzeak ez du esan nahi egiazkoa ez denik; faltsua dela esango bada, ezeztapena frogatu behar da.

Etimologia eta historia

«Froga» hitza latinetik dator, probare hitzetik, 'frogatu' esan nahi du. Erlazionatutako hitz modernoak gaztelaniazko probar ('dastatu', 'usaindu' edo 'entseatu'), probidad, probo (edo «proba») eta probabilidad hitzak dira; alemanierazko probieren ('saiatu'), italierazko probare ('saiatu'); eta ingelesezko probe eta probation hitzak. Probity ('zintzotasuna') ingelesezko terminoaren hasierako erabilerak 'ebidentzia legalaren aurkezpena' esan nahi zuen. Agintaritzako pertsona bat – oro har, diru asko zuen edozein pertsona –  'proba' pertsona zela esaten zen, eta haren ebidentziak beste edozein testigantza edo erakustaldi enpirikok baino pisu handiagoa zuen.

Argudio onargarriek erabiltzen zituzten baliabide heuristikoak, adibidez, irudiak eta analogiak, matematikako froga zorrotzen aurretikoak izan ziren. Hasiera bateko ondorio bat frogatzearen ideia, segur aski, geometriarekin lotuta egon zen; izan ere, geometriaren jatorrizko definizioa ‘Lurraren neurri’ edo ‘lur-neurketa’ izan zen. Froga matematikoaren garapena Antzinako Greziar matematikaren oinarrizko emaitza da, eta baita haren lorpen handienetako bat ere. Tales Miletokoak ( K.a. 624-546) geometriako teorema batzuk frogatu zituen. Eudoxok ( K.a. 408-355) eta Teetetok (K.a. 417-369)  teorema batzuk adierazi zituzten, baina ez zituzten frogatu. Aristotelesek (K.a. 384-322) zioen definizioek jadanik ezagunak ziren beste kontzeptu batzuen terminoen gainean deskribatu behar zutela definitu beharreko kontzeptu berria. Metodo axiomatikoak, gaur egun oraindik matematikako frogapenetarako erabiltzen direnak, Euklidesek (K.a. 300) erabili zituen lehenengo aldiz, termino mugagabeekin eta axiomekin (egiazkotzat hartutako termino mugagabeei dagozkien proposizioak; grekotik, axios) hasten zen, eta horien bidez teoremak frogatu zituen, dedukziozko logika erabiliz. XX. mendearen erdialdera arte, mendebaldean bere burua ondo hezitakotzat zeukan edonork irakurri zuen 'Elementuak', Euklidesen liburua. Liburu horrek, geometriako ohiko teoremez gain (Pitagorasen teorema, adibidez) bi zenbakiaren erro karratua irrazionala dela eta infinitu zenbaki lehen daudela erakusten duten frogak jasotzen ditu.

Horren ostean arlo berean egindako aurrerapenak, Erdi Aroko matematika islamikoen eskutik izan ziren. Greziako frogapen goiztiar gehienak froga geometrikoak izan ziren; matematikari islamikoek garatutako aritmetikari eta aljebrari esker, ordea, geometriaren mende ez zeuden frogapen orokorragoak lortu ziren. X. mendean Al-Hashim matematikari irakiarrak zenbakientzako frogapen orokorragoak eman zituen: besteak beste, «lerroen araberako» biderketa eta zatiketak. Metodo hori erabili zuen zenbaki irrazionalen existentzia frogatzeko.

Sekuentzia aritmetikoak frogatzeko indukzio matematiko bidezko metodoa, Al-Karaji matematikari persiarrak sartu zuen Al-Fakhri liburuan (K.o. 1000), zeinek binomioaren teorema eta Pascal-en triangelua frogatzeko erabili zituen. Alhazen-ek kontraesanezko frogapen metodoa garatu zuen, paraleloen postulatu euklidearra frogatzeko lehen saiakera gisa.

Frogapenen teoria modernoak indukzio bidez definituriko datu-egitura gisa tratatzen ditu frogak. Egun ez da onartzen axiomak “egiazkoak” direnik; horrek axiomen multzo alternatuetan teoria matematiko paraleloak sortzea ahalbidetzen du (ikus multzo-teoria eta geometria ez-euklidearra adibide gisa).

Helburua

Frogapen bat hizkuntza naturalean idazten da, esan den bezala, eta haren helburua da emandako argumentuaren egiazkotasuna frogatzea. Frogapena modu desberdinetan aurkez daiteke, espero den hartzailearen arabera. Onarpena lortzeko asmoarekin, frogantzak ohiko zorroztasun parametroak bete behar ditu: argumentu osagabeak errefusatuko ditugu.

Frogapenaren kontzeptua logika matematikoaren esparruan formalizatzen da. Frogapen formala hizkuntza naturalean beharrean, hizkuntza formalean idazten da. Frogantza formal bat hizkuntza formalean adierazitako formulen sekuentzia bat da, non formula bakoitza aurrekoen ondorio logikoa den. Hain zuzen ere, frogapen teoriaren arloak frogapen formalak eta horien propietateak aztertzen ditu; horren aplikazio bat da frogatzea baieztapen esanezin batzuek ezin dutela izan frogapenik.

Frogapenaren kontzeptua praktika matematikoan erabiltzen den moduan ulertzeko, frogapen formalaren definizioa erabiltzen da. Definizio honekin, ikus dezakegu zabaldutako frogapen bat, printzipioz, frogapen formalean itzuli dezakegula. Hala ere, praktikan bihurketa horiek, laguntzaile automatikoen arloan bakarrik egiten dira. Filosofiako galdera klasikoetariko batek galdetzen du ea frogapen matematikoak analitikoak edo sintetikoak diren. Kant-ek adierazi zituen analitikoen eta sintetikoen arteko desberdintasunak, eta hark uste zuen frogapen matematikoak sintetikoak zirela.

Objektu estetiko bezala kontsidera ditzakegu frogapenak, horien edertasun matematikoagatik miretsiak. Paul Erdős matematikariak, bere iritziz Liburua liburuan agertzen ziren frogapen matematiko dotoreenak deskribatu zituen. 2009.urtean argitaratutako "Liburu"-ko frogapenak saiakuntzak, editoreek hautatutako 32 frogapen biltzen ditu, frogapen horiek existitzen diren egokienak edo zuzenenak direla kontsideratzen direlako.

Metodo garrantzitsuenak

Froga zuzena

Hipotesi batetik abiatuz, ondorio bat ematen duten proposizioak frogatzeko erabili ohi da froga zuzena. Adibidez, euria egiten badu, orduan pista bustiko da; egunerokotasunean erabiltzen den esaldia hartzen badugu, badakigu euria egitea baldintza nahikoa dela pista bustita egon dadin; bestalde, euria egiten badu, badakigu ezinbestean pista bustiko dela. Matematikaren testuinguruan, mota honetako proposizioak, hipotesitik abiatuz, aurretik ezagutzen diren beste proposizio batzuk erabiliz ondorioztatzen dira.

Orokorrean, froga zuzena erabiltzen denean, aurretik erabilitako axioma, definizio eta teoremak konbinatuz lortzen da ondoriora iristea. Zenbaki bikoitien batura bikoitia dela frogatzeko erabiltzen da, adibidez, metodo hau.

Har ditzagun Froga Matematiko  eta Froga Matematiko  bi zenbaki bikoiti. Orduan, existitzen dira bi zenbaki oso, Froga Matematiko  eta Froga Matematiko , non Froga Matematiko  eta Froga Matematiko  diren. Ondorioz, bi zenbaki bikoitiak batuz, Froga Matematiko  beteko da, bikoitia dena. Beraz, bi zenbaki bikoitiren batura bikoitia da, eta frogatuta gelditzen da.

Froga hori egiteko, zenbaki oso bikoitien propietateak erabiltzen dira; eta baita ere erabiltzen da, zenbaki osoak baturarekiko eta biderkadurarekiko itxiak direneko propietatea, hau da, bi zenbaki oso (edo bi baino gehiago, edozein) hartuz, batuz edo biderkatuz, berriro ere zenbaki oso bat lortzen dela.

Beste proposizio eta teorema batzuek, baldintza bikoitza izaten dute; hau da, hipotesiak ondorioa inplikatzen du, eta alderantziz: ondorioak hipotesia inplikatzen du. Praktikan, mota horretako enuntziatuak froga zuzenarekin edo kontraesanezko metodoa erabiliz frogatzen dira.

Kontraesanezko metodoa

Kontraesanezko metodoa erabiltzen dugunean (reductio ad absurdum izenez ere ezagutua), pauso logiko batzei jarraitu ondoren, baieztapen batera heltzen gara, eta baieztapen hori ez dator bat hasierako hipotesiren batekin, edo, beste era batera esanda, logikoki absurdoa da, eta ,ondorioz, baieztapena faltsua da.

Metodo hau erabiltzen duen frogapen ezagunenetako bat biren erroa (Froga Matematiko ) zenbaki irrazionala dela frogatzen duena da.

Jotzen da, absurdora eramanez, Froga Matematiko  zenbaki arrazionala dela; orduan, definizioz, Froga Matematiko  existitzen dira, biak ez-nuluak, non Froga Matematiko  den eta Froga Matematiko  (hau da, Froga Matematiko  zatiki irreduziblea da).

Orain, Froga Matematiko  bakanduz, Froga Matematiko , eta berdintzaren bi aldeak birekin berretuz, Froga Matematiko , ikusten da Froga Matematiko  bikoitia izan behar duela, eta Froga Matematiko -k ere zenbaki osoa denez, bikoitia izan beha du; bestela esanda, Froga Matematiko , non Froga Matematiko  ez-nulua den. Adierazpen berri hori hasierako ekuazioan ordezkatuz, Froga Matematiko , eta sinplifikazioa eginez, Froga Matematiko  da. Ohartu berriro ere hasierako kasua lortzen dela, eta, orduan, Froga Matematiko -rekin argudiatu den bezala, Froga Matematiko  ere bi zenbakiaren multiploa da. Ondorioz, 2 zenbakiak, Froga Matematiko  eta Froga Matematiko  zatitzen ditu, eta horrek esan nahi du Froga Matematiko  dela, baina hasieran jo da Froga Matematiko  dela. Beraz, kontraesan bat lortzen da, eta orduan, Froga Matematiko  ez da zenbaki arrazionala. Ondorioz, Froga Matematiko  zenbaki irrazionala dela frogatuta dago (zenbaki erreala da Froga Matematiko , eta zenbaki errealak zenbaki irrazionalen eta arrazionalen bildura dira).

Indukzio matematikoa

Indukzio matematikoa ez da metodo induktiboa erabiltzen duen frogapen mota bat. Indukzio matematikoaren bidez, Froga Matematiko  aldagaiaren mende dauden proposizioak froga daitezke; Froga Matematiko  edozein zenbaki oso da. Hasierako kasu bat frogatzen da (Froga Matematiko -ren balio txiki bat erabiliz proposizioa betetzen dela ikasten da) eta baita indukzio-erregela bat ere, zeinen bidez ezartzen baita kasu konkretu batek hurrengoa dakarrela. Indukzio-erregela behin eta berriz erabili behar da, aurretik frogatutako hasierako kasutik abiatuz. Nahiz eta orokorrean hasierako kasua bakarra izan, batzuetan bi edo gehiago behar dira frogapena egin ahal izateko. Modu sinplean azalduta, hurrengo arrazoibideak laburtzen du indukzio matematikoaren ideia:

Izan bedi Froga Matematiko  zenbaki osoa (hasierako kasua), Froga Matematiko  propietatea betetzen duena. Hortik abiatuta, edozein Froga Matematiko zenbaki osok Froga Matematiko  propietatea betetzeak Froga Matematiko  zenbakiak ere propietate hori betetzen duela inplikatzen badu, orduan, Froga Matematiko  zenbakia baino handiagoak diren zenbaki guztiek beteko dute propietate hori.

Frogapen hau indukzioa matematikoaren printzipioan oinarrituta dago.

« Indukzio matematikoak frogatzen du eskailera batean nahi bezainbeste maila igo ditzakegula lehen maila igo dezakegula froga badezakegu (hasierako kasua) eta maila bakoitzetik hurrengora igo gaitezkeela (indukzio-erregela). »
Concrete Mathematics, 3.orr (ingelesez).

Indukzio matematikoaren ohiko aplikazioa da ezen, propietate bat zenbaki natural baterako betetzen bada, zenbaki natural guztietarako betetzen dela:

Izan bedi Froga Matematiko  zenbaki naturalen multzoa, eta Froga Matematiko ,edozein Froga Matematiko  zenbaki naturaletarako frogatu nahi dugun baieztapena; orduan:

  • Froga Matematiko  egiazkoa da, hau da, Froga Matematiko  betetzen da n=1 denean.
  • Froga Matematiko  egiazkoa da Froga Matematiko  egiazkoa bada; hau da, Froga Matematiko  betetzeak Froga Matematiko  inplikatzen du.

Erkatze bidezko metodoa

Hipotesi batetik abiatuz, ondorio bat ematen duten proposizioak frogatu ohi dira metodo honen bidez, baina, kasu honetan, ondorioa betetzen ez bada orduan hipotesia betetzea ezinezkoa dela ikusten da. Matematikoki, Froga Matematiko  baieztapenak Froga Matematiko  baieztapena inplikatzen badu, orduan Froga Matematiko  ez betetzeak Froga Matematiko  ez dela betetzen inplikatzen du, eta baieztapen honi hasierakoaren kontrajarria dela esaten da (Froga Matematiko ).

Adibide logiko ez-matematiko bat hau izan liteke: jo dezagun jatetxe batek ostegunero paella eskaintzen duela menuan. Bistakoa da «osteguna» gertakizunak «paella» gertakizuna dakarrela. Izan baliteke, asteko beste egun batean joanez gero, jatetxeak paella eskaintzea, baina ziur, ostegunero paella egongo dela. Aurreko baieztapenetik ondorio logiko bakarra lortzen da: egun batean jatetxe horretara joanez gero eta menuan paella ez badago, orduan ez da osteguna izango.

Adibide matematiko bat izan daiteke, Froga Matematiko bakoitia bada, Froga Matematiko  bakoitia dela frogatzeko prozedura. Horretarako, Froga Matematiko  bakoitia ez bada Froga Matematiko -rekin zer gertatzen den ikusten da. Froga Matematiko  zenbaki bikoitia izango da orduan, eta bere buruarekin biderkatuz, berriro ere zenbaki bikoiti bat lortzen da; beraz, Froga Matematiko  ez da bakoitia izango, eta frogatuta geratzen da proposizioa.

Zenbaki errealen multzoan oso ezaguna da honako proposizioa: Froga Matematiko ; alegia, bi zenbaki errealen biderkadura nulua bada, orduan bi zenbakietako batek nulua izan beharko du. Horrek proposizio kontrajarri hau dakar: Froga Matematiko  eta Froga Matematiko  betetzen bada, orduan Froga Matematiko  da.

Ordenagailu bidezko metodoa

Froga Matematiko 
Lau kolore erabiliz margotutako munduko mapa.

XX. mendera arte frogapen bat baieztatzeko matematikari aditu batek berrikusi behar zuela uste zen. Edonola ere ordenagailuak teoremak frogatzeko eta gizakiontzat zailak edo luzeak diren kalkuluak burutzeko erabiltzen dira gaur egun. Lau koloreen teoremaren lehen frogapena ordenagailu bidezko frogapenen adibide bat da.

Ordenagailuko programa batean edo programa horren exekuzioan frogapena ezeztatuko duen errore bat egiteak kezkatzen ditu matematikariak. Praktikan, ordenagailu bidezko frogapen bat baliogabetzen duen errore bat egiteko probabilitatea murriz daiteke. Horretarako, erredundantzia eta autoberrikuspena eransten dira kalkuluetan. Erroreak egitea ezin da guztiz ekidin, baina hori gizakiok egindako frogapenetan ere ezinezkoa da.

Froga probabilistikoa

Froga probabilistikoetan adibide baten existentzia frogatzen da probabilitate teoria erabiliz. Teorema bat onargarria (teorema segur aski egiazkoa izatea) izatea eta probabilitate bidez frogatzea ez da gauza bera. Existentzia teoremak frogatzeko erabili ohi da metodo probabilistikoa.

Konbinatoria bidezko metodoa

Modu desberdinetara azaldutako bi objekturen arteko baliokidetasuna frogatzeko erabili ohi da konbinatoria bidezko metodoa. Gehienetan, bijekzio bat definitzen da objektu horien artean, eta gauza beraren bi adierazpen desberdin direla frogatzen da.

Froga konstruktiboa

Froga konstruktiboa edo adibide bidezko froga ezaugarri espezifiko bat duen adibide konkretu bat eraikitzean datza, propietate hori duen elementuaren existentzia frogatzeko. Joseph Liouville-k, adibidez, froga konstruktiboa erabili zuen zenbaki transzedenteen existentzia frogatzeko. Batzuetan proposizio bat elementu guztientzat egiazkoa ez dela frogatzeko erabiltzen da froga konstruktiboa; horretarako, kontraadibide bat eraikitzen da.

Frogapen metodo hau Cantor-ek erabili zuen zenbaki errealen multzoa zenbakigarria ez dela frogatzeko. Horretarako, zenbaki erreal guztiak zenbakigarriak zirela jo zuen, eta segida bat osatu zuen zenbaki horiekin; ondoren, segida horretan azaltzen ez zen zenbaki bat eraiki zuen. Ondorioz, zenbaki errealen multzoa zenbakigarria izatea absurdoa dela lortu zuen; eta, beraz, zenbaki errealen multzoa ez dela zenbakigarria frogatu zuen.

Zehaztasun bidezko metodoa

Zehaztasun bidezko metodoetan ondorioa lortzeko kasu finitu kopuru batean banatzen da frogatu beharrekoa, eta kasu bakoitza banan-banan frogatzen da. Kasu kopuru asko ditugunean ez da gomendatzen metodo hau erabiltzea; izan ere, oso luzea izan daiteke frogapena. Adibidez, lau koloreen teorema frogatzeko lehen saiakeran, metodo hau erabili zen, eta guztira 1936 kasutan banatu zen froga; ondorioz, kasu gehienak ordenagailu bidez egin ziren.

Baieztapen frogaezinak

Sententzia bat betetzen dela ezin bada frogatu axioma multzo batetik abiatuta, baina ezta ez dela betetzen ere, baieztapen frogaezin bat izango da axioma horiekin. Horren adibide da paraleloen postulatua, ezin dena beiztatu ez baliogatu geometria euklidearraren gainerako axiomekin.

Matematikariek erakutsi dute baieztapen frogaezin ugari daudela Zermelo-Fraenkel-en multzo-teorian hautapen-axiomatik abiatuta.

Göbel-en osagabetasunaren lehen teoreman interes matematikoa duten sistema axiomatiko askok baieztapen frogaezinak dituztela ikusten da.

Frogapen matematikoen eragina beste arloetan

Froga Matematiko 
"Atenasko Eskola" Raffaelo-ren margolana.

Hainbat matematikari eta filosofo, esate baterako Baruch Spinoza , argumentu filosofikoak estilo axiomatikoan formulatzen saiatu ziren, non frogapen matematikoaren estandarrak argumentazio filosofiko orokorrean aplika zitzaketen. Beste filosofo eta matematikari batzuk, frogapen matematikoaren estandarrak eta arrazoia erabiltzen saiatu ziren ere, enpirismoa erabili gabe, adibidez, cogito argumentua Descartesek.

Adibideak

Kontraesanezko metodoaren adibide bat: 1>0 da
Baieztapenaren frogapena axioma batzuetan oinarritzen da; horrela, pauso guztiak zuzenak badira, froga egiazkoa izanten da.

Hauek dira erabili behar diren zenbaki errealen axiomak:

  1. Froga Matematiko 
  2. Froga Matematiko  eta Froga Matematiko  badira (Froga Matematiko , Froga Matematiko  eta Froga Matematiko  zenbaki errealak izanik), orduan, Froga Matematiko 

Hori kontuan hartuta, frogapena hasteko, espero den emaitzaren kontrakoa onartzen da: 1<0. Orduan, honako bi baieztapenak betetzen dira:

  • Froga Matematiko  da.
  • 2. axioma erabiliz, eta Froga Matematiko  eta Froga Matematiko <0 izanik, Froga Matematiko .

Beraz, aurreko bi baieztapenak betetzea ezinezkoa da, eta ezarritako hipotesia (Froga Matematiko ) ez da zuzena. Horrekin baiezta daitekeena Froga Matematiko  da. Baina 1. axiomaren arabera, Froga Matematiko  da. Beraz, Froga Matematiko  da, eta frogapena bukatu da.

Indukziozko frogapenaren adibide bat:

Frogatu dezagun

Froga Matematiko  betetzen dela.

Frogapena

  • Froga Matematiko  denean egia dela frogatu behar dugu, batukaria k=1etik hasten baita.

Izan bedi Froga Matematiko , orduan,

Froga Matematiko 

izango dugu, eta Froga Matematiko erako egia dela ikusi dugu.

  • Froga Matematiko  finko baterako egiazkotzat jota, ikus dezagun Froga Matematiko -en kasuan zer gertatzen den.

Batukarien propietateengatik badakigu,

Froga Matematiko .

Froga Matematiko -ren kasurako baieztapena egiazkotzat jo denez, hurrengoa daukagu

Froga Matematiko , eta aurreko adierazpenean ordezkatuz:

Froga Matematiko .

Ondorioz,

Froga Matematiko .

Froga Matematiko  ez denez, sinplifika dezakegu Froga Matematiko  terminoa, eta ondokoa lortzen dugu:

Froga Matematiko .

Frogatu nahi genuena lortu dugu.

Ondorioz, baieztapena Froga Matematiko -en kasuan ere betetzen da.

Beraz, baieztapena Froga Matematiko  guztietarako betetzen da.

Erreferentziak

Kanpo estekak

Tags:

Froga Matematiko Etimologia eta historiaFroga Matematiko HelburuaFroga Matematiko Metodo garrantzitsuenakFroga Matematiko Baieztapen frogaezinakFroga Matematiko Frogapen matematikoen eragina beste arloetanFroga Matematiko AdibideakFroga Matematiko ErreferentziakFroga Matematiko Kanpo estekakFroga MatematikoAieru (zientzia)ArgudioArrazoibide deduktiboAxiomaEbidentzia enpirikoMatematikaMetodo induktiboTeorema

🔥 Trending searches on Wiki Euskara:

2027Markos GimenoCore tempGoogleKathrine SwitzerEspainiako historiaFrantziako hiri nagusien zerrendaKorrikaGiza zakil1956TourmaletNora ez dakizun horiNorvegiaFrancis Scott Key zubia (Baltimore)Bernardo AtxagaBradley CooperBehin batean Loiolan19221973AnimaliaAsturiasko Printzerria19451935LehoiAzalaLourdes IriondoCubas de la SagraSoftware libreJuan Mari Atutxa EgiraunArtzain nindagoienian1992ZarautzYiddishPornhub2023ErrumaniaJosune GorostidiAretha FranklinKosovoEuskal Herria BaiAitor ServierLeyre ArrietaFelix Goya UrbietaEnergia berriztagarriJabetza intelektualQandeel BalochYavor HristovCarmen de IcazaHitanoIngelesErrusiaGerra HotzaJosean BengoetxeaJosé Gil FortoulGiza Eskubideen Aldarrikapen UnibertsalaItziar ItuñoAlbokaPello OtxandianoUEFA Euro 2008ko azken faseaArritxu Iribar1870Euskal mitologiaSaturraranCarrizosa1980IsurtzeGaztelaniaGorka Torre🡆 More