Centrtieces Spēks

Nejaukt ar centrbēdzes spēks.

Šis spēks vienmēr ir virzīts perpendikulāri ķermeņa ātruma vektoram uz fiksētu punktu, kurš šajā brīdī ir trajektorijas liekuma centrs. Bez šī spēka ķermenis saskaņā ar inerces jeb Pirmo Ņūtona likumu vienmērīgi pārvietotos šībrīža ātruma vektora virzienā (t. i. pa trajektorijas pieskari), līdzīgi, piemēram, dzirkstelēm, kuras ir atdalījušās no slīpripas.

Centrtieces spēks ir vienāds lielums jebkurā atskaites sistēmā. Ar to tas atšķiras no šķietamajiem spēkiem (piemēram, centrbēdzes spēka), kuri jāņem vērā tikai aprakstot kustību paātrinātajā atskaites sistēmā.

Matemātiski centrtieces spēku pirmo reizi aprakstīja 1659. gadā Nīderlandes fiziķis Kristiāns Heigenss.

Ja objekts ar masu ${\displaystyle m}$  kustas ar tangenciālo ātrumu ${\displaystyle v}$  pa trajektoriju ar liekuma rādiusu ${\displaystyle r}$ , tad centrtieces spēkam, kas iedarbojas uz šo objektu, ir sekojošs lielums:

${\displaystyle F_{\mathrm {ct} }=ma_{\mathrm {ct} }={\frac {mv^{2}}{r}}}$ 

kur ${\displaystyle a_{\mathrm {ct} }}$  ir centrtieces paātrinājums. Spēka virziens - uz riņķa centru, pa kuru objekts kustas, vai, ja visai trajektorijai nav riņķa forma, tad uz riņķa centru, kas pieskaras trajektorijai šajā vietā un vislabāk atbilst tās formai.

Centrtieces spēku var izteikt arī ar objekta leņķisko ātrumu ${\displaystyle \omega }$  ap riņķa centru:

${\displaystyle F_{\mathrm {ct} }=mr\omega ^{2}}$ 

Rotējot ar vienmērīgu leņķisko ātrumu ${\displaystyle \omega }$ , vienam pilnam apgriezienam tiek patērēts laiks ${\displaystyle \textstyle T={\frac {2\pi }{\omega }}}$ . Tāpēc spēku var izteikt arī ar viena apgrieziena periodu ${\displaystyle \textstyle T}$ :

${\displaystyle F_{\mathrm {ct} }=mr{\frac {4\pi ^{2}}{T^{2}}}}$ 

• Zeme riņķo ap Sauli pa riņķa trajektoriju (aptuveni). Šo riņķa kustību izraisa gravitācijas spēks, ar kuru Saule iedarbojas uz Zemi. Šajā gadījumā centrtieces spēks ir gravitācijas spēks.
• Elektroniem pārvietojoties perpendikulāri vienmērīgam magnētiskajam laukam, Lorenca spēks novirza tos pa riņķa trajektoriju perpendikulāri to kustības un magnētiskā lauka virzienam. Tātad, šajā piemērā centrtieces spēks ir Lorenca spēks.
• Ja auto brauc līkumā, tad tas ir iespējams tikai tāpēc, ka uz to iedarbojas uz līkuma centru virzīts centrtieces spēks. Šis spēks rodas saķerē starp riepām un ceļa segumu. Ja šī spēka nav (piemēram, apledojuma dēļ), auto pārvietojas pa taisnu līniju un pamet līkumu. Automobiļa pasažieris seko tai pašai riņķa trajektorijai, jo uz viņu ar centrtieces spēku iedarbojas sēdeklis.
• Gaisa virpuļos centrtieces spēks ir spiediena gradients, jo virpuļa vidū pastāv retinājums.
• Griežot lingu, centrtieces spēks ir lingas stiepes spēks.

Saskaņā ar Otro Ņūtona likumu, centrtieces paātrinājums ir centrtieces spēks, dalīts ar masu.

${\displaystyle a_{\mathrm {ct} }={\frac {F_{\mathrm {ct} }}{m}}}$ .

Atvasināšana

Vektoriska atvasināšana

 

Objektam kustoties ar nemainīgu ātrumu ${\displaystyle v}$  pa riņķa trajektoriju, tā ātrums katrā brīdī ir perpendikulārs riņķa rādiusam ${\displaystyle r}$ . Zīmējumā blakus parādīti ātruma vektori brīžos ${\displaystyle t_{1}}$  un ${\displaystyle t_{2}}$ . Vispirms šīs sakarības var aplūkot tīri ģeometriski: zilā bulta ${\displaystyle v'_{1}}$  ir bultas ${\displaystyle v_{1}}$  paralēlās pārneses rezultāts. Tās vektora garums atbilst bultas ${\displaystyle v_{2}}$  garumam. Triju bultu garumi ir saistīti sekojoši:

${\displaystyle v_{1}=v'_{1}=v_{2}=v}$ 

No šejienes seko trīsstūru ${\displaystyle \textstyle MP_{1}P_{2}}$  un ${\displaystyle \textstyle P_{2}Q_{1}Q_{2}}$  līdzība ar sekojošām proporcijām:

${\displaystyle {\frac {\Delta v}{v}}={\frac {\Delta s}{r}}}$ 

jeb

${\displaystyle \Delta v=\Delta s\cdot {\frac {v}{r}}}$ .

Dalot abās puses ar laika intervālu ${\displaystyle \Delta t(=t_{1}-t_{2})}$ :

${\displaystyle {\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}\cdot {\frac {v}{r}}}$  .

Izvēloties pietiekami mazu ${\displaystyle \Delta t}$ , var nodefinēt:

• Objekta noietais ceļš ${\displaystyle \textstyle \Delta s}$  atbilst riņķa trajektorijas nogrieznim. Līdz ar to ātrums ${\displaystyle \textstyle v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}}$  ir objekta ātrums pa trajektoriju.
• Paātrinājums ${\displaystyle \textstyle a_{\mathrm {ct} }={\frac {\Delta v}{\Delta t}}}$  ir centrtieces paātrinājums virzienā uz riņķa centru, kas iedarbojas uz objektu.

Maziem laika intervāliem ${\displaystyle \textstyle \Delta t}$  vienādojums ${\displaystyle \textstyle {\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}\cdot {\frac {v}{r}}}$  iegūst sekojošu formu:

${\displaystyle a_{\mathrm {ct} }=v\cdot {\frac {v}{r}}}$ 

jeb

${\displaystyle a_{\mathrm {ct} }={\frac {v^{2}}{r}}}$ .

Ja objekts ir ne tikai punkts, bet tam ir arī masa ${\displaystyle m}$ , tad atbilstoši otrajam Ņūtona likumam centrtieces spēka vektora lielumu ${\displaystyle F_{\mathrm {ct} }=ma_{\mathrm {ct} }}$  var noteikti sekojoši:

${\displaystyle F_{\mathrm {ct} }=m\cdot {\frac {v^{2}}{r}}}$ 

Šis centrtieces spēks iedarbojas uz jebkuru ķermeni ar masu ${\displaystyle m}$ , kurš kustas ar ātrumu ${\displaystyle v}$  pa riņķa trajektoriju ar rādiusu ${\displaystyle r}$ .

Ja masa griežas ar leņķisko ātrumu ${\displaystyle \omega }$  ap nekustīgu centru, trajektorijas ātrumu ${\displaystyle v}$  var aizstāt ar ${\displaystyle \omega \cdot r}$ . No šejienes seko:

${\displaystyle a_{\mathrm {ct} }=\omega ^{2}r}$ 

un

${\displaystyle \,F_{\mathrm {ct} }=m\omega ^{2}r}$ .

Atvasināšana pamatojoties uz Ņūtona likumiem

 

Saskaņā ar Pirmo Ņūtona likumu, ķermenis, uz kuru neiedarbojas ārējais spēks, saglabā miera vai vienmērīgas taisnvirziena kustības stāvokli. Šādas inerces kustības trajektorija ir parādīta zīmējumā ar punktēto līniju. Šajā gadījumā, novērojot kustību sakot no punkta ${\displaystyle \textstyle A}$ , pēc laika ${\displaystyle \textstyle t}$  tas atrastos punktā ${\displaystyle \textstyle B}$ . Turpretī, pārvietojoties pa liektu trajektoriju ar rādiusu ${\displaystyle \textstyle r}$ , pēc laika ${\displaystyle \textstyle t}$  tas atrodas punktā ${\displaystyle \textstyle B'}$ . Ja ķermenis ir pametis inerciālā miera stāvokli (t. i. punktēto līniju), tad, saskaņā ar Pirmo Ņūtona likumu, uz to iedarbojas ārējais spēks, un saskaņā ar Otro Ņūtona likumu tas izjūt paātrinājumu ${\displaystyle \textstyle a}$ .

Salīdzinot inerciālo un neinerciālo trajektoriju, var secināt, ka ārējais spēks ir piespiedis ķermeni pārvietoties no punkta ${\displaystyle \textstyle B}$  uz punktu ${\displaystyle \textstyle B'}$ , mērojot ceļu ${\displaystyle \textstyle s}$ . Aplūkosim trīsstūri ${\displaystyle \textstyle OAB}$ . Šajā trīsstūrī:

${\displaystyle (s+r)\cos \theta =r}$ .

(Labākai pārskatamībai zīmējumā ir parādīta situācija ar lielu leņķi ${\displaystyle \textstyle \theta }$ , pie kura punkti ${\displaystyle \textstyle B}$  un ${\displaystyle \textstyle B'}$  neatrastos precīzi uz vienas radiālās līnijas. Bet šo punktu atrašanās uz vienas radiālās līnijas tiek nodrošināta zemāk aprēķinos, samazinot ${\displaystyle \textstyle \theta }$  līdz bezgalīgi mazam lielumam.)
 
Radiālās pārvietošanās ceļu ${\displaystyle \textstyle s}$  var izteikt tikai ar paātrinājumu, jo gan sākotnējā koordināta, gan sākotnējais radiālais ātrums ir nulle:

${\displaystyle s={\frac {at^{2}}{2}}}$ .

No leņķiskā ātruma definējuma ${\displaystyle \textstyle \omega ={\frac {\theta }{t}}}$  izriet ${\displaystyle \textstyle \theta =\omega t}$ .
Aizstājot attiecīgos lielumus pirmajā izteiksmē: ${\displaystyle \left({\frac {at^{2}}{2}}+r\right)\cos \omega t=r}$ 
 
jeb

${\displaystyle a={\frac {2r-2r\cos \omega t}{t^{2}}}}$ 

Samazinot laiku ${\displaystyle \textstyle t}$  (un līdz ar to arī leņķi ${\displaystyle \textstyle \theta }$ ) līdz bezgalībai, šī izteiksme tiecas līdz robežai ${\displaystyle a=\lim _{t\to 0}\ {\frac {2r-2r\cos \omega t}{t^{2}}}}$ 

Šo robežu var atrast, divreiz pielietojot Lopitāla metodi:

${\displaystyle a=a_{\mathrm {ct} }=\lim _{t\to 0}{\frac {2r-2r\cos \omega t}{t^{2}}}=\lim _{t\to 0}{\frac {2r\omega \sin \omega t}{2t}}=\lim _{t\to 0}{\frac {2r\omega ^{2}\cos \omega t}{2}}=r\omega ^{2}}$ 

 
Vēlreiz pielietojot Otro Ņūtona likumu: ${\displaystyle \,F_{\mathrm {ct} }=mr\omega ^{2}}$ .

Diferenciālā atvasināšana

 

Vēl vienkāršāk centrtieces paātrinājumu (un līdz ar to arī spēku) var atvasināt, diferencējot rādiusvektoru attiecībā uz laiku. Divās dimensijās rādiusvektoru ${\displaystyle {\textbf {r}}}$  ar garumu ${\displaystyle r}$  un leņķi ${\displaystyle \theta }$  pret x asi var izteikt Dekarta koordinātās, izmantojot vienības vektorus ${\displaystyle {\hat {x}}}$  un ${\displaystyle {\hat {y}}}$ .

${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\theta ){\hat {x}}+r\sin(\theta ){\hat {y}}.}$ 

Aplūkosim vienmērīgu rotāciju, t. i. kustību tikai riņķī ar nemainīgu rādiusu ${\displaystyle r}$  un nemainīgu leņķisko ātrumu ${\displaystyle \omega }$ . Tāpēc ${\displaystyle \theta =\omega t}$ , kur ${\displaystyle t}$  ir laiks.

Atvasinot rādiusvektoru attiecībā pret laiku, tiek iegūti kustības ātrums ${\displaystyle {\textbf {v}}}$  un paātrinājums ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ .

${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\omega t){\hat {x}}+r\sin(\omega t){\hat {y}}}$ 
${\displaystyle {\dot {\textbf {r}}}={\textbf {v}}=-r\omega \sin(\omega t){\hat {x}}+r\omega \cos(\omega t){\hat {y}}}$ 
${\displaystyle {\ddot {\textbf {r}}}={\textbf {a}}=-r\omega ^{2}\cos(\omega t){\hat {x}}-r\omega ^{2}\sin(\omega t){\hat {y}}}$ 
${\displaystyle {\textbf {a}}=-\omega ^{2}(r\cos(\omega t){\hat {x}}+r\sin(\omega t){\hat {y}})}$ 

Divi lielumi ārējās iekavās ir vektora ${\displaystyle {\textbf {r}}}$  projekcijas uz divām Dekarta koordinātu asīm, tātad visa izteiksmē iekavās - pats vektors ${\displaystyle {\textbf {r}}}$  plaknē. Līdz ar to,

${\displaystyle {\textbf {a}}=-\omega ^{2}{\textbf {r}}.}$ 

Negatīva zīme izsaka, ka paātrinājums virzīts riņķa centrā (pretēji rādiusa vektoram). Tā kā centrtieces spēka un paātrinājuma vektoru virzieni ir zināmi, tos var izteikt arī skalārā veidā: :${\displaystyle \textstyle a_{\mathrm {ct} }=r\omega ^{2}}$      un     ${\displaystyle \textstyle \,F_{\mathrm {ct} }=mr\omega ^{2}}$ .