טריגונומטריה סינוס: פונקציה טריגונומטרית

הרחבות שונות של הפונקציה משמשות במגוון תחומים, כגון הגדרות שונות באנליזה (ובפרט באנליזה מרוכבת). הפונקציה שימושית מאוד בפיזיקה, בהנדסת חשמל ובתחומי מדע והנדסה אחרים. גרף הפונקציה משמש בפיזיקה לתיאור גל.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

הגדרה גאומטרית

 

בהגדרתה הבסיסית ביותר, הערך של פונקציית הסינוס בזווית נתונה היא היחס בין הניצב שמול הזווית לבין היתר במשולש ישר-זווית. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 לבין 90 מעלות (או ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$  רדיאנים), כלומר לזווית ישרה. משולשים עם זוויות זהות הם משולשים דומים, ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הסינוס של כל זווית מוגדר היטב.

הרחבה

 

במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-y, כלומר שיעור ה-y של הנקודה (x,y). עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס, לכל מספר ממשי: הסינוס של מספר כלשהו ${\displaystyle \ \theta }$  הוא שיעור ה-y של הנקודה על מעגל היחידה, שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לבין ציר ה-x הוא ${\displaystyle \ \theta }$  (ברדיאנים).

 

טור טיילור

כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס באמצעות טור טיילור:

${\displaystyle \sin x=\ x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}}$ 

ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של סינוס, על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב סינוס לזוויות קטנות: ${\displaystyle \sin x\approx x}$ , וזאת מכיוון שכאשר x קטן, החזקה השלישית שלו וכל החזקות הגבוהות יותר הן זניחות.

הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס גם למספרים מרוכבים. באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לסינוס:

${\displaystyle \ \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$ 

וכן,

${\displaystyle \sin z={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}}$  (ראו פונקציה היפרבולית)

הגדרות נוספות

מלבד דרכים חשובות אלו, ישנן דרכים נוספות להגדיר את פונקציית הסינוס.

ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס גם באמצעות שבר משולב:

${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.}$ 

שבר זה מתקבל מטור טיילור שלעיל.

דרך נוספת היא בעזרת מכפלה אינסופית:

${\displaystyle \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}$ 

מכפלה זו היא המפתח לפתרונו של אוילר לבעיית בזל.

• פונקציית הסינוס היא אי-זוגית, דהיינו: ${\displaystyle \sin(-x)=-\sin(x)}$ .
• פונקציית הסינוס הממשית היא מחזורית, בעלת מחזור של ${\displaystyle 2\pi }$ . זאת משום שבייצוג של מעגל היחידה, סיבוב של ${\displaystyle 2\pi }$  מחזיר את הנקודה P לנקודת המוצא.
• פונקציית הסינוס רציפה, גזירה ואינטגרבילית לכל ${\displaystyle x}$ .
• לפונקציה יש אינסוף נקודות קיצון מהצורה: ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+2\pi k}$  (מקסימום) ו-${\displaystyle x=-{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}$  (מינימום), כאשר ${\displaystyle k}$  מספר שלם. הערך בנקודות המקסימום הוא 1, ובנקודות המינימום (-1).
• לפונקציה יש אינסוף שורשים מהצורה: ${\displaystyle x=\pi k}$ , כאשר ${\displaystyle k}$  מספר שלם. אלו כל השורשים של הפונקציה במישור המרוכב.
• התמונה של פונקציית הסינוס הממשית היא: ${\displaystyle [-1,1]}$ .
  • נובע מכך כי פונקציית הסינוס הממשית חסומה בכל תחום ההגדרה שלה, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

הנגזרת של פונקציית הסינוס היא פונקציית הקוסינוס:

${\displaystyle {d \over dx}\sin x=\cos x}$ 

הוכחה בעזרת הגבול של sin(x)/x

לפי הגדרתה, הנגזרת בנקודה ${\displaystyle x_{0}}$  שווה לגבול:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {\sin x-\sin x_{0}}{x-x_{0}}}}$ 

על פי הזהות הטריגונומטרית: ${\displaystyle \sin \theta -\sin \varphi =2\cos \left({\theta +\varphi \over 2}\right)\sin \left({\theta -\varphi \over 2}\right)\;}$ 
נקבל:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {\sin x-\sin x_{0}}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {2\cos \left({x+x_{0} \over 2}\right)\sin \left({x-x_{0} \over 2}\right)\;}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {\sin \left({x-x_{0} \over 2}\right)\;}{\frac {x-x_{0}}{2}}}\cdot \cos \left({x+x_{0} \over 2}\right)\;}$ 

נשתמש בגבול הטריוויאלי: ${\displaystyle \ \lim _{x\to x_{0}}{x-x_{0} \over 2}=0}$ , בגבול המפורסם: ${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\sin(t)}{t}}=1}$  וברציפות הפונקציות כדי לקבל:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {\sin \left({x-x_{0} \over 2}\right)\;}{\frac {x-x_{0}}{2}}}\cdot \cos \left({x+x_{0} \over 2}\right)\;=\lim _{x\to x_{0}}1\cdot \cos \left({x+x_{0} \over 2}\right)\;=\cos \left({2x_{0} \over 2}\right)\;=\cos x_{0}}$ .

מש"ל.

בעזרת כלל השרשרת ניתן לקבל שהנגזרת של קוסינוס היא מינוס סינוס, ועל כן הנגזרת הרביעית של סינוס שווה לפונקציית הסינוס עצמה. כך מוצגת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית:

פונקציית הסינוס היא פתרון המשוואה ${\displaystyle \ f''(x)=-f(x)}$  כאשר ${\displaystyle \ f(0)=0}$  ו-${\displaystyle \ f'(0)=1}$ .

הפונקציה הקדומה של הסינוס היא מינוס קוסינוס: ${\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C}$ 

אפשר גם לגזור את הסינוס באמצעות הנגזרת של הפונקציה ההפוכה ארכסינוס, שהיא שווה ל${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$  על ידי שימוש בכלל לנגזרת פונקציה הפוכה. אמנם את הנגזרת של הארכסינוס מקובל להוכיח בדרך כלל באמצעות הנגזרת של סינוס, ואם רוצים לגזור את הארכסינוס בנפרד צריך להשתמש באינטגרל ובמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

הוכחה בעזרת טורי חזקות

את פונקציות הסינוס והקוסינוס ניתן להגדיר כפתרונות של המשוואות הדיפרנציאליות ${\displaystyle y_{1}'=y_{2},y_{2}'=-y_{1}}$  עם תנאי ההתחלה ${\displaystyle y_{1}(0)=0,y_{2}(0)=1}$ . הגדרה שכזו מובילה להצגת הפונקציות באמצעות טורי מקלורין:

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$ 

${\displaystyle \cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}$ 

מכיוון שפעולת הגזירה היא אופרטור ליניארי, גזירה של הטור המציג את פונקציית הסינוס תוביל לטור זהה לזה המגדיר את פונקציית הקוסינוס.

${\displaystyle (\sin(x))'={\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{\Bigr )}'=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(x^{2n+1})'}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=\cos(x)}$ 

הגדרת הפונקציות והוכחת הנגזרת בצורה כזו, פותרות את המעגליות של השימוש בכלל לופיטל כדי להוכיח את הגבול של sin(x)/x.

 

להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות:

x (זווית)			sin x
מעלות	רדיאנים	גראדים	במדויק	קירוב עשרוני
0°	0	0g	0	0
180°	${\displaystyle \pi }$	200g
15°	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	162/3g	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	0.258819045102521
165°	${\displaystyle {\frac {11\cdot \pi }{12}}}$	1831/3g
30°	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	331/3g	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0.5
150°	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{6}}}$	1662/3g
45°	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	50g	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	0.707106781186548
135°	${\displaystyle {\frac {3\cdot \pi }{4}}}$	150g
60°	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	662/3g	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	0.866025403784439
120°	${\displaystyle {\frac {2\cdot \pi }{3}}}$	1331/3g
75°	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{12}}}$	831/3g	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	0.965925826289068
105°	${\displaystyle {\frac {7\cdot \pi }{12}}}$	1162/3g
90°	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	100g	1	1

sup>1

  ערך מורחב – זהויות טריגונומטריות

• פונקציית הסינוס מקיימת: ${\displaystyle \ \sin(-\theta )=-\sin \theta }$  וכן ${\displaystyle \ \sin(\pi -\theta )=\sin \theta }$ 
• בעזרת פונקציית הסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): ${\displaystyle \cos \theta ={\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$  ‏, ${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$  ‏, ${\displaystyle \cot \theta ={{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }} \over \sin \theta }}$  ‏, ${\displaystyle \csc \theta ={1 \over \sin \theta }}$  ‏, ${\displaystyle \sec \theta ={1 \over {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$ 
• סכום זוויות: ${\displaystyle \sin(\theta \pm \varphi )=\sin \theta \cos \varphi \pm \cos \theta \sin \varphi }$ 
• זווית כפולה: ${\displaystyle \ \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$  ‏, ${\displaystyle \ \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta }$  ובאופן כללי ${\displaystyle \sin n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\sin \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)}$ 
• חצי זווית: ${\displaystyle \sin {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}}$ 
• סכום סינוסים: ${\displaystyle \sin \theta +\sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$  ‏, ${\displaystyle \sin \theta -\sin \varphi =2\cos \left({\theta +\varphi \over 2}\right)\sin \left({\theta -\varphi \over 2}\right)\;}$ 

 

הפונקציה ההפוכה לפונקציית הסינוס נקראת ארקסינוס ומסומנת ${\displaystyle \ \arcsin }$  או ${\displaystyle \ \sin ^{-1}}$ . הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע ${\displaystyle \ [-1,1]}$ , וכיוון שפונקציית הסינוס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים ${\displaystyle \ [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}$ . הנגזרת שלה היא ${\displaystyle {d \over dx}\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$ .

  ערך מורחב – משפט הסינוסים

משפט הסינוסים הוא משפט הקובע את הקשר בין צלעות המשולש וזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הסינוס:

${\displaystyle {a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }=2R}$ 

כאשר הזוויות ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$  נמצאות מול הצלעות a, b, c בהתאמה, ו-R הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

  מדיה וקבצים בנושא סינוס בוויקישיתוף

• סינוס, באתר MathWorld (באנגלית)
• טריגוקליק - אתר עזר לפתרון בעיות בסינוס, קוסינוס וטנגנס