מכניקה גלגול

במכניקה, גלגול הוא סוג של תנועה המתקיימת כאשר שני גופים, שקיים מגע רצוף ביניהם, נעים האחד ביחס לשני בתנועה המשלבת סיבוב סביב מרכז המסה ותנועה של מרכז המסה עצמו. בדרך כלל מקובל להתייחס לתנועה שבה לאחד מהגופים יש סימטריה סביב אחד מציריו, בעוד הגוף האחר הוא משטח ישר, כמו גלגול של כדור או גלגל על רצפה, אם כי, תתכנה גם אפשרויות אחרות.

בתנאים אידיאליים, שטח המגע בין הגופים מצטמצם לנקודה אחת בלבד (או לקו ישר, במקרה של גליל או חרוט), ובנוסף המהירות היחסית בין הגופים בנקודת המגע היא אפס וכתוצאה מכך לא מתקיימת החלקה. תנועת גלגול כזו נקראת גלגול טהור, בגלגול טהור כוח החיכוך אינו מבצע עבודה ולכן אין איבוד אנרגיה שכן נקודת המגע נחה ביחס למשטח. במציאות, עקב עיוותים באזור המגע, מתקיימת תמיד מידה מסוימת של החלקה. כתוצאה מכך, וכתוצאה מתהליכים פנימיים נוספים, חלק מהאנרגיה הקינטית האצורה במערכת הופך לחום.

 

תנועת הגלגול הפשוטה ביותר היא של דיסקה מעגלית קשיחה, המתחילה להתגלגל על גבי משטח ישר, כשציר הסימטריה שלה מקביל למשטח כשמהירותה היחידה בתחילת התנועה היא מהירות קווית ${\displaystyle v_{0}}$ . תנועה זו משלבת תנועה סיבובית של הדיסקה סביב מרכז המסה שלה, ותנועה של מרכז המסה עצמו במקביל למשטח. כאשר הגלגול הוא גלגול טהור המסלול אותו מתווה כל נקודה על פני היקף הדיסקה נקרא ציקלואידה.

זמן מעבר לגלגול טהור

כאשר דסקה זו מתחילה בגלגול עם החלקה, כלומר שיש לדיסקה מהירות בנקודת המגע בין המשטחים, ישנו איבוד אנרגיה בעקבות החיכוך. איבוד האנרגיה יגרום לאיבוד מהירות, עד שהדיסקה תתקבע על מצב של גלגול טהור. במקרה כזה, הזמן שיקח לה לעבור מגלגול עם החלקה לגלגול טהור הוא: ${\displaystyle t={\frac {Iv_{0}}{g\mu (mR^{2}+I)}}}$  כאשר ${\displaystyle I}$  מייצג את מומנט ההתמד של הדיסקה, כלומר את התנגדות הדסקה לסיבוב, R את רדיוסה, ${\displaystyle v_{0}}$  את מהירותה ההתחלתית ו ${\displaystyle \mu }$ את מקדם החיכוך של הקרקע עם הדסקית.

הוכחה:
מהירות מרכז המסה של הדסקה כתוצאה מהחיכוך לפי החוק השני של ניוטון היא: ${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {f}}_{k}=m{\vec {a}}(t)}$ 

נבצע אינטגרציה על שני האגפים ${\displaystyle v(t)=v_{0}-{\frac {f_{k}}{m}}t=v_{0}-g\mu t}$ .

מהירותה הסיבובית של הדיסקה נוצרת כתוצאה ממומנט כח החיכוך, לכן נחשב את המומנט: ${\displaystyle \tau =f_{k}\times R=mg\mu \times R=mg\mu R=I\alpha }$ 

מביצוע אינטגרציה מקבלים: ${\displaystyle \omega (t)={\frac {mg\mu R}{I}}t}$ .

המהירות של נקודת המגע בין הדסקה לרצפה מורכבת מחיבור הווקטורים של מהירות מרכז המסה והמהירות הסיבובית, והגדרת גלגול טהור הוא שאין איבוד אנרגיה מהחיכוך ולכן כדי שלא ייווצר חיכוך על נקודת המגע להיות נחה כלומר נדרש שהמהירות היחסית בין נקודת המגע למשטח תהיה שווה לאפס. תנאי זה מתקיים כאשר חיבור הווקטורים הוא אפס. ${\displaystyle {\vec {\omega }}(t)\times {\vec {R}}+{\vec {v}}(t)=0}$  או ${\displaystyle \omega (t)R=v(t)}$ . נציב את הנתונים בתנאי ונבודד את הזמן:

${\displaystyle {\frac {mg\mu R^{2}}{I}}t=v_{0}-g\mu t}$ 

${\displaystyle t{\Bigl (}{\frac {mg\mu R^{2}}{I}}+g\mu {\Bigl )}=v_{0}}$ 

${\displaystyle t={\frac {v_{0}}{{\Bigl (}{\frac {mg\mu R^{2}}{I}}+g\mu {\Bigl )}}}={\frac {Iv_{0}}{g\mu (mR^{2}+I)}}}$ 

תנועת דסקה סביב ציר רגעי נח

תכונה נוספת היא שדסקה המתגלגלת גלגול טהור מבצעת תנועה המקבילה לתנועה סיבובית סביב ציר המגע הרגעי בעודו נח, באותה המהירות הסיבובית בה היא מסתובבת סביב מרכז המסה שלה.

הוכחה

נוכיח תחילה שהמהירות הסיבובית של כל נקודה על הדיסקה ביחס לציר הנח היא אכן ${\displaystyle \omega _{0}}$ , לאחר מכן נוכיח כי האנרגיה הקינטית של הדיסקה ביחס לציר הנח אכן שומרת על האנרגיה הקינטית המקורית.

נניח שהגלגל נע ברגע מסוים במהירות ${\displaystyle \omega _{0};v_{0}}$ ושמהירותו סביב הציר הרגעי הנח היא ${\displaystyle \omega _{A}}$ .

נבחן את הנקודה העליונה בדיסקה ללא הגבלת הכלליות. לפי הגדרת המהירות הזוויתית מהירותה הרגעית של כל נקודה בדסקה נתונה במשוואה: ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}}$ כאשר ${\displaystyle {\vec {r}}}$  הוא המרחק בין הנקודה לנקודת המגע ו- ${\displaystyle \mathbf {\vec {\omega }} }$  הוא וקטור המהירות הזוויתית של הגוף.

לכן הנקודה העליונה של הדיסקה מקיימת את המשוואה: ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{A}\times 2{\vec {R}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {\omega }}_{0}\times {\vec {R}}}$ 

כיוון שהתנאי לגלגול טהור במקרה זה, כפי שהוכח לעיל, הוא ${\displaystyle \omega (t)\times R=v(t)}$  מכאן ש:

${\displaystyle 2R\omega _{A}=v_{0}+\omega _{0}R=2v_{0}}$ 

${\displaystyle \omega _{A}={\frac {2v_{0}}{2R}}={\frac {v_{0}}{R}}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;\omega _{0}}$ 

הוכחת שוויון האנרגיות הקינטיות

מההוכחה לעיל נובע: ${\displaystyle K_{A}={\frac {I_{A}}{2}}\omega _{A}^{2}={\frac {I_{A}}{2}}\omega _{0}^{2}}$ 

נשתמש במשפט הצירים המקבילים של שטיינר:

${\displaystyle K_{A}={\frac {I_{A}}{2}}\omega _{0}^{2}={\frac {I_{0}+mR^{2}}{2}}\omega _{0}^{2}={\frac {I_{0}}{2}}\omega _{0}^{2}+{\frac {m}{2}}(\omega _{0}R)^{2}}$ 

${\displaystyle K_{A}={\frac {I_{0}}{2}}\omega _{0}^{2}+{\frac {m}{2}}v_{0}^{2}=K_{0}}$ 

 

תנועת גלגול של דיסקה על פני דיסקה אחרת. ייתכנו שני מקרים:

1. דיסקה אחת נייחת והדיסקה השנייה מתגלגלת על פניה. זהו מצב אקוויוולנטי לגלגול של דיסקה על פני משטח ישר, פרט לעובדה שבמקרה זה המשטח הוא מעגלי.
2. צירי הסיבוב של שתי הדיסקיות נייחים, ושתי הדיסקיות מסתובבות. במקרה זה, המהירות הרגעית בנקודת המגע אינה שווה לאפס, המהירות בשתי נקודות המרוחקות ביותר מנקודת המגע שווה למהירות בנקודת המגע, והפוכה לה בכיוונה.

תנועת גלגול של חרוט על פני חרוט אחר. במקרה זה אחד החרוטים חייב להיות קמור בעוד האחר יכול להיות קעור, קמור, או משטח ישר (זהו בעצם מקרה פרטי של חרוט שזווית הראש שלו שווה ל- ${\displaystyle \ \pi }$ ). ייחודה של תנועת הגלגול של חרוט היא, שמרכז המסה שלו מבצע תנועה מעגלית בניגוד לדיסקה, או גליל, שמרכז המסה שלהם נע בקו ישר. ייחוד נוסף הוא שקיימת נקודה על פני החרוט, (הקדקוד שלו), הנמצאת במנוחה במהלך התנועה כולה.

גלגול של גופים חסרי סימטריה צירית. תנועת גלגול אינה מותנית בכך ששני הגופים, או אפילו אחד מהם, יהיו בעל סימטריה צירית. שתי דוגמאות ידועות הן משולש רולו (Reuleaux triangle) וגופי מייסנר (Meissner bodies). הספריקון (Sphericon) והאולואיד (Oloid) הם חברים בקבוצה מיוחדת של גופים מתגלגלים, שבמהלך תנועתם פורסים את כל שטח הפנים שלהם, כך שבמהלך כל מחזור גלגול, כל נקודה על פני השטח שלהם נוגעת במשטח עליו הם מתגלגלים.

כיון שבאזור המגע של שני גופים המתגלגלים זה על גבי לזה, כמעט ולא מתקיימת תנועה יחסית, כוח החיכוך הקינטי המתנגד לתנועה הוא מזערי. ניתן לנצל זאת בהתקנים בהם נדרשת תנועה יחסית בין רכיבים הנמצאים במגע זה עם זה.

גלגל - מוצר העתיק ביותר, והנפוץ ביותר, המנצל את היתרונות המכניים הגלומים בתנועת גלגול. כיוון שכוח החיכוך הנוצר בתנועה זו נמוך במאות אחוזים מכוח החיכוך הנוצר בתנועת החלקה, מאפשר השימוש בגלגל לשנע מטענים ממקום למקום תוך השקעה של אנרגיה מינימלית.

מסב גלילה - הוא חלק במכונה שמטרתו, בין היתר, למזער את כוח החיכוך בין שני אלמנטים של המכונה הנעים האחד ביחס לשני. המסב בנוי, בדרך כלל, משתי טבעות קונצנטריות, שביניהן נמצאים גופי גלילה בעלי סימטריה צירית, כגון כדורים, גלילים, חרוטים וכו'. כל אחת מהטבעות מחוברת לאלמנט אחר של המכונה, ובשעה שאחד האלמנטים, או שניהם, נמצאים בתנועה, מתחילים גופי הגלילה להתגלגל על פני שתי הטבעות בו זמנית, ומאפשרים הפחתה של ממש בכוח החיכוך.

גלגל שיניים - הוא חלק במכונה שמטרתו לאפשר העברת מומנט בין שני צירים, או יותר, במכונה. בהיקפם של גלגלי השיניים נמצאות בליטות (השיניים), המתוכננות באופן כזה שכאשר שני גלגלי שיניים משולבים ונעים בתנועה סיבובית האחד ביחס לשני, הבליטות של גלגל אחד נעות בתנועת גלגול מושלמת על פני הבליטות של הגלגל השני.

גלגלת - היא מתקן שמטרתו לאפשר שינוי בכוונו של כבל משיכה, באופן שממזער את התנגדות כוח החיכוך. בהיבט של תנועת הגלגול זהו מקרה מיוחד בו אחד העצמים במערכת (הכבל) הוא גמיש, ולכן מתקיים מצב בו בין שני גופי המערכת (הגלגל והכבל) קיים מגע לאורך קו, ולא מגע נקודתי בלבד. מצב דומה ניתן למצוא גם בכלי רכב זחלי ובמסוע.

• Halliday, David; Resnick, Robert (2013), Fundamentals of Physics, Chapters 10, 11: Wiley