Էրատոսթենեսի Մաղ

Համաձայն լեգենդի, մեթոդը ստացել է «մաղ» անվանումը, քանի որ Էրատոսթենեսը թվերը գրում էր մոմով պատված փոքրիկ տախտակի վրա, և անցք էր բացում այն տեղերում, որտեղ գրված էին բաղադրյալ թվեր։ Տախտակը նմանեցնում էին մաղի, որի միջոցով մաղում էին բաղադրյալ թվերը և թողնում միայն պարզ թվերը։ Էրատոսթենեսը կազմել է մինչև 1000 եղած պարզ թվերի ցանկը։

  Մինչև տրված n թիվը եղած պարզ թվերը գտնելու համար, համաձայն Էրատոսթենեսի մեթոդի, անհրաժեշտ է կատարել հետևյալ քայլերը՝

1. Գրել 2-ից մինչև n թիվը եղած բոլոր ամբողջ թվերը (2, 3, 4, …, n)։
2. Ներմուծել p փոփոխականը, որը հավասար է առաջին պարզ թվին՝ 2-ի։
3. Ընդգծել 2p-ից մինչև n եղած թվերը, արժեքը ավելացնելով p-ով (ցանկը կլինի հետևյալը՝ p, 2p, 3p, 4p, …)։
4. Գտնել առաջին p-ից մեծ արժեք ունեցող չընդգծված թիվը, և p փոփոխականին տալ նրա արժեքը։
5. Քանի հնարավոր է կրկնել 3-րդ և 4-րդ քայլերը։

Հիմա 2-ից միինչև n եղած բոլոր չընդգծված թվերը պարզ են։

Գործնականում ալգորիթմը հնարավոր է հեշտացնել հետևյալ ձևով. 3-րդ քայլում թվերը ընդգծել սկսած p²-ից, քանի որ դրանից փոքր բոլոր բաղադրյալ թվերը այդ ժամանակ ընդգծված չեն լինում։ Եվ, համապատասխանաբարորեն ալգորիթմի քայլերը դադարեցնել երբ p²-ը դառնա p-ից մեծ։ Ինչպես նաև, բոլոր պարզ թվերը(բացի 2-ից) կենտ են, այդ իսկ պատճառով, նրանց կարելի է հաշվել 2p քայլով , սկսած p²-ից։

Մինչև ${\displaystyle n}$  եղած պարզ թվերը հաշվելու ալգորիթմի հաշվողական բարդությունը ${\displaystyle O(n\log(\log n))}$  է։

Բարդության ապացույց

Ընտրված ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  թվի համար ամեն պարզ ${\displaystyle p\in \mathbb {P} \colon p\leq n}$  թվի համար կատարվում է ներքին ցիկլ(կրկնություն), որը կկատարի ${\displaystyle {\frac {n}{p}}}$  գործողություն։ Հետևաբար, պետք է գնահատել հետևյալ մեծությունը՝

${\displaystyle \sum \limits _{p\in \mathbb {P} \colon p\leq n}{\frac {n}{p}}=n\cdot \sum \limits _{p\in \mathbb {P} \colon p\leq n}{\frac {1}{p}}}$ 

Քանի որ ${\displaystyle n}$ -ից փոքր կամ հավասար պարզ թվերի քանակը գնահատվում է որպես ${\displaystyle {\frac {n}{\ln n}}}$ , ինչի արդյունքում, ${\displaystyle k}$  պարզ թիվը մոտավորապես հավասար է ${\displaystyle k\ln k}$ , գումարը հնարավոր է գրել այսպես՝

${\displaystyle \sum \limits _{p\in \mathbb {P} \colon p\leq n}{\frac {1}{p}}\approx {\frac {1}{2}}+\sum \limits _{k=2}^{\frac {n}{\ln n}}{\frac {1}{k\ln k}}}$ 

Այստեղ գումարից առանձնացվում է առաջին պարզ թիվը, որպեսզի խուսափենք 0 թվի վրա բաժանելուց։ Այսպիսով գումարը հնարավոր է գնահատել հետևյալ ինտեգրալով՝

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\sum _{k=2}^{\frac {n}{\ln n}}{\frac {1}{k\ln k}}\approx \int \limits _{2}^{\frac {n}{\ln n}}{\frac {1}{k\ln k}}\,dk=\ln \ln k{\Bigr |}_{2}^{\frac {n}{\ln n}}=\ln \ln {\frac {n}{\ln n}}-\ln \ln 2=\ln(\ln n-\ln \ln n)-\ln \ln 2\approx \ln \ln n}$ 

Արդյունքում ստանում ենք հետևյալը՝

${\displaystyle \sum \limits _{p\in \mathbb {P} \colon p\leq n}{\frac {n}{p}}\approx n\ln \ln n+o(n)}$ 

Ավելի խիստ և հիմնավորված ապացույց հնարավոր է գտնել Hardy и Wright «An Introduction to the Theory of Numbers» գրքում։

Մեքենայական օպտիմալ կոդի իրագործված է հետևյալ կերպ՝

Մուտք։ n բնական թիվ  A — տրամաբանական(բինար) զանգված, ինդեքսավորված 2-ից մինչև  n,սկզբնապես արժևորված true արժեքով։  for i := 2, 3, 4, ..., while i ≤ n:  if A[i] = true: for j := i2, i2 + i, i2 + 2i, ..., while j ≤ n:  A[j] := false  Ելք։ i թվեր, որոնց համար A[i] = true 

Գրենք 2-ից մինչև 30 եղած բոլոր բնական թվերը՝

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 

Ցանկում առաջին թիվը՝ 2ը պարզ թիվ է։ Անցնելով ցանկով, ջնջենք 2ին պատիկ բոլոր թվերը(այսինքն ամեն երկրորդը, սկսած 2² = 4-ից )

2 3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 

Մյուս չջնջված թիվը՝3ը պարզ է։ Անցնելով ցանկով, ջնջենք 3ին պատիկ բոլոր թվերը(այսինքն ամեն երկրորդը, սկսած 3² = 9-ից )

2 3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 

Մյուս չջնջված թիվը՝5ը պարզ է։ Անցնելով ցանկով, ջնջենք 5ին պատիկ բոլոր թվերը(այսինքն ամեն երկրորդը, սկսած 5² = 25-ից ) և այսպես շարունակ՝

2 3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 

Մյուս չջնջված թիվը՝ 7, նրա քառակուսին՝ 49 ավելի մեծ է քան 30-ը, այսինքն աշխատանքը ավարտված է և պարզ թվերի ցանկը հետևյալն է՝

2 3 5 7  11  13   17  19   23 29