Kinetička Teorija Plinova

Osnovne su postavke teorije:

• molekule su najmanji djelići kemijskih tvari koji sadrže kemijska svojstva makroskopske tvari;
• molekule su u stalnom, kaotičnom gibanju (kinetička energija molekularnoga sustava predstavlja toplinu);
• međusobno djelovanje molekula i njihovo djelovanje na stijenke posude u kojoj se plin nalazi može se tretirati, na bazi klasične mehanike, kao sudari ili srazovi;
• zbog velikoga broja molekula primjenljive su metode statističke fizike.

Ako se zanemari međusobno djelovanje molekula, govori se o idealnom plinu, za koji se jednostavno izračunavaju temeljne termodinamičke veličine: tlak, temperatura i specifični toplinski kapacitet.

Plin, koji u jedinici volumena sadrži n molekula mase m koje se gibaju prosječnom brzinom v, vrši na stijenke posude tlak p:

${\displaystyle p={\frac {n\cdot m\cdot v^{2}}{3}}}$

U klasičnoj statističkoj fizici pretpostavlja se jednaka raspodjela energije sustava po raspoloživim stupnjevima slobode (kod čistoga translatornoga gibanja 3 prostorne komponente), pri čemu na svaki otpada srednja energija E_sr:

${\displaystyle E_{sr}={\frac {k_{B}\cdot T}{2}}}$

gdje je: k_B - Boltzmannova konstanta, a T - termodinamička temperatura.

Ukupna energija jednoga mola plina (kinetička energija N molekula) dana je s:

${\displaystyle E={\frac {3\cdot N\cdot k_{B}\cdot T}{2}}}$

gdje se faktor 3N k_B/2 naziva specifičnim toplinskim kapacitetom jednoatomnih plinova.

Kinetičkom teorijom plinova objašnjavaju se i druge pojave, primjerice difuzija, Brownovo gibanje, viskoznost i toplinska provodnost. Za realne plinove teorija daje ili približne rezultate, primjenljive u određenom rasponu temperatura i tlakova, ili se u razmatranje moraju uključiti potencijalna energija te svojstva molekula koja utječu na njihovo međudjelovanje i koja, općenito uzevši, ovise o temperaturi.

Dokaz za kinetičku teoriju plinova je Brownovo gibanje, koji je primijetio kretanje peluda ispod mikroskopa, a koje nastaje zbog kretanja i sudaranja nevidljivih čestica. Kao što je naglasio Albert Einstein 1905., eksperimentalni dokazi kinetičke teorije plinova su ujedno i dokazi postojanja atoma i molekula.

Kinetička teorija plinova se zasniva na sljedećim pretpostavkama:

• plin se sastoji od vrlo malih čestica, koji imaju neku masu;
• broj čestica u plinu je toliko velik, da se mogu primijeniti statistički zakoni;
• ti atomi i molekule su u stalnom i slučajnom kretanju. Brze pokretne čestice se stalno sudaraju sa stijenkama spremnika u kojem se nalaze;
• srazovi ili sudari čestica i stijenki spremnika su savršeno elastični;
• osim za vrijeme sraza ili sudara, međudjelovanje između molekula je zanemarivo (nema međumolekularnih sila);
• ukupni obujam čestica plina je zanemariv u usporedbi s obujmom spremnika u kojem se nalaze. Drugim riječima, veličina molekula je zanemariva u odnosu na razmak između njih;
• molekule imaju oblik savršene kugle i elastične su;
• prosječna kinetička energija čestica plina ovisi samo o temperaturi sustava;
• utjecaj posebne teorije relativnosti je zanemariv;
• utjecaj kvantne mehanike je zanemariv. To znači da je udaljenost između čestica puno veća od toplinske de Broglieve valne duljine i molekule se promatraju kao objekti klasične mehanike;
• vrijeme sudara čestica sa stijenkom spremnika je zanemarivo u usporedbi s vremenom između sudara.

Tlak

Tlak prema kinetičkoj teoriji plinova nastaje udaranjem čestica plina na stijenke spremnika u kojem se nalaze. U spremniku ima N molekula, svaka molekula ima masu m, a spremnik ima obujam V=L³. Kada molekula plina udari okomito u stijenku spremnika, onda količina gibanja koju izgubi molekula, a dobije stijenka spremnika iznosi:

${\displaystyle \Delta p=p_{i,x}-p_{f,x}=2\cdot m\cdot v_{x}\,}$ 

gdje je v_x početna brzina čestice x. Čestica udari u stijenku spremnika svakih:

${\displaystyle \Delta t={\frac {2\cdot L}{v_{x}}}}$ 

gdje je L udaljenost između stijenki spremnika. Sila kojom čestica djeluje na stijenku spremnika je:

${\displaystyle F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}={\frac {m\cdot v_{x}^{2}}{L}}.}$ 

Ukupna sila na zid stijenke iznosi:

${\displaystyle F={\frac {N\cdot m\cdot {\overline {v_{x}^{2}}}}{L}}}$ 

gdje se gornja formula odnosi na prosječan broj N čestica koje udaraju u zid, a pretpostavka prema molekularnom neredu iznosi ${\displaystyle {\overline {v_{x}^{2}}}={\overline {v^{2}}}/3}$ , pa se sila može izraziti:

${\displaystyle F={\frac {N\cdot m\cdot {\overline {v^{2}}}}{3\cdot L}}.}$ 

ta sila pritišće površinu L², pa tlak iznosi:

${\displaystyle p={\frac {F}{L^{2}}}={\frac {N\cdot m\cdot {\overline {v^{2}}}}{3\cdot V}}}$ 

gdje je V = L³ obujam spremnika. Razlomak n=N/V je gustoća čestica plina (gustoća mase iznosi ρ=n m). Koristeći n, možemo tlak izraziti kao:

${\displaystyle p={\frac {n\cdot m\cdot {\overline {v^{2}}}}{3}}}$ 

To je prvi značajan rezultat kinetičke teorije plinova, gdje se tlak kao makroskopska pojava objašnjava s mikroskopskom kinetičkom energijom molekula ${\displaystyle {1 \over 2}m{\overline {v^{2}}}}$ .

Temperatura i kinetička energija

Iz jednadžbe stanja idealnog plina:

${\displaystyle \displaystyle p\cdot V=N\cdot k_{B}\cdot T}$

(1)

gdje je k_B – Boltzmannova konstanta i T – apsolutna temperatura i iz gornje jednažbe kinetičke teorije plinova za tlak:

${\displaystyle p={N\cdot m\cdot v^{2} \over 3\cdot V}}$  dobivamo ${\displaystyle p\cdot V={N\cdot m\cdot v_{rms}^{2} \over 3}}$ 

dobivamo ${\displaystyle \displaystyle N\cdot k_{B}\cdot T={\frac {N\cdot m\cdot v_{rms}^{2}}{3}}}$ 

onda temperatura T dolazi:

${\displaystyle \displaystyle T={\frac {m\cdot v_{rms}^{2}}{3k_{B}}}}$

(2)

i vodi prema izrazu kinetičke energije molekula:

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{rms}^{2}={\frac {3}{2}}k_{B}\cdot T}$ 

Kinetička energija cijelog sustava je N puta veća:

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}N\cdot m\cdot v_{rms}^{2}}$ 

Pa temperatura postaje:

${\displaystyle \displaystyle T={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {K}{N\cdot k_{B}}}.}$

(3)

To je vrlo važan rezultat kinetičke teorije plinova: prosječna molekularna kinetička energija je proporcionalna apsolutnoj temperaturi. Kombiniranjem možemo dobiti:

${\displaystyle \displaystyle p\cdot V={\frac {2}{3}}K.}$

(4)

To znači da je umnožak tlaka i obujma, po molu plina, proporcionalan s prosječnom molekularnom kinetičkom energijom.

Sudari sa spremnikom

Za idealni plin, prema kinetičkoj teoriji plinova, može se izračunati broj sudara molekula sa spremnikom, po jedinici vremena i po jedinici površine:

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {N}{V}}\cdot v_{avg}={\frac {\rho }{4}}{\sqrt {\frac {8\cdot k_{B}\cdot T}{\pi \cdot m}}}.\,}$ 

Brzina molekula

Iz kinetičke teorije plinova može se izračunati prosječna brzina molekula:

${\displaystyle v_{rms}^{2}={\frac {3\cdot R\cdot T}{\mbox{molarna masa}}}}$ 

gdje je: v_rms - prosječna brzina molekula (m/s), T – apsolutna temperatura (K), R – univerzalna plinska konstanta, molarna masa (kg/mol).

Začetnik kinetičke teorije plinova je Daniel Bernoulli, koji je 1738. izdao knjigu Hydrodynamica. On je tvrdio da se plinovi sastoje od velikog broja molekula, koje se stalno kreću u svim smjerovima, i da njihovi udarci na stijenke spremnika stvaraju tlak, a da je toplina koju osjećamo ustvari kinetička energija kretanja molekula. Ta teorija u početku nije imala uspjeha, tek nakon zakona o očuvanju energije, postaje opće prihvaćena.

Ostali značajni prestavnici kinetičke teorije plinova su Mihail Lomonosov, Rudolf Clausius, James Maxwell, Ludwig Boltzmann i na kraju Albert Einstein, koji je pokazao da atomi i molekule nisu samo teoretske čestice, nego i da postoje u stvarnosti.