מרחב וקטורי: מבנה אלגברי יסודי באלגברה ליניארית

איברי המערכת נקראים וקטורים. בהתאם להקשר, מקובלים סימונים שונים לווקטורים, כגון ${\displaystyle {\underline {u}}}$, ${\displaystyle {\overline {u}}}$, ${\displaystyle {\vec {u}}}$ או ${\displaystyle \mathbf {u} }$.

בהנחת אקסיומת הבחירה, לכל מרחב וקטורי יש בסיס. כל הבסיסים של מרחב וקטורי הם בעלי אותו גודל, שהוא הממד של המרחב. הממד הוא המאפיין היחיד של מרחב וקטורי: כל שני מרחבים בעלי אותו ממד הם איזומורפיים זה לזה.

מרחב וקטורי מעל שדה ${\displaystyle \ \mathbb {F} }$ , הוא קבוצה ${\displaystyle \ V}$  שאבריה נקראים וקטורים;

עם פעולת חיבור שביחס אליה ${\displaystyle \ V}$  היא חבורה אבלית (מקיימת סגירות לחיבור, אסוציאטיביות, קומוטטיביות, קיום איבר נייטרלי ${\displaystyle {\vec {0}}_{V}}$ , וקיום איבר נגדי ${\displaystyle -{\vec {v}}}$  לכל ${\displaystyle {\vec {v}}\in V}$ );
ועם פעולת כפל בסקלר ${\displaystyle \ \mathbb {F} \times V\rightarrow V}$ , שמסמנים ב-${\displaystyle \ (\alpha ,{\vec {v}})\mapsto \alpha \cdot {\vec {v}}}$ , כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:

1. סגירות: לכל ${\displaystyle {\vec {v}}\in V}$  ו-${\displaystyle \lambda \in \mathbb {F} }$  מתקיים ${\displaystyle \lambda \cdot {\vec {v}}\in V}$ .
2. ${\displaystyle 1}$  הוא איבר נייטרלי: ${\displaystyle \forall {\vec {v}}\in V,1\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}}$ , כך ש-${\displaystyle 1}$  מסמן את האיבר הנייטרלי של השדה עצמו.
3. קיבוציות כפל סקלרים בווקטור (חוק הקיבּוץ): ${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\forall {\vec {v}}\in V,(\alpha \cdot \beta )\cdot {\vec {v}}=\alpha \cdot (\beta \cdot {\vec {v}})}$ 
4. פילוגיות סקלרים (חוק הפילוג לסקלרים): ${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\forall {\vec {v}}\in V,(\alpha +\beta )\cdot {\vec {v}}=\alpha \cdot {\vec {v}}+\beta \cdot {\vec {v}}}$ 
5. פילוגיות וקטורים: ${\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {F} ,\forall {\vec {v}},{\vec {u}}\in V,\alpha \cdot ({\vec {v}}+{\vec {u}})=\alpha \cdot {\vec {v}}+\alpha \cdot {\vec {u}}}$ 

דרישת החילופיות של החיבור ב-${\displaystyle V}$  נובעת משאר האקסיומות (כפי שניתן לראות אם מפתחים את הביטוי ${\displaystyle (1+1)(u+v)}$ , פעם אחת לפי פילוגיות של סקלרים, ופעם שנייה לפי פילוגיות של וקטורים).

• אוסף הפתרונות למערכת משוואות הומוגנית הוא מרחב וקטורי.
• המרחב ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$  של ${\displaystyle n}$ -יות המורכבות מאיברים בשדה ${\displaystyle \ \mathbb {F} }$  כלשהו, כאשר החיבור הוא לפי קואורדינטות (חיבור איבר-איבר) וכך גם הכפל בסקלר. בפרט: ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n})+(y_{1},...,y_{n})=(x_{1}+y_{1},...,x_{n}+y_{n})}$  ו-${\displaystyle c\cdot (x_{1},...,x_{n})=(cx_{1},...,cx_{n})}$ . האיבר הנייטרלי לחיבור הוא ${\displaystyle {\vec {0}}=(0,...,0)}$ .
  • המרחב ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  של ${\displaystyle n}$ -יות מספרים ממשיים מעל שדה הממשיים.
  • המרחב האוקלידי התלת-ממדי מעל שדה הממשיים. זהו גם מרחב מכפלה פנימית ביחס למכפלה הסקלרית הסטנדרטית.
• מרחב הפונקציות הממשיות מעל שדה הממשיים.
  • מרחב הפולינומים מעל שדה ${\displaystyle \ \mathbb {F} }$ . תת-המרחבים של מרחב זה המכילים פולינומים ממעלה n ומטה.
• מרחב המטריצות הממשיות (או המרוכבות) בגודל נתון מעל שדה הממשיים (או המרוכבים).
• מרחב כל ההעתקות הליניאריות מעל מרחב וקטורי נתון.
• אוסף כל תת-הקבוצות של קבוצה ${\displaystyle X}$  כלשהי הוא מרחב וקטורי מעל השדה ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ , כאשר פעולת החיבור היא פעולת ההפרש הסימטרי.

• תלות ליניארית קיימת בקבוצת וקטורים אם ניתן להציג ווקטור אחד מתוכה כצירוף ליניארי של האחרים.
• פרוש (Span) של קבוצת ווקטורים הוא קבוצת כל הצירופים הליניאריים של הווקטורים בקבוצה. קבוצת וקטורים פורשת את המרחב אם המרחב שווה לפרוש שלה.
• בסיס של מרחב וקטורי הוא קבוצה בלתי תלויה של וקטורים שפורשת אותו.
• ממד המרחב הוא מספר הווקטורים בבסיס. מכיוון שמספר זה איננו תלוי בבחירת הבסיס (כלומר שווה בכל הבסיסים במרחב), המושג מוגדר היטב. ממד יכול להיות סופי או אינסופי.

תת-מרחב וקטורי של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת-קבוצה ${\displaystyle \ W}$  של המרחב הווקטורי ${\displaystyle \ V}$  מעל השדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$  מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:

1. ${\displaystyle \ W}$  אינה ריקה (מספיק לדעת שווקטור האפס שייך ל־${\displaystyle \ W}$ , כלומר ${\displaystyle {\vec {0}}_{V}\in W}$ ).
2. ${\displaystyle \ W}$  סגורה ביחס לחיבור. כלומר שלכל ${\displaystyle {\vec {v}},{\vec {u}}\in W}$  מתקיים ${\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {u}}\in W}$ .
3. ${\displaystyle \ W}$  סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר שלכל ${\displaystyle {\vec {v}}\in W}$  ו-${\displaystyle \lambda \in \mathbb {F} }$  מתקיים ${\displaystyle \lambda \cdot {\vec {v}}\in W}$ .

שאר הדרישות שבהגדרת מרחב וקטורי, נובעות ישירות מהיותם של כל איברי ${\displaystyle \ W}$  איברים גם של ${\displaystyle \ V}$ .

יריעת גרסמן מקוֹדדת את כל תת-המרחבים מממד נתון של ${\displaystyle V}$ .

• מרחב בנך
• מרחב הילברט
• מרחב נורמי
• מרחב מכפלה פנימית
• אגד וקטורי

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: הווקטור האלגברי
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: מרחב וקטורי

• הרצאה על תלות, פרישה בסיס וממד מתוך קורס באלגברה ליניארית שניתן ב-MIT
• סימולטור להדגמה של תלות, פרישה, בסיס וממד במרחב תלת־ממדי (ומושגים נוספים באלגברה ליניארית)
• מרחב וקטורי, באתר MathWorld (באנגלית)
• מרחב וקטורי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)