Poisson-Dreifing

Einnig er hægt að nota Poisson-dreifingu fyrir fjölda tilvika á annars háttar bilum s.s. lengd, flatarmáli eða rúmmáli.

Massafall Lárétti ásinn merkir hér vísinn k, fjölda staka. Fallið er einungis skilgreint fyrir heiltölugildi á k.
Dreififall Lárétti ásinn merkir hér vísinn k, fjölda staka. Fallið er ósamfellt á heiltölugildum k, en flatt annars staðar.
Stikar	λ > 0 (Rauntala)
Stoð	${\displaystyle k\in \mathbb {N} \cup \{0\}}$
Massafall	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}$
Dreififall	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}}$ eða ${\displaystyle e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\ }$
Væntigildi	${\displaystyle \lambda }$
Miðgildi	${\displaystyle \approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor }$
Tíðasta gildi	${\displaystyle \lceil \lambda \rceil -1,\lfloor \lambda \rfloor }$
Dreifni	${\displaystyle \lambda }$
Skeifni	${\displaystyle \lambda ^{-1/2}}$
Reisn	${\displaystyle \lambda ^{-1}}$
Óreiða	${\displaystyle \lambda [1-\log(\lambda )]+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}}$ (for large ${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-{}}$ ${\displaystyle \qquad {\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$
vægisframleiðandi fall	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))}$
Kennifall	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{it}-1))}$
líkindaframleiðandi fall	${\displaystyle \exp(\lambda (z-1))}$

Stakræn slembibreyta X er sögð hafa Poisson-dreifingu með stuðul λ > 0, ef fyrir k = 0, 1, 2, ... ef þéttifall X gefið sem:

${\displaystyle \!f(k;\lambda )=\Pr(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}$ 

Jákvæða rauntalan λ er jöfn væntigildi X og er einnig dreifni X.

${\displaystyle \lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).}$ 

Hægt er að nota Poisson-dreifingu fyrir kerfi með miklum fjölda mögulegra gilda, þar sem hvert og eitt er sjaldgæft. Það eru minnst sjö aðferðir til að sanna þéttifall Poisson-dreifingar.

Meðaltal

• Meðaltal Poisson-dreifðra slembibreyta er jöfn λ. Sama á við um dreifni.
• Dreifnistuðull er ${\displaystyle \textstyle \lambda ^{-1/2}}$ , en tvístrunarstuðullinn er 1.
• Meðalfrávik um meðaltal er

${\displaystyle \operatorname {E} |X-\lambda |=2\exp(-\lambda ){\frac {\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}}{\lfloor \lambda \rfloor !}}.}$