Regla Pýþagórasar: Stærðfræðiregla

Reglan er kennd við forngríska heimspekinginn, trúarleiðtogann og stærðfræðinginn Pýþagóras, þó að vitað sé að reglan hafi þekkst fyrir tíma hans bæði í Babýlóníu og Kína, en talið er að hann hafi verið fyrstur til að sanna að hún gilti fyrir alla rétthyrnda þríhyrninga.

Reglan er grundvallarregla í ýmsum rúmfræðireikningi, t.a.m. hnitarúmfræði og hornafræði.

 

Setningin segir að í rétthyrndum þríhyrning er summa ferninga skammhliðanna jöfn ferningnum á langhliðina.

Ef hliðarlengdir þríhyrningsins eru a, b, c, þar sem c er langhliðin, gildir því

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ .

Ef smíðaðir eru þrír ferningar, þar sem hver hinna þriggja hliða þríhyrningsins jafngildir hliðarlengd eins fernings, er samanlagt flatarmál minni ferninganna tveggja jafnt flatarmáli þess stærsta.

Til eru fjölmargar mismunandi sannanir á reglu Pýþagórasar. Eftirfarandi sönnun byggir á reglu um einslaga þríhyrninga.

Látum þríhyringinn ABC vera þannig að hornið C er rétt. Drögum línuna CX hornrétt á hliðina AB. Þá myndast tveir nýir þríhyrningar, ACX og CBX. Þessir þríhyrningar eru báðir einslaga þríhyrningnum ABC.

 

Þar sem ${\textstyle \triangle {ABC}\cong \triangle {CBX}}$  er ${\displaystyle {\dfrac {BC}{AB}}={\dfrac {BX}{BC}}}$ , og þar sem ${\displaystyle \triangle {ABC}\cong \triangle {ACX}}$  er ${\displaystyle {\dfrac {AC}{AB}}={\dfrac {AX}{AC}}}$ .

Því fæst

$${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB\cdot BX+AB\cdot AX.}$$

 

${\displaystyle AX+BX=AB}$ 

${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}}$ .

Skrifum ${\displaystyle BC=a,AC=b,AB=c}$ , svo að

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ 

eins og sanna átti.

• Fjarlægðarformúlan
• Pýþagórískur þríhyrningur