Эўклід

Эўклід
Εὐκλείδης
Дата нараджэння	не раней за 340 да н.э. і не пазней за 315 да н.э.
Месца нараджэння	невядома
Дата смерці	невядома
Месца смерці	невядома
Грамадзянства	Старажытныя Афіны
Род дзейнасці	матэматык, пісьменнік
Навуковая сфера	матэматыка
Вядомыя вучні	Diocleides of Athens[d]
Вядомы як	«Бацька Геаметрыі»
Медыяфайлы на Вікісховішчы

Біяграфічныя звесткі аб Еўклідзе вельмі скупыя. Верагодным можна лічыць толькі тое, што яго навуковая дзейнасць працякала ў Александрыі у 3 ст. да н. э.

Асноўная праца Эўкліда «Пачаткі» (Στοιχεῖα) больш за дзве тысячы год заставалася асноўным падручнікам геаметрыі, змяшчаючы набор аксіём, якія складаюць сістэму прынцыпаў, вядомую як Эўклідава геаметрыя. Акрамя выкладу геаметрыі (планіметрыі і стэрэаметрыі) і рада пытанняў тэорыі лікаў, у гэтай рабоце Эўклід падвёў вынік папярэдняму развіццю старажытнагрэчаскай матэматыкі і стварыў фундамент далейшага развіцця матэматыкі.

З іншых твораў па матэматыцы трэба адзначыць «Аб дзяленні фігур», які захаваўся ў арабскім перакладзе, 4 кнігі «Канічныя сячэнні», матэрыял якіх увайшоў у твор з такою ж назвай Апалонія Пергскага, а таксама «Парызмы», уяўленне аб якіх можна атрымаць з «Матэматычнага збору» Папа Александрыйскага. Эўклід — таксама аўтар работ па астраноміі, оптыцы, музыцы і інш.

Да найбольш верагодных звестак аб жыцці Эўкліда звычайна адносяць тое нямногае, што было напісана ў Каментарыях Прокла да першай кнігі «Пачаткаў» Эўкліда. Адзначыўшы, што «ўсе, хто пісаў аб гісторыі матэматыкі» не давялі выкладанне развіцця гэтай навукі да часоў Эўкліда, Прокл адзначае, што Эўклід быў старэйшы чым Платонаўскі гурток, але маладзейшы чым Архімед і Эратасфен, і жыў у часы Пталамея I Сатэра, таму што і Архімед, які жыў у часы Пталамея Першага, упамінае аб Эўклідзе і расказвае, што Пталамей спытаў яго, ці ёсць карацейшы шлях вывучэння геаметрыі чым «Пачаткі»; а той адказаў, што няма царскага шляху да геаметрыі.

Дадатковыя рысы да партрэта Эўкліда можна ўбачыць у Папа і Стабея. Пап паведамляе, што Эўклід быў ветлівы з усімі, хто мог хоць у якой-небудзь ступені садзейнічаць развіццю матэматычных навук, а Стабей расказвае анекдот аб Эўклідзе. Пачаўшы вывучэнне геаметрыі і разабраўшы першую тэарэму, адзін юнак запытаў у Эўкліда: «А якая мне будзе выгада ад гэтай навукі?» Эўклід паклікаў раба і сказаў: «Дай яму тры аболы, раз ён хоча атрымліваць выгаду ад навучання».

Некаторыя сучасныя аўтары трактуюць сцвярджэнне Прокла — Эўклід жыў у часы Пталамея Сатэра — у тым сэнсе, што Эўклід жыў пры двары Пталамея і быў заснавальнікам Александрыйскай бібліятэкі. Але трэба адзначыць, што гэта меркаванне ўсталявалася ў Еўропе ў XVII стагоддзі, сярэдневяковыя аўтары атаясамлялі Эўкліда з вучнем Сакрата філосафам Эўклідам з Мегар. Ананімны арабскі рукапіс XII стагоддзя паведамляе: «Эўклід, сын Наўкрата, вядомы пад імем „Геометра“, вучоны старога часу, па свайму паходжанню грэк, па месцажыхарству сірыец, родам з Тыра…».

Арабскія аўтары лічылі, што Эўклід жыў у Дамаску і выдаў там «Пачаткі» Апалонія.

 

 

Асноўнае сачыненне Эўкліда мае назву «Пачаткі». Кнігі з такою ж назваю, у якіх паслядоўна выкладаліся ўсе асноўныя факты геаметрыі і тэарэтычнай арыфметыкі, складалі і раней Гіпакрат Хіяскі, Леант і Феўдый. Аднак «Пачаткі» Эўкліда выцеснілі ўсе гэтыя сачыненні з ужытку і на працягу больш чым двух тысячагоддзяў заставаліся асноўным падручнікам геаметрыі. Складаючы свой падручнік, Эўклід уключыў у яго шмат таго, што было створана яго папярэднікамі, апрацаваўшы гэты матэрыял і звеўшы яго ў адно.

«Пачаткі» складаюцца з трынаццаці кніг. Першая і некаторыя іншыя кнігі суправаджаюцца спіскам азначэнняў. У першай кнізе таксама змяшчаны спіс пастулатаў і аксіём. Як правіла, пастулаты задаюць асноўныя (першасныя) пабудовы (напрыклад, «трэба, каб праз любыя два пункты можна было правесці прамую»), а аксіёмы — агульныя правілы вываду пры аперыраванні з велічынямі (напрыклад, «калі дзве велічыні роўныя трэцяй, то яны роўныя паміж сабой»).

 

 

У першай кнізе вывучаюцца ўласцівасці трохвугольнікаў і паралелаграмаў; у гэтай кнізе знаходзіцца знакамітая тэарэма Піфагора для прамавугольных трохвугольнікаў. Кніга другая ўзыходзіць да піфагарэйцаў, прысвечана так званай «геаметрычнай алгебры». У трэцяй і чацвёртай кнігах выкладаецца геаметрыя акружнасцей, а таксама ўпісаных і апісаных многавугольнікаў; падчас працы над гэтымі кнігамі Эўклід мог карыстацца сачыненнямі Гіпакрата Хіяскага. У пятай кнізе ўводзіцца агульная тэорыя прапорцый, пабудаваная Еўдоксам Кнідскім, а ў шостай кнізе яна прымяняецца да тэорыі падобных фігур. Сёмая, восьмая і дзевятая кнігі прысвечаны тэорыі лікаў і ўзыходзяць да піфагарэйцаў. Аўтарам восьмай кнігі быў, верагодна, Архіт Тарэнцкі. У гэтых кнігах разглядаюцца тэарэмы аб прапорцыях і геаметрычных прагрэсіях, уводзіцца метад для знаходжання найбольшага агульнага дзельніка двух лікаў (вядомы зараз як алгарытм Эўкліда), будуюцца цотныя дасканалыя лікі, даказваецца бесканечнасць мноства простых лікаў. У дзесятай кнізе, якая з'яўляецца самай аб'ёмнай і складанай часткай «Пачаткаў», будуецца класіфікацыя ірацыянальнасцей; магчыма, што яе аўтар — Тээтэт Афінскі. Адзінаццатая кніга ўтрымлівае асновы стэрэаметрыі. У дванаццатай кнізе з дапамогай метаду вычэрпвання даказваюцца тэарэмы аб адносінах плошчаў кругоў, а таксама аб'ёмаў пірамід і конусаў; аўтарам гэтай кнігі па агульнаму меркаванню з'яўляецца Еўдокс Кнідскі. Нарэшце, трынаццатая кніга прысвечана пабудове пяці правільных мнагаграннікаў; лічыцца, што частка пабудоў была распрацавана Тээтэтам Афінскім.

У захаваўшыхся рукапісах да гэтых трынаццаці кніг дададзеныя яшчэ дзве. Чатырнаццатая кніга належыць александрыйцу Гіпсіклу (каля 200 года да н.э.), а пятнаццатая кніга створана падчас жыцця Ісідора Мілецкага, будаўніка храма святой Сафіі ў Канстанцінопалі (пачатак VI ст. н.э.).

«Пачаткі» прадстаўляюць агульную аснову для наступных геаметрычных трактатаў Архімеда, Апалонія і іншых антычных аўтараў; даказаныя ў іх сцвярджэнні лічацца агульнавядомымі. Каментарыі да «Пачаткаў» у антычнасці складалі Герон, Парфірый, Пап, Прокл, Сімплікій. Захаваўся каментарый Прокла да першай кнігі, а таксама каментарый Папа да дзесятай (у арабскім перакладзе). Ад антычных аўтараў традыцыя каментарыяў пераходзіла да арабаў, а потым у Сярэдневяковую Еўропу.

У стварэнні і развіцці навукі Новага часу «Пачаткі» таксама адыгралі важную ідэйную ролю. Яны заставаліся ўзорам матэматычнага трактата, строга і сістэматычна выкладаючага асноўныя палажэнні той ці іншай матэматычнай навукі.

 

Сярод іншых твораў Эўкліда захаваліся:

• Дадзеныя (δεδομένα) — аб тым, што неабходна, каб задаць фігуру.
• Аб дзяленні (περὶ διαιρέσεων) — захавалася часткова і толькі ў арабскім перакладзе; расказвае аб дзяленні геаметрычных фігур на часткі, роўныя ці ў зададзеных адносінах паміж сабой.
• З'явы (φαινόμενα) — прыкладанні сферычнай геаметрыі да астраноміі;
• Оптыка (ὀπτικά) — аб прамалінейным раўспаўсюджванні святла.

Па кароткіх апісаннях вядомыя:

• Парызмы (πορίσματα) — аб умовах, вызначаючых крывыя;
• Кананічныя сячэнні (κωνικά);
• Паверхневыя месцы (τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ) — аб уласцівасцях канічных сячэнняў.
• Псеўдарыя (ψευδαρία) — аб памылках у геаметрычных доказах.
• Пачатак музыкі (κατὰ μουσικὴν στοιχειώσεις).

Эўкліду прыпісваюць таксама:

• Катоптрыка (κατοπτρικά) — тэорыя люстэрак; захавалася апрацоўка Тэона Александрыйскага;
• Дзяленне канона (κατατομὴ κανόνος) — трактат па элементарнай тэорыі музыкі.

Ужо з часоў піфагарэйцаў і Платона арыфметыка, геаметрыя і астраномія разглядаліся ў якасці прыкладу сістэматычнага мыслення і папярэдняй ступені для вывучэння філасофіі. Нездарма па легендзе, над уваходам у платонаўскую Акадэмію вісела шыльда з надпісам: «Да не ўвойдзе сюды той, хто не ведае геаметрыі».

Геаметрычныя чарцяжы, на якіх пры правядзенні дапаможных ліній няяўная ісціна становіцца відавочнай, служыць ілюстрацыяй для вучэння аб прыпамінанні, развітага Платонам у «Меноне» і іншых дыялогах. Сцвярджэнні геаметрыі таму і называюць тэарэмамі, бо для спасціжэння іх ісціны трэба ўспрымаць чарцёж не проста зрокам, але «вачамі розуму». Усякі ж чарцёж да тэарэмы прадстаўляе ідэю: мы бачым перад сабой гэту фігуру, а вядзём разважанне і робім вывады адразу для ўсіх фігур яе віду.

Некаторы «платанізм» Эўкліда звязаны з тым, што ў «Тымеі» Платона разглядаецца вучэнне аб чатырох элементах, якім адпавядаюць чатыры правільныя мнагаграннікі (тэтраэдр — полымя, актаэдр — паветра, ікасаэдр — вада, куб — зямля), пяты мнагаграннік, дадэкаэдр, «дастаўся на долю фігуры сусвету». У сувязі з гэтым «Пачаткі» могуць разглядацца як разгорнутае, з усімі неабходнымі спасылкамі і звязкамі вучэнне аб пабудове пяці правільных мнагаграннікаў — «Платонавых цел», якое завяршаецца доказам таго факта, што іншых правільных цел, акрамя гэтых пяці, не існуе.

Для арыстоцелеўскага вучэння аб доказе, развітага ў «Другой аналітыцы», «Пачаткі» таксама прадстаўляюць багаты матэрыял. Геаметрыя ў «Пачатках» будуецца як вывадная сістэма ведаў, у якой усе сцвярджэнні паслядоўна выводзяцца адно за адным па ланцужку, які абапіраецца на невялікі набор пачатковых сцвярджэнняў, прынятых без доказу. Згодна з Арыстоцелем, такія пачатковыя сцвярджэнні павінны быць, бо ланцужок павінен з чагосьці пачынацца, как не быць бесканечным. Далей Эўклід стараецца даказваць сцвярджэнні агульнага характару, што таксама адпавядае любімаму прыкладу Арыстоцеля: «калі ўсякаму роўнастаронняму трохвугольніку ўласціва мець вуглы, якія ў суме роўныя двум прамым, то гэта ўласціва не таму, што ён роўнастаронні, а таму што ён трохвугольнік».

Эўкліду прыпісваюцца два важныя трактаты аб антычнай тэорыі музыкі: «Гарманічнае ўвядзенне» («Гармоніка») і «Дзяленне канона» (лац.: Sectio canonis). Традыцыя прыпісваць «Дзяленне канона» Эўкліду ідзе яшчэ ад Парфірыя. У старадаўніх рукапісах «Гармонікі» аўтарства прыпісваецца Эўкліду, нейкаму Клеаніду, а таксама александрыйскаму матэматыку Папу. Генрых Мейбам (1555—1625) дадаў да «Гарманічнага ўвядзення» грунтоўныя заўвагі, і, разам з «Дзяленнем канона», прыпісаў іх да прац Эўкліда.

Пры наступным падрабязным аналізе гэтых трактатаў было вызначана, што першы напісаны ў арыстаксенаўскай традыцыі (напрыклад, у ім усе паўтоны лічацца роўнымі), а другі па стылі — відавочна піфагарэйскі (напрыклад, адмаўляецца магчымасць дзялення тона роўна напалавіну). Стыль выкладу «Гарманічнага ўвядзення» адрозніваецца дагматызмам і непарыўнасцю, стыль «Дзялення канона» некалькі падобны з ​"Пачаткамі" Эўкліда, бо ўтрымлівае тэарэмы і доказы.

Пасля крытычнай публікацыі «Гармонікі» знакамітым нямецкім філолагам Карлам Янам (1836—1899) гэты трактат сталі паўсюдна прыпісваць Клеаніду і датаваць II ст. н.э. «Дзяленне канона» цяпер адна частка даследчыкаў лічыць аўтэнтычным сачыненнем Эўкліда, а другая — ананімным сачыненнем у традыцыях Эўкліда. Крытычнае выданне арыгінальнага тэксту «Дзяленняў канона» выканаў ў 1991 годзе А.Барбера.

• Пастулат
• Алгарытм Эўкліда
• Эўклідава геаметрыя
• Неэўклідава геаметрыя
• Пяты пастулат
• Эўклідава прастора