Ծավալ

Ծավալի միավոր է համարվում միավոր կողով խորանարդի ծավալը։ Պարզագույն դեպքում մարմնի ծավալը հաշվվում է իր պարունակած միավոր խորանարդների քանակով։ Ավելի բարդ դեպքերում մարմնի ծավալը հաշվում են հետևյալ կերպ. A մարմինն ու իր շրջակայքը փոխուղղահայաց հարթություններով տրոհում են a երկարության կող ունեցող խորանարդների։ V (a)-ով նշանակենք բոլոր այն խորանարդների ծավալների գումարը, որոնք ամբողջությամբ ընդգրկված են A-ի մեջ, իսկ W (a)-ով՝ բոլոր այն խորանարդներինը, որոնք A-ի հետ ունեն գոնե մեկ ընդհանուր կետ։ a-ն փոքրացնելիս V (a)-ն աճում է, իսկ W (a)-ն՝ նվազում, ընդ որում՝ միշտ V(a)≤W(a)։ V (a)-ն և W (a)-ն ունեն նույն սահմանը (երբ a-ն ձգտում է 0-ի), որը և կոչվում է A մարմնի ծավալ։

Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատների համակարգում A մարմնի ծավալը հաշվվում է

${\displaystyle V=\iiint \limits _{A}dxdydz}$  և

${\displaystyle V=\int \limits _{Z_{1}}^{Z_{2}}S(z)dz}$  բանաձևերով, որտեղ առաջին ինտեգրալը տարածված է A մարմնով, իսկ երկրորդը՝ A-ի՝ Z առանցքի վրա ունեցած պրոյեկցիայով։

Ընդհանուր աֆինական կոորդինատական համակարգում ծավալը հաշվվում է

${\displaystyle V=\iiint \limits _{A}{\sqrt {g}}\ dx_{1}dx_{2}dx_{3}}$  բանաձևով, որտեղ ${\displaystyle g}$ -ն ${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{1}dx^{j}}$  հիմնական քառակուսային ձևի դիսկրիմինանտն է։

Ընդհանրացնելով այս բանաձևը՝ մուծվում է ո-չափանի ծավալի հասկացությունը.

${\displaystyle V=\underbrace {\int \int \dots \int } _{n\ {\text{հատ}}}{\sqrt {g}}\ dx_{1}\dots dx_{n}}$ 

Երկարության յուրաքանչյուր միավորից ստացվում է ծավալի համապատասխան միավոր, որն իրենից ներկայացնում է այդ միավորով կողով խորանարդ։ Օրինակ, խորանարդ սանտիմետրը (սմ³) կլինի այն խորանարդի ծավալը, որի կողերն ունեն 1 սմ երկարություն։
Չափերի միավորների SI միջազգային համակարգում ծավալի հիմնական միավորն է խորանարդ մետրը (մ³)։ Մետրական համակարգի մեջ է մտնում նաև լիտրը (Լ), որպես հեղուկների և սորուն նյութերի ծավալի միավոր։ Լիտրը 10 սանտիմետրանոց խորանարդի ծավալն է՝

1 լիտր=(10սմ)³=1000 խորանարդ սանտիմետր=0.001 խորանարդ մետր,

հետևաբար՝

1 խորանարդ մետր=1000 լիտր

Փոքր քանակի հեղուկների ծավալները հաճախ չափվում են միլիլիտրերով՝

1 միլիլիտր=0.001 լիտր=1 խորանարդ սանտիմետր։

Կան նաև ծավալի այլ ավանդական չափի միավորներ՝ թեյի գդալ, ճաշի գդալ, փինթ, գալոն, բարել, բուշել և այլն։

Խորանարդ	${\displaystyle a^{3}\;}$  որտեղ ${\displaystyle a}$ -ն կողի երկարությունն է։ _____________________________________________________________
Գլան	${\displaystyle \pi r^{2}h\;}$  որտեղ ${\displaystyle r}$ -ը հիմքի շառավիղն է, ${\displaystyle h}$ -ը՝ բարձրությունը։ _____________________________________________________________
Պրիզմա	${\displaystyle B\cdot h}$  որտեղ՝ ${\displaystyle B}$ -ն հիմքի մակերեսն է, ${\displaystyle h}$ -ը՝ բարձրությունը _____________________________________________________________
Բուրգ	${\displaystyle {\frac {1}{3}}Bh}$  որտեղ՝ ${\displaystyle B}$ -ն հիմքի մակերեսն է, ${\displaystyle h}$ -ը՝ բարձրությունը _____________________________________________________________
Կոն	${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$  որտեղ՝ ${\displaystyle r}$ -ը հիմքի շառավիղն է, ${\displaystyle h}$ -ը՝ բարձրությունը _____________________________________________________________
Էլիպսոիդ	${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc}$  որտեղ՝ ${\displaystyle a}$ -ն, ${\displaystyle b}$ -ն, ${\displaystyle c}$ -ն կիսաառանցքներն են։ _____________________________________________________________
Կանոնավոր քառանիստ	${\displaystyle {{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}\,}$  որտեղ՝ ${\displaystyle a}$ -ն կողի երկարությունն է։ _____________________________________________________________
Զուգահեռանիստ	${\displaystyle abc{\sqrt {K}}}$  ${\displaystyle {\begin{aligned}K=1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\end{aligned}}}$  որտեղ՝ ${\displaystyle a}$ -ն, ${\displaystyle b}$ -ն, ${\displaystyle c}$ -ն կողերի երկարություններն են, α-ն, β-ն, և γ-ն՝ կողերի ներսի անկյունները։

Միևնույն շառավղով և բարձրության կոնի, գնդի և գլանի ծավալների հարաբերակցությունը

 

Վերևում բերված բանաձևերը կարելի է օգտագործել ցույց տալու համար, որ միևնույն շառավիղ և բարձրություն ունեցող կոնի, գնդի և գլանի ծավալները հարաբերվում են ինչպես 1 ։ 2 ։ 3. Եթե շառավիղը r է, բարձրությունը՝ h, ապա կոնի ծավալը կլինի՝

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}h={\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}(2r)=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 1,}$ 

գնդինը՝

${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 2,}$ 

իսկ գլանինը՝

${\displaystyle \pi r^{2}h=\pi r^{2}(2r)=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 3.}$ 

Գնդի և գլանի ծավալների 2 ։ 3 հարաբերությունը հայտնաբերել է Արքիմեդեսը։

Ինտեգրալ հաշվումը

Մարմինը	Ծավալի բանաձևը	Փոփոխական մեծությունները
Որևէ տարածական մարմին	${\displaystyle \int _{a}^{b}A(h)\,\mathrm {d} h}$	${\displaystyle h}$ -ը որևէ չափն է, ${\displaystyle A(h)}$ -ը ${\displaystyle h}$ -ին ուղղահայաց կտրվածքի մակերեսի ֆունկցիան է ըստ ${\displaystyle h}$ -ի երկայնքի։ ${\displaystyle a}$ -ն և ${\displaystyle b}$ -ն տարածական մարմնի ինտեգրալների սահմաններն են։ (Հաշվարկը կարելի է անել այնպիսի դեպքերում, եթե կտրվածքի մակերեսը հնարավոր է որոշել ըստ ${\displaystyle h}$ -ի)։
Ցանկացած պտտական մարմին	${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left({\left[R_{O}(x)\right]}^{2}-{\left[R_{I}(x)\right]}^{2}\right)\mathrm {d} x}$	${\displaystyle R_{O}}$ -ը և ${\displaystyle R_{I}}$ -ը համապատասխանաբար ներքին և արտաքին շառավիղներն արտահայտող ֆունկցիաներն են։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 118)։