Area: Mesura del extension de un superficie

Esse le analogo duodimensional de longitude de systemas monodimensional, e de volumine de systemas tridimensional. Pro un superfacie duodimensional, on pote imaginar que le area esse le amonta de material de un spissitate constante que esse requirite que coperir celle superfacie.

Pro le majoritate de formas geometric, il ha un o plus formulas existente. Per combinar iste formulas, on pote derivar le area de ulle polygono; per exemplo, per le triangulation del polygono. Pro formas con limites que curva, on pote usar calculo pro computar le area. Le necessitate de determinar le area de figuras planar esseva un impeto pro le disvellopamento del calculo.

Pro formas tridimensional, como un sphera o un cono, le area de su limite esse nominate le area del superfacie. Formulas pro le areas del superfacie de formas simple esseva computate per Grecia antique. Hodie, iste methodos ha essite expandite con calculo multivariabile, que pote calcular le area de formas complexe.

In mathematica moderne, area prende un rolo importante. Extra de su importantia in calculo e geometria, le definition de area esse relate al definition del determinante in algebra linear, e esse un characteristica basic de superfacies in geometria differential. In analyse, le area de un subensemble de un plan se defina con le mensura de Lebesgue (ben que se debe notar que il non pote mensurar cata subensemble del plan). Additionalmente, on pote definar le area como un caso special de volumen pro regiones duodimensional.

 

Le idea que on pote describer le area de un figura con un valor abstracte esse un idea ancian. In le seculo 19 aEC, le egyptianos antique habeva formulas pro calcular le area del triangulo, rectangulo, e circulo (usante ${\displaystyle {\frac {256}{81}}}$  como su approximation de pi). Secundo Herodoto, le egyptianos lo usava pro agrimensura, pro refacer parcellas de terra post que le inundation annual del Nilo.

In le seculo 5 aEC, le greco Antiphon proponeva un algorithmo pro calcular le area de un polygono como le summation de un serie de areas triangular. Con Bryson de Heraclea e iste algoritho de derivar le area de un polygono, il approximava un limite basse pro le area de un circulo; il inscribeva un polygono in un circulo, calculava le area, e postea duplicava le numero de lateres. Iste "methodo de exhaustion" esseva usate per Eudoxo de Cnido in le seculo 4 aEC pro crear un formula pro le area de un circulo. Con isto, Archimedes poteva approximar pi in le seculo 3 aEC); antea in le mesme seculo, Euclid usava le methodo de exhaustion pro discoperir characteristicas de conos, circulos, spheras, tetrahedros, e cylindros in su Elementos.

In le seculo 9, al-Khwarizmi scribeva un libro re algebra e geometria. Su libro, le Libro Compendiose re Calculation per Completion e Balanciamento (traducite le seculo 12 al latino como Liber Algebrae et Almucabola), non solmente dava su nomine al algebra, ma etiam introduceva conceptos importante re area. In illo, il introduceva le quadrato unitari, un unitate de area definate como un construction mathematic sin ulle representation physic.

Le expansion del methodo de exhaustion al calculo initiava in le seculo 14. Le mathematico indian Madhava scribeva le Yuktibhasa, le prime texto re que nos pote recognoscer como calculo moderne, in que il describeva area como le integration del formula de un curva. Le Principia Mathematica per Newton e le obras de Leibniz in le seculo 17 finalisava le integral como esse inseniate hodie.

 

Articulo principal: Unitate de area

Le unitate de area SI esse le metro quadrate (m²). Esse considerate un unitate derivate.

Cata unitate de longitude esse le base de un unitate de area correspondente. Algebraicamente, iste pote esser describite como le quadrato del unitate de longitude basse. Ergo, on pote mensuar areas non solmente in metros quadrate, ma etiam in centimetros quadrate (cm²), millimetros quadrate (mm²), kilometros quadrate (km²), pedes quadrate (ft²), pollices quadrate (in²), yardes quadrate (y²), e millias quadrate (mi²).

Altere unitates de area commun include le ar (100m²), le hectar (100ar, o 10000m²), e le acre (4840 y²). Iste tres unitates esse usate casi solmente pro mensurar terra.

 

Le areas de formas irregular pote esser approximate per facer un serie de approximation, in que le area del forma irregular F (le linea nigre) esse plus que un area internal (le area azur, n_i) e le area external (le area verde, n_e): ergo, n_i ≤ F ≤ n_e. Quando le exactitude de n_i e n_e se meliora, le extension inter n_i e n_e diminue, usque infinitate.

Eventualmente esseva condensate rigorosemente como calculo, le branca de mathematica que se tracta re areas e lineas.

Infra il habe un lista de formulas pro formas commun. Ben que on pote dicer que se existe un infinitate de formulas pro formulas irregular, le majoritate de iste formulas esse componite de combinationes de iste.

In le formulas que seque:

• d = diametro
• h = altitude
• l = longitude
• r = radio
• s = longitude de un latere
• w = largor
• bh = base multiplicate per altitude

Formulas commun pro area:

Forma	Formula	Variabiles
Triangulo equilateral Triangulo regular	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!}$
Triangulo	${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!}$	${\displaystyle s}$  esse un medie del perimetro ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$  e ${\displaystyle c}$  esse le longitude de cata latere.
Triangulo	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)\,\!}$	${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  esse ulle duo lateres ${\displaystyle C}$  esse le angulo inter le duo lateres.
Triangulo	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}bh\,\!}$	${\displaystyle b}$  esse le base ${\displaystyle h}$  esse le altitude como mensurate per un linea perpendicular al base.
Quadrato	${\displaystyle s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$  esse le longitude de ulle latere del quadrato.
Rectangulo	${\displaystyle lw\,\!}$	${\displaystyle l}$  e ${\displaystyle w}$  esse le longitudes del lateres del rectangulo (longitude e largessa).
Rhombo	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$	${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  esse le longitudes del lateres del duo diagonales del rhombo.
Parallelogramma	${\displaystyle bh\,\!}$	${\displaystyle b}$  esse le longitude del base ${\displaystyle h}$  esse le altitude perpendicular.
Trapezio	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!}$	${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  esse le lateres parallel, e ${\displaystyle h}$  esse le distantia inter le paralleles.
Hexagono regular	${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$  esse le longitude de ulle latere del hexagono.
Octagono regular	${\displaystyle 2\left(1+{\sqrt {2}}\right)s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$  esse le longitude de ulle latere del octagono.
Polygono regular	${\displaystyle {\frac {ns^{2}}{4\cdot \tan(\pi /n)}}\,\!}$	${\displaystyle s}$  esse le logitude del latere ${\displaystyle n}$  esse le numero de lateres.
	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ap\,\!}$	${\displaystyle a}$  esse le apothemo, o le radio de un circulo inscribite in le polygono. ${\displaystyle p}$  esse le perimetro del polygono.
Circulo	${\displaystyle \pi r^{2}\ {\text{o}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!}$	${\displaystyle r}$  esse le radio. d esse le diametro.
Sector circular	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta \,\!}$	${\displaystyle r}$  esse le radio. ${\displaystyle \theta }$  esse le angulo (mensurate in radianos).
Ellipse	${\displaystyle \pi ab\,\!}$	${\displaystyle a}$  esse le axe semimajor. .${\displaystyle b}$  esse le axe semiminor.
Area del superfacie de un cylindro	${\displaystyle 2\pi r(r+h)\,\!}$	${\displaystyle r}$  esse le radio. ${\displaystyle h}$  esse le altitude.
Area del superfacie de un latere de un cylindro	${\displaystyle 2\pi rh\,\!}$	${\displaystyle r}$  esse le radio. ${\displaystyle h}$  esse le altitude.
Area del superfacie de un cono	${\displaystyle \pi r(r+l)\,\!}$	${\displaystyle r}$  esse le radio. ${\displaystyle l}$  esse le altitude del inclination.
Area lateral del superfacie de un cono	${\displaystyle \pi rl\,\!}$	${\displaystyle r}$  esse le radio. ${\displaystyle l}$  esse le altitude del inclination.
Area del superfacie de un sphera	${\displaystyle 4\pi r^{2}\ {\text{o}}\ \pi d^{2}\,\!}$	${\displaystyle r}$  esse le radio. d esse le diametro.
Area del superfacie de un Pyramide	${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}\,\!}$	B esse le area del base. ${\displaystyle P}$  esse le perimetro del base. ${\displaystyle L}$  esse le altitude del inclination.
Conversion del area quadrate al circular	${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}A\,\!}$	${\displaystyle A}$  esse le area del quadrato, in unitates quadrate.
Conversion del area circular al quadrate	${\displaystyle {\frac {1}{4}}C\pi \,\!}$	${\displaystyle C}$  esse le area del circulo in unitates circular.

• Integration
• Perimetro
• Unitate de area
• Volumine

• (anglese) Weisstein, Eric W. Area. Mathworld: 2011.