Torus

Matematisk kan ein lage ein torus ved:

${\displaystyle x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,}$
${\displaystyle y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,}$
${\displaystyle z(u,v)=r\sin {v}\,}$

der

u, v ∈ [0, 2π),
R er avstanden frå senteret av torusen til ytterkanten.
r er radius av den vesle sirkelen

Vi ser av diagrammet til høgre at forholdet mellom R og r endrar utsjånaden på forma. R > r gjev ein torusring, R = r gjev eit torushorn og R < r gjev ein torusspindel.

Vi utleiar a og c:

${\displaystyle r=c-a}$
${\displaystyle R=c+a}$
${\displaystyle a={\frac {1}{2}}(R-r)}$
${\displaystyle c={\frac {1}{2}}(R+r)}$

Av dette får vi flateareal A og volumet V:

${\displaystyle A=(2\pi a)(2\pi c)=4\pi ^{2}ac=\pi ^{2}(R-r)(R+r)}$
${\displaystyle V=(\pi a^{2})(2\pi c)=2\pi ^{2}a^{2}c={\frac {1}{4}}\pi ^{2}(R-r)^{2}(R+r)}$