Látszólagos Ellenállás

A látszólagos ellenállás jele Z, mértékegysége az ohm.

 

A komplex impedancia a definíciója alapján

${\displaystyle \mathbf {Z} ={\frac {\mathbf {U} }{\mathbf {I} }}={\frac {U_{0}\cdot e^{i(\omega t+\alpha )}}{I_{0}\cdot e^{i(\omega t+\beta )}}}={\frac {U_{0}}{I_{0}}}\cdot e^{i(\alpha -\beta )}={\frac {U_{0}}{I_{0}}}\cdot e^{i\varphi }\,}$ .

A képletekben U₀ és I₀ a feszültség, illetve az áramerősség csúcsértéke; ω a körfrekvencia; t az idő; α és β a feszültség, illetve az áramerősség fázisszöge; φ a fáziskülönbség a feszültség és áramerősség között. Az i az imaginárius egység (képzetes egység), az e az Euler-féle szám.

Mivel a látszólagos ellenállás a definícióból adódóan a komplex impedancia abszolút értéke, ezért

${\displaystyle Z=\left\vert \mathbf {Z} \right\vert =\left\vert {\frac {U_{0}}{I_{0}}}\cdot e^{i\varphi }\right\vert ={\frac {U_{0}}{I_{0}}}\,}$ .

Olyan váltakozó feszültségnél, amelynél az effektív értékek egyenesen arányosak a csúcsértékekkel (pl. a szinuszos váltakozó feszültségnél), a látszólagos ellenállás az effektív feszültség és az effektív áramerősség hányadosaként is kiszámítható:

${\displaystyle Z={\frac {U_{0}}{I_{0}}}={\frac {U_{\mathrm {eff} }}{I_{\mathrm {eff} }}}\,}$ .

A látszólagos ellenállás segítségével a komplex impedancia:

${\displaystyle \mathbf {Z} =Z\cdot e^{i\varphi }\,}$ .

 

A komplex impedancia (mint bármely komplex mennyiség) valós és képzetes részre bontható. Valós része a hatásos ellenállás (rezisztencia), jele R_h; képzetes része a meddő ellenállás (reaktancia), jele X. Képlettel:

${\displaystyle \mathbf {Z} =R_{\mathrm {h} }+iX}$ .

A hatásos ellenállás és a meddő ellenállás kifejezhető a látszólagos ellenállás, illetve a fáziskülönbség segítségével:

${\displaystyle R_{\mathrm {h} }=Z\cos \varphi \qquad {\text{és}}\qquad X=Z\sin \varphi \,}$ .

A fordított irányú összefüggések a látszólagos ellenállás, illetve a fáziskülönbség tangensének kiszámítására:

${\displaystyle Z={\sqrt {R_{\mathrm {h} }^{2}+X^{2}}}\qquad {\text{és}}\qquad \tan \varphi ={\frac {X}{R_{\mathrm {h} }}}\,}$ .

A hatásos ellenállásra és a meddő ellenállásra felírt összefüggések alapján a komplex impedancia:

${\displaystyle \mathbf {Z} =Z\cos \varphi +iZ\sin \varphi =Z\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\,}$ .

Bővebben: Impedancia

Ohmos ellenállás látszólagos ellenállása

 

Egy fogyasztót ohmos ellenállásnak nevezünk, ha egyenáramra vagy szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolva a fogyasztón átfolyó áram erőssége egyenesen arányos a feszültséggel. Igazolható, hogy ha egy R ellenállású ohmos ellenállást szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolunk, akkor komplex impedanciája megegyezik az ohmos ellenállással

${\displaystyle \mathbf {Z} =R\,}$ .

Ennek alapján az ohmos ellenállás látszólagos ellenállása:

${\displaystyle Z=R\,}$ .

Az ohmos ellenállásnál a feszültség és áramerősség azonos fázisban van egymással, azaz

${\displaystyle \varphi =0\,}$ .

Ideális tekercs látszólagos ellenállása

 

Egy tekercset ideális tekercsnek nevezünk, ha ohmos (és kapacitív) ellenállása elhanyagolható, így szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolva az áramerősséget csak az önindukció befolyásolja. Igazolható, hogy egy L önindukciós tényezőjű ideális tekercset szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolva a komplex impedancia:

${\displaystyle \mathbf {Z} =i\omega L\,}$ .

Ennek alapján az ideális tekercs látszólagos ellenállása:

${\displaystyle Z=\omega L\,}$ .

Az ideális tekercsnél az áramerősség 90°-ot késik a feszültséghez képest, azaz

${\displaystyle \varphi =90^{\circ }\,}$ 

Ideális kondenzátor látszólagos ellenállása

 

Egy kondenzátort ideális kondenzátornak nevezünk, ha ohmos (és induktív) ellenállása elhanyagolható, így szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolva az áramerősséget csak a kapacitása befolyásolja. Igazolható, hogy egy C kapacitású ideális kondenzátort váltakozó feszültségre kapcsolva a komplex impedancia:

${\displaystyle \mathbf {Z} =-i\cdot {\frac {1}{\omega C}}\,}$ .

Ennek megfelelően az ideális kondenzátor látszólagos ellenállása:

${\displaystyle Z={\frac {1}{\omega C}}\,}$ .

Az ideális kondenzátornál az áramerősség 90°-ot siet a feszültséghez képest, azaz

${\displaystyle \varphi =-90^{\circ }\,}$ 

 

 

Az ohmos ellenállás látszólagos ellenállása:

${\displaystyle Z=R\,}$ .

Eszerint az ohmos ellenállás látszólagos ellenállása nem függ a frekvenciától.

Az ideális tekercs látszólagos ellenállása:

${\displaystyle Z=\omega L\,}$ .

Eszerint az ideális tekercs látszólagos ellenállása egyenesen arányos a váltakozó feszültség körfrekvenciájával, illetve frekvenciájával.

Az ideális kondenzátor látszólagos ellenállása:

${\displaystyle Z={\frac {1}{\omega C}}\,}$ .

Eszerint az ideális kondenzátor látszólagos ellenállása fordítottan arányos a váltakozó feszültség körfrekvenciájával, illetve frekvenciájával.

Az összetett hálózatok látszólagos ellenállása általában a fentieknél bonyolultabb módon függ a frekvenciától, illetve a körfrekvenciától.

Bővebben: Impedancia

• Elektromos ellenállás
• Impedancia
• Hatásos ellenállás
• Meddő ellenállás

• Budó Ágoston: Kísérleti fizika II., Budapest, Tankönyvkiadó, 1971.
• Hans Breuer: SH atlasz – Fizika, Budapest, Springer-Verlag, 1993, ISBN 963 7775 58 7
• Villamos mérések zsebkönyve, Budapest, Műszaki Könyvkiadó, 1967.
• Torda Béla: Bevezetés az elektrotechnikába - 2. Váltakozóáramú hálózatok, (kézirat: http://www.muszeroldal.hu/measurenotes/torda2.pdf)