Isoperimetrisch Quotiënt

De maat is voor gelijkvormige figuren gelijk. Het gaat er bij het isoperimetrisch probleem om bij een gegeven omtrek of oppervlakte de figuur met de grootste oppervlakte, respectievelijk het grootste volume te vinden. De cirkel is de vlakke, en de bol het lichaam die de oplossingen zijn. Daarom is het isoperimetrisch quotiënt zo gedefinieerd dat het voor deze figuren de waarde 1 heeft. Het isoperimetrisch quotiënt is voor alle figuren dus kleiner dan of gelijk aan 1; dat wordt de isoperimetrische ongelijkheid genoemd.

Het begrip isoperimeter is van het Grieks afgeleid en betekent gelijke omhullende afmetingen.

Voor een vlakke figuur met oppervlakte ${\displaystyle A}$  en omtrek ${\displaystyle O}$  wordt het isoperimetrisch quotiënt ${\displaystyle IQ}$  gegeven door:

${\displaystyle IQ=4\pi {\frac {A}{O^{2}}}}$ 

Voor een ruimtelijke figuur met inhoud ${\displaystyle V}$  en oppervlakte ${\displaystyle A}$  wordt het isoperimetrisch quotiënt ${\displaystyle IQ}$  gegeven door:

${\displaystyle IQ=36\pi {\frac {V^{2}}{A^{3}}}}$ 

• Isoperimetrische ongelijkheid: voor alle figuren en lichamen is ${\displaystyle IQ\leq 1}$ .
• Van gelijkvormige figuren is het isoperimetrisch quotiënt gelijk, aangezien de machten van de voor de afmetingen van het lichaam bepalende factor tegen elkaar wegvallen.
• Voor de cirkel en de bol is ${\displaystyle IQ({\text{cirkel}})=IQ({\text{bol}})=1}$ .

In de onderstaande tabel staat voor een aantal ruimtelijke figuren het isoperimetrisch quotiënt, oplopend geordend. De genoemde, afnemende oppervlakten in bijvoorbeeld cm² behoren steeds bij een inhoud van 1000 cm³.

afgeknotte icosaëder

stompe dodecaëder

bol

Ruimtelijke figuur	Oppervlakte bij een inhoud van 1000	${\displaystyle IQ}$
viervlak	721	0,302
kegel met ${\displaystyle h=2r{\sqrt {2}}}$	609	0,5
kubus	600	0,523
regelmatig achtvlak	572	0,605
cilinder ${\displaystyle h=2r}$	553	0,667
regelmatig twaalfvlak	531	0,755
regelmatig twintigvlak	515	0,829
afgeknotte icosaëder	500	0,903
stompe dodecaëder	492	0,947
bol	484	1