Irrasjonale Tal

Døme er ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ og ${\displaystyle \pi }$. Mengda av irrasjonelle tal vert stundom på symbolform uttrykt som ${\displaystyle \mathbb {R} -\mathbb {Q} }$, men formar ikkje ein vanleg algebraisk struktur. Dei rasjonelle tala er ei tett, utellbar og ikkje-samanhengande delmengd av dei reelle tala.

Det finst irrasjonelle tal

Dersom N ikkje er eit kvadrattal, så er ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$  eit irrasjonelt tal. Spesielt er ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  irrasjonelt. Eit geometrisk argument for dette vart funne for 2500 år sidan av pytagorearen Hippasus av Metapontum (eller, det er i alle fall han som har vorte tilegna funnet). Eit meir moderne prov er ved motsegn: Anta at √2 = m/n, der m og n er naturlege tal (me veit at √2 er positiv) og m + n minst mogleg. Då er også ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {2n-m}{m-n}}={\frac {2n-{\sqrt {2}}n}{2n-n}}={\frac {2-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}-1}}}$ , men ${\displaystyle 2n-m+m-n=n$ .

Anta at det finst naturlege tal m og n slik at ${\displaystyle {\sqrt {2}}=m/n}$ . Me vel m og n slik at n er minst mogleg. Då må ${\displaystyle 2n^{2}=m^{2}}$ , så 2 må dela ${\displaystyle m^{2}}$ . Då må 2 også dela m, så 4 deler ${\displaystyle m^{2}}$  og dermed også ${\displaystyle 2n^{2}}$ . Det fylgjer at 2 også deler ${\displaystyle n^{2}}$  og dermed også n, så både m og n er partal. Dette vil seia at me også har ${\displaystyle {\sqrt {2}}=(m/2)/(n/2)}$  med naturlege tal m/2 og n/2. Dette er eit motsegn, sidan her er teljaren endå mindre enn i brøken me starta med.

Eit anna irrasjonelt tal er ${\displaystyle log2}$ . Me har igjen eit motseiingsprov:

Anta at et finst naturlege tal m og n slik at ${\displaystyle \log {2}=m/n}$ . Me vel m og n slik at n er minst mogleg. Då må ${\displaystyle 10^{m/n}=2}$ , så ${\displaystyle 2^{m}\cdot 5^{m}=2^{n}}$ . Sidan 2 er eit primtal, så må då m = 0 og dermed log 2 = 0, noko som ikkje er tilfelle.

Det skal seiast at begge desse prova fyrst vert fullstendige når me har vist at dei gjevne tala faktisk eksisterer. For kvadratrota av 2 finst eit enkelt, geometrisk argument: Hypotenusen x til ein rettvinkla trekant med katetar 1 og 1 tilfredsstiller 2 = x². Sidan hypotenusen eksisterer, så eksisterer dermed også ei kvadratrot til 2. Eit argument som byggjer direkte på komplettleiksprinsippet finst også: Studerer me mengda A = {x : x ² < 2}, x reelle tal, så må denne ha ei minste øvre grense sup A. Det er mogleg å visa at sup A korkje er med i A eller A = {x : x ² > 2 og x > 0}, så difor må (sup A)^2 = 2. (Dersom sup A er med i A, så finst det eit tal høgare enn sup A som også er med i A', og dersom sup A er med i A', så finst det eit tal lågare enn sup A som også er med i A'. Dette strid mot at sup A er den minste øvre grensa til A.)

Dei irrasjonelle tala dannar inga vanleg algebraisk struktur

Dei irrasjonelle tala er korkje lukka under addisjon eller multiplikasjon:

• ${\displaystyle (2+{\sqrt {2}})+(2-{\sqrt {2}})=4}$  er ikkje eit irrasjonelt tal, sjølv om begge addendane er det.
• ${\displaystyle (2+{\sqrt {2}})\cdot (2-{\sqrt {2}})=2}$  er ikkje eit irrasjonelt tal, sjølv om begge faktorane er det.

I tillegg kan me observera at det heller ikkje er tilfelle at dersom a og b er irrasjonelle, så er nødvendigvis ${\displaystyle a^{b}}$  irrasjonell. Me ser på ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ :

• Dersom ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$  er rasjonell, så er resultatet vist umiddelbart.
• Dersom ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$  er irrasjonell, så er ${\displaystyle ({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}=2}$  det ettersøkte moteksemplet.

Dei irrasjonelle tala har inga periodisk desimalutvikling

I motsetnad til rasjonelle tal har ikkje irrasjonelle tal ei periodisk desimalutvikling. Beviset går ut på å gå ut frå at ei slik desimalutvikling finst og visa at då må talet vera rasjonelt.

• Inkommensurabilitet