שטח: גודל מתמטי

ערך זה עוסק בהגדרה המתמטית למושג "שטח". אם התכוונתם להגדרת המושג במדעי המדינה, ראו טריטוריה.

השטח הוא תכונה של יריעה דו־ממדית; בפרט, שטח הפנים של גוף תלת-ממדי הוא שטח השפה, או המעטפת החיצונית, של הגוף.

שטח נמדד ביחידות מידה של אורך בריבוע.

שטחם של צורות בסיסיות כמו משולש ועיגול ניתן לחישוב באמצעות נוסחאות פשוטות. צורות מורכבות יותר ניתן לפעמים לחלק לצורות בסיסיות בעלות שטח ידוע. שטח כללי ניתן לחשב באמצעות אינטגרל, או באמצעות קירובים (גם בעזרת מחשב) בשיטות שונות. ניתן למדוד שטח באמצעות פלנימטר.

מבחינה מתמטית פורמלית, שטח של צורה במישור מוגדר כמידת לבג שלה.

 

בגאומטריה ישנן נוסחאות מוכרות לצורך חישובי שטחים:

• שטח מקבילית שווה למכפלת צלע באנך לה: ${\displaystyle \ S=a\cdot h}$ 

בפרט: שטח מלבן שווה למכפלת אורכי שתי צלעות סמוכות: ${\displaystyle \ S=a\cdot b}$ 
בפרט: שטח ריבוע שווה לריבוע צלעו: ${\displaystyle \ S=a^{2}}$ 

• שטח טרפז שווה למכפלת חצי סכום הבסיסים (שהוא גם אורך קטע האמצעים) בגובה הטרפז: ${\displaystyle S={a+b \over 2}\cdot h}$ 
• שטח משולש הוא חצי מכפלת בסיס המשולש בגובה: ${\displaystyle \ S={\frac {1}{2}}a\cdot h}$ 

או מחצית המכפלה של שתי צלעות וסינוס הזווית שביניהן: ${\displaystyle \ S={\frac {a\cdot b\cdot \sin(\measuredangle C)}{2}}}$  כאשר ${\displaystyle \ a,b}$ , הן צלעות במשולש ו-${\displaystyle \ \measuredangle C}$  היא הזווית שביניהן.
או על פי נוסחת הֵרון: ${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\,}$  כאשר ${\displaystyle a,b,c\,}$  מייצגות את אורך כל אחת מצלעות המשולש, ו-${\displaystyle p\,}$  היא מחצית היקף המשולש: ${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$ 
בפרט: שטח משולש ישר-זווית שווה למחצית מכפלת הניצבים: ${\displaystyle \ S={\frac {1}{2}}a\cdot b}$ 

• שטח עיגול שרדיוסו ${\displaystyle \ R}$  הוא ${\displaystyle \ S=\pi R^{2}}$ .
• שטח אליפסה שאורכי ציריה הם ${\displaystyle \ 2a}$  ו ${\displaystyle \ 2b}$  הוא ${\displaystyle \ S=\pi ab}$ .

• מטר רבוע (מ"ר או מ²)
• קילומטר רבוע (קמ"ר) = 1,000 מטר כפול 1,000 מטר = 1,000,000 (מיליון) מ"ר
• סנטימטר רבוע (סמ"ר) = 0.0001 (אחד חלקי עשרת אלפים) מ"ר

יחידות מדידה מקובלות לשטחי קרקע

מטר רבוע, השטח של ריבוע שאורך צלעו מטר אחד, הוא יחידת מידה בסיסית לשטחי קרקע, השייכת למערכת היחידות הבינלאומית. שטחים קטנים מקובל למדוד ביחידות מידה מתאימות, כמו סנטימטר רבוע (סמ"ר; 10,000 סמ"ר הם מ"ר אחד). בתעשיית המוליכים למחצה נהוג למדוד את שטח השבב במילימטר רבוע. במטר רבוע יש מיליון מילימטר רבועים.

שטחי קרקע גדולים מודדים ב"דונם", השווה ל-1,000 מ"ר, או בהקטאר השווה לעשרה דונם. בארצות המערב מקובל למדוד שטחים באקר, השווה לכ-4.047 דונם.

• קרטוגרפיה (מיפוי) היא תחום ידע העוסק במדידת וחישוב שטחים. מהנדסים המודדים שטח בונים רשת טריאנגולציה, שהיא רשת נקודות על פני האדמה שיוצרת משולשים, אשר בעזרתם מחשבים שטחים. המכשיר המשמש במדידות אלו נקרא תיאודוליט.
• שטח פנים הוא השפה או הקליפה החיצונים של גוף תלת־ממדי. שטח הפנים הוא גודל חשוב למשל בכימיה, שכן הוא שולט על מהירותן של תגובות כימיות. הנאדיות שבריאות בגוף האדם בנויות באופן אשר מגדיל ככל האפשר את שטח הפנים שלהן בנפח הנתון, כדי לזרז את קליטת החמצן בדם.
• שטח חתך הוא השטח של חתך מישורי בגוף תלת־ממדי. המונח משמש בהנדסה כדי לחשב מאמץ בחומר, למשל כדי שכבל פלדה יעמוד בכפליים משקל, שטח החתך שלו צריך להיות כפול.

בנוסף לנוסחאות שהוצגו עבור צורות פשוטות, ניתן לחשב שטח של צורה כללית באמצעות נוסחאות וכלים, פשוטים לשימוש ידני ומהיר, או מורכבים הדורשים מחשב.

חלוקה לרשת

קירוב לשטח של צורה כללית ניתן למצוא באופן ידני אם מניחים את הצורה על רשת של קווים במרחק קבוע וידוע זה מזה. סופרים את המשבצות שנמצאות בתוך הצורה, ומחברים את מחצית מספר המשבצות אשר נחתכות בגבול של הצורה. את המספר המתקבל מכפילים בשטח של כל משבצת, כלומר במרחק בין הקווים בריבוע, ומקבלים קירוב לשטח הצורה. הקירוב יהיה טוב יותר ככל שגודל המשבצות קטן יותר.

כאשר הצורה היא מצולע שכל קודקודיו נמצאים על הרשת ניתן לחשב את השטח במדויק על פי משפט פיק.

ישנה שיטה נוספת שבה סופרים את מספר המשבצות שבתוך הצורה ומכפילים בשטח של משבצת אחת. לאחר מכן מחסרים את מספר המשבצות שמחוץ לצורה ממלבן המכיל את הצורה, ומכפילים את התוצאה בשטח של משבצת אחת. לבסוף משקללים את שני השטחים, והממוצע הוא קירוב של השטח.

מהלך אקראי באמצעות מחשב

 

שיטה דומה למשבצות היא תחימת הצורה בתוך ריבוע בגודל ידוע, והצבת נקודות אקראיות בריבוע, הנבחרות באמצעות מחשב (שיטת מונטה-קרלו). שטח הצורה בקירוב הוא מספר הנקודות בתוך הצורה חלקי מספר הנקודות הכולל כפול שטח הריבוע. דיוק השיטה גדל כמו שורש מספר הנקודות.

אינטגרל

האינטגרל של פונקציה רציפה שווה לשטח בין גרף הפונקציה לציר ה-x. אם ניתן לתאר היקף של צורה סגורה באמצעות שתי פונקציות, אז שטח הצורה הוא הפרש האינטגרלים של הפונקציות.

אינטגרל קווי על השפה של צורה סגורה ניתן להפוך באמצעות משפט גרין לאינטגרל כפול של פונקציה קבועה, הנותן את שטח הצורה. אם הצורה הסגורה מלבנית, ניתן לחשב את השטח באמצעות משפט גרין הדיסקרטי.

פלנימטר

פלנימטר הוא מכשיר מכני המודד שטח של צורה כלשהי, כאשר מעבירים את זרוע המכשיר על פני ההיקף של הצורה. המכשיר פועל בהסתמך על משפט גרין ונוסחת הסקטור של לייבניץ, והומצא בשנת 1814.

• שטח פנים
• היקף
• אורך
• נפח
• אינטגרל
• פלנימטר

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: שטח
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: שטח

• שטח, באתר MathWorld (באנגלית)