פונקציה רציונלית

קבוצת הפונקציות הרציונליות היא שדה השברים של חוג הפולינומים.

נאמר שפונקציה ${\displaystyle f(x)}$  רציונלית אם היא מהצורה ${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$  כאשר ${\displaystyle P(x)}$  ו-${\displaystyle Q(x)}$  הן פולינומים כך של-${\displaystyle Q(x)}$  יש לפחות מקדם אחד שונה מ-${\displaystyle 0}$ . הפונקציה ${\displaystyle f}$  מוגדרת בכל נקודה בה ${\displaystyle Q}$  שונה מאפס.

פונקציה רציונלית היא מקרה פרטי של העתקה רציונלית.

דוגמאות

הפונקציה ${\displaystyle f(x)={\frac {3x^{5}+6x-1}{2x-9}}}$  היא פונקציה רציונלית כי ${\displaystyle 3x^{5}+6x-1}$  ו־${\displaystyle 2x-9}$  הם פולינומים לעומת זאת ${\displaystyle g(x)=cos(x)}$  אינה פונקציה רציונלית, משום שלא ניתן לבטא אותה כמנת פולינומים. גם הפונקציה ${\displaystyle h(x)={\sqrt {x}}+2{\sqrt[{4}]{x}}}$  איננה רציונלית כי המעריכים של ${\displaystyle x}$  אינם שלמים.

כל פונקציה רציונלית היא רציפה בכל תחום הגדרתה, היות שכל פולינום מגדיר פונקציה רציפה, ומנת פונקציות רציפות אף היא רציפה. תהיינה ${\displaystyle f(x),g(x)}$  גזירות כאשר ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ . את הנגזרת של הפונקציה הרציונלית ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$  מקבלים על די הנוסחה ${\textstyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\tfrac {f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g(x)^{2}}}}$ .

  ערך מורחב – אסימפטוטה

בניגוד לפונקציה ללא מנה כמו פונקציית פולינום, או פונקציית שורש ללא מנה, בפונקציות עם מנה ייתכנו אסימפטוטות, שהן ישרים אליהן הפונקציה שואפת להגיע, כאשר ${\displaystyle x\to \infty }$  או ${\displaystyle x\to -\infty }$ .

  מדיה וקבצים בנושא פונקציה רציונלית בוויקישיתוף

• פונקציה רציונלית, באתר MathWorld (באנגלית)

  ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.