زمرة آبلية

زمرة أبيلية هي مجموعة مزودة بعملية "." التي تجمع بين عنصرين اثنين a و b لتكوين عنصر ثالث يرمز إليه ب a.b.

يطلق اسم الزمرة الأبيلية على كل زمرة تبادلية أي أنها زمرة (*, G) تحقق شرط التبديلية.

الانغلاق : لكل عنصرين ${\displaystyle a}$  و ${\displaystyle b}$  من ${\displaystyle A}$ ، نتيجة العملية ${\displaystyle a\cdot b}$  هي أيضا في ${\displaystyle A}$ .

التجميعية

العنصر المحايد

العنصر المقابل

التبادلية

مهما كان a و b في A، فإن a * b = b * a

• مجموعة الأعداد الصحيحة مزودةً بعملية الجمع ${\displaystyle +}$ ، والتي يُرمز إليها ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$  هي زمرة أبيلية.
• كل زمرة دائرية G هي زمرة أبيلية، لإنه إذا كان x و y عنصرين من G فإن xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx.
• كل حلقة هي زمرة أبيلية تحت عملية الجمع التي تعرف هذه الحلقة. في حلقة تبادلية، تكون العناصر القابلة للعكس زمرة جدائية أبيلية.

سميت الزمر الأبيلية هكذا نسبة لعالم الرياضيات النرويجي نيلس هنريك أبيل من طرف كامي جوردان, لأن أبيل وجد أن كون الزمر الممثلة للمعادلة، تبديلية يعني أن جذور هذه المعادلة قابلة للحلحلة بالجذور.

الزمرة الأبيلية غير المنتهية الأكثر بساطة هي الزمرة الدائرية غير المنتهية Z. انظر إلى زمرة قابلة للقسمة.

• الزمرة الأبيلية الابتدائية