Abeli Rühm

${\displaystyle a*b=b*a}$ iga ${\displaystyle a,b\in G}$ korral.

Näiteks positiivsed reaalarvud moodustavad arvude korrutamise suhtes Abeli rühma (positiivsete reaalarvude rühm). See rühm on isomorfne kõikide reaalarvude rühmaga, milles rühma korrutamistehteks on arvude liitmine.

Kommutatiivse rühma vastandmõiste on mittekommutatiivne rühm.

Tavaliselt kasutatakse Abeli rühmade puhul aditiivset tähistust: rühma korrutamistehe on +, ühikelement on 0 ja elemendi a pöördelement on –a.

Mis tahes tsükliline rühm G on Abeli rühm, sest kui x ja y on rühma G elemendid, siis xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx. Seetõttu on ka rühm Z (täisarvude rühm liitmise suhtes) ja Z/nZ (jäägiklasside rühm modulo n liitmise suhtes) Abeli rühmad.

Reaalarvud moodustavad liitmise suhtes Abeli rühma (reaalarvude rühm); nullist erinevad reaalarvud moodustavad korrutamise suhtes Abeli rühma (nullist erinevate reaalarvude rühm). Ühikelemendiga kommutatiivses assotsiatiivses ringis võib ka üldjuhul välja tuua kaks Abeli rühma: kõikide elementide aditiivne rühm ja pööratavate elementide multiplikatiivne rühm.

Kommutatiivsuse pärandumine

Abeli rühmade alamrühmad, faktorrühmad, korrutised ja otsesummad on Abeli rühmad.

Perioodiline osa

Abeli rühma kõik lõplikku järku elemendid moodustavad alamrühma, mida nimetatakse selle Abeli rühma perioodiliseks osaks ehk väändeks ehk väändealamrühmaks ehk maksimaalseks väändealamrühmaks ehk maksimaalseks perioodiliseks alamrühmaks.

Faktorrühmas perioodilise osa järgi ei ole lõplikku järku elemente peale 0.

Perioodiline Abeli rühm

  Pikemalt artiklis Perioodiline Abeli rühm

Perioodiline Abeli rühm on Abeli rühm, mis koosneb ainult lõplikku järku elementidest.

Abeli rühma perioodiline osa on tema maksimaalne alamrühm, mis on perioodiline Abeli rühm.

Väändeta Abeli rühm

  Pikemalt artiklis Väändeta Abeli rühm

Väändeta Abeli rühm on Abeli rühm, mille perioodiline osa on {0}; teiste sõnadega, Abeli rühm, mille ainuke lõplikku järku element on 0.

Segatud Abeli rühm

  Pikemalt artiklis Segatud Abeli rühm

Segatud Abeli rühm on Abeli rühm, mille perioodiline osa ei lange kokku ei selle rühma endaga ega nullalamrühmaga {0}; teiste sõnadega, Abeli rühm, millel on nii lõplikku järku elemente kui ka lõpmatut järku elemente.

Alamrühmad on normaalsed

Abeli rühmal on kõik alamrühmad normaalsed (normaaljagajad), nii et nende järgi saab moodustada faktorrühmi.

Perioodilise rühma laiend väändeta rühma kaudu

Igal segatud Abeli rühmal on alamrühm, mis on perioodiline Abeli rühm ja mille järgi võetud faktorrühm on väändeta rühm. Teiste sõnadega, iga segatud Abeli rühm on perioodilise Abeli rühma laiend väändeta rühma abil. Selliseks perioodiliseks alamrühmaks on selle Abeli rühma perioodiline osa.

Üldjuhul ei eraldu Abeli rühma perioodiline osa otsesumma komponendina.

Paljudel suurtel Abeli rühmadel on loomulik topoloogia, mis teeb nad topoloogilisteks rühmadeks.

Kõigi Abeli rühmade kogum koos nendevaheliste homomorfismidega moodustab Abeli rühmade kategooria Ab, mis on Abeli kategooria prototüüp.

Peaaegu kõikide tuntud algebraliste struktuuride teooriad on mittelahenduvad. Sellepärast on üllatav, et Alfred Tarski õpilane Wanda Szmielew (1955) tõestas, et Abeli rühmade esimest järku teooria on (erinevalt rühmade esimest järku teooriast) lahenduv.

Abeli rühmade esimest järku teooria lahenduvuse kindlakstegemine ning lõplike Abeli rühmade fundamentaalteoreem on Abeli rühmade teooria õnnestumised, kuid lahendamata küsimusi on veel palju:

• Lõpliku astanguga väändeta Abeli rühmadest on hea ülevaade ainult lõplikult moodustatud Abeli rühmade puhul, samuti väändeta Abeli rühmadest astakuga 1;
• Lõpmatu astakuga väändeta Abeli rühmade teoorias on palju lahendamata probleeme.

• Abelisatsioon
• Klassikorpuste teooria
• Kommutaatorite alamrühm
• Pontrjagini duaalsus
• Puhas injektiivne moodul
• Puhas projektiivne moodul
• S₃, kõige väiksem mittekommutatiivne rühm

• Wanda Szmielew. Elementary properties of abelian groups. – Fundamenta Mathematicae, 1955, 41, lk 203–271.