Aritmetik: Gren af matematik

Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

arithmetiké, læren om tal, af gr. arithmos, tal) er en gren af matematikken, der studerer de fundamentale principper ved visse aritmetiske operationer på tal. De traditionelle operationer er addition (+), subtraktion (-), multiplikation (*) og division (/); men også de lidt mere avancerede rødder og eksponent er en del af aritmetikken. Aritmetiske operationer udføres i forhold til de forskellige operationers prioritet.

Denne prioritet er som følger:

1. eksponenter, potenser
2. multiplikation, division
3. addition, subtraktion

Rødder indgår under potenser, da de kan skrives således:

${\displaystyle {\sqrt {z}}=z^{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{z}}=z^{\frac {1}{4}}}$

Mere generelt:

${\displaystyle {\sqrt[{x}]{z}}^{y}=z^{\frac {y}{x}}}$

Disse er vigtige at huske, når ligninger skal løses.

Aritmetik med naturlige tal, heltal, rationale tal og reelle tal bliver der undervist i på folkeskoleniveau.

Udtrykket aritmetisk bruges sommetider også om talteori.

Først demonstreres, hvorledes simple ligningssystemer løses. Man skal ALTID gøre det samme på begge sider af lighedstegnet:

• Fremgangsmetoden

Her vises vha. konstanter, hvordan regnereglerne skal benyttes korrekt:

${\displaystyle 3((x-2)^{2}-3)={\frac {8}{x^{2}}}}$ 

De rigtige fremgangsmåder skal nu huskes,

• Først, potenser

Vi har to potenser, en ved

${\displaystyle (x-2)^{2}}$ 

og

${\displaystyle x^{2}}$ 

, hhv. den første skal ganges ud, mens den sidste ikke kan forkortes mere end allerede.

${\displaystyle 3((x-2)^{2}-3)={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow \quad 3((x-2)\cdot (x-2)-3)={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow \quad }$ 

${\displaystyle 3(x^{2}-4x+4-3)={\frac {8}{x^{2}}}}$ 

• Anden, division/multiplikation

Da ganges ind i parenteserne osv.

${\displaystyle 3(x^{2}-4x+1)={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow \quad 3x^{2}-12x+3={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow }$ 

${\displaystyle x^{2}(3x^{2}-12x+3)=8\quad \Leftrightarrow \quad 3(x^{2})^{2}-12x\cdot x^{2}+3x^{2}=8\quad \Leftrightarrow }$ 

${\displaystyle 3x^{4}-12x^{3}+3x^{2}=8\quad \Leftrightarrow \quad x^{4}-4x^{3}+x^{2}={\frac {8}{3}}}$ 

Ovenstående to ligninger kan man selv vælge, hvilken der falder bedst i smag.

• Associativitet
• Kommutativitet
• Distributivitet

Wiki Commons har medier relateret til: Aritmetik