אלגברת קליפורד

מקרה פרטי שלה הוא אלגברה חיצונית (Exterior algebra), המתקבל בבחירת תבנית האפס.

כאשר הממד זוגי, אלגברת קליפורד היא אלגברה פשוטה מרכזית. אלגברת קליפורד היא האינווריאנט השני של חוג ויט, והבניה שלה מגדירה הומומורפיזם אל חבורת בראואר.

היא נקראת על שמו של ויליאם קינגדן קליפורד, מתמטיקאי אנגלי שעסק בעיקר בגאומטריה.

יהי ${\displaystyle V}$  מרחב וקטורי מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$  ממאפיין שאינו 2 (מעתה ואילך). אלגברת הטנזורים (Tensor algebra) מעל ${\displaystyle V}$  היא האלגברה החופשית ${\displaystyle T(V)=\mathbb {F} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus ...}$ , עם פעולת המכפלה הטנזורית ${\displaystyle \otimes }$  (ביחס לשדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ).

אלגברת קליפורד של מרחב וקטורי ${\displaystyle V}$  ותבנית ריבועית ${\displaystyle q}$  היא ${\displaystyle C(V,q)={T(V)}/{}}$ , כלומר האלגברה החופשית ביותר בה הפעלת התבנית על כל איבר והעלאתו בריבוע מזוהים כאותו איבר.

• אם ${\displaystyle \{v_{1},...,v_{n}\}}$  בסיס ל-${\displaystyle V}$ , לאלגברת קליפורד הבסיס - ${\displaystyle \{1,v_{1},...,v_{n},v_{1}v_{2},...,v_{n-1}v_{n},....,v_{1}...v_{n}\}}$ . בפרט, הממד הוא ${\displaystyle 2^{n}}$ .

• לאלגברת קליפורד הצגה - ${\displaystyle C(V,q)=\mathbb {F} [v_{1},...,v_{n}|v_{i}v_{j}=-v_{j}v_{i},v_{i}^{2}=q(v)]}$ .

עבור תת-קבוצה ${\displaystyle I=\{i_{1},...,i_{n}\}\subseteq \{1,..,n\}}$ , אם נסמן ${\displaystyle v_{I}=v_{i_{1}}...v_{i_{n}}}$ , אז ${\displaystyle C(V,q)=\sum _{I}{\mathbb {F} v_{I}}}$ , כאשר הסכום הוא על תת-קבוצות בסדר עולות.

• שני איברים ${\displaystyle v_{I},v_{J}}$  כנ"ל מקיימים ${\displaystyle v_{I}v_{J}=(-1)^{|I||J|-|I\cup J|}{v_{J}v_{I}}}$ .

• אלגברת קליפורד היא אלגברה פשוטה אם n זוגי (ופשוטה כאלגברה עם אינוולוציה - תמיד).

• המרכז של אלגברת קליפורד בממד זוגי הוא ${\displaystyle \mathbb {F} }$ , ו-${\displaystyle \mathbb {F} [v_{1}...v_{n}]}$  בממד אי זוגי. בפרט, אלגברת קליפורד מממד זוגי מהווה אלגברה פשוטה מרכזית מעל השדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$ .

• אלגברת קליפורד היא אלגברה עם אינוולוציה ${\displaystyle *}$  המוגדרת על הבסיס - ${\displaystyle v_{i}^{*}=-v_{i}}$ .

• עבור מרחב וקטורי חד־ממדי ${\displaystyle V}$  ותבנית ריבועית ${\displaystyle q(x)=ax^{2}}$ , אלגברת קליפורד היא ${\displaystyle C(\mathbb {F} v,\langle a\rangle )=\mathbb {F} [x\mid x^{2}=a]=\mathbb {F} [{\sqrt {a}}]}$ .

• אם ${\displaystyle V}$  מרחב וקטורי דו-ממדי, ו-${\displaystyle q=\langle a,b\rangle }$  הצורה האלכסונית, אז ${\displaystyle C(v,q)\cong (a,b)_{2}}$  - אלגברת קווטרניונים מעל ${\displaystyle \mathbb {F} }$ .

• כל אלגברת קליפורד מממד זוגי ${\displaystyle n}$  היא מכפלה טנזורית של ${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$  אלגברות קווטרניונים. מפורשות, אם ${\displaystyle q=\langle a_{1},...,a_{n}\rangle }$  אז ${\displaystyle C(V,q)={\overset {n/2}{\underset {i=1}{\bigotimes }}}{((-1)^{i-1}}{a}_{1}...a_{2i-2}a_{2i-1},{((-1)^{i-1}}{a}_{1}...a_{2i-2}a_{2i})_{2}}$ 

• אם ${\displaystyle q,q'}$  תבניות ריבועיות מסדר זוגי, אז ${\displaystyle C(V,q\oplus q')\cong C(V,q)\otimes C(V,\langle \operatorname {disc} (q)\rangle \otimes q')}$ , כאשר ${\displaystyle \operatorname {disc} }$  היא הדיסקרימיננטה.

אלגברת קליפורד קשורה אלגברה חיצונית (Exterior algebra).

ראשית, אלגברה חיצונית ${\displaystyle \Lambda (V)}$  היא מקרה פרטי של אלגברת קליפורד, כאשר בוחרים את התבניות הריבועית האפסה - ${\displaystyle q\equiv 0}$ . אז מקבלים ${\displaystyle \forall v\in V:v^{2}=0}$ , וזו בדיוק התכונה (היחידה) שמתקיימת באלגברה חיצונית.

כאשר ${\displaystyle q\neq 0}$ , יש איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים בין האלגברה החיצונית לאלגברת קליפורד, שאינו משמר את פעולת הכפל (פעולת הכפל ב-${\displaystyle C(V,q)}$  עשירה יותר).

אלגברת קליפורד מהווה קוונטיזציה של האלגברה החיצונית ביחס לתבנית הריבועית.

לפי בנייתה, לאלגברת קליפורד תכונה אוניברסלית, כלומר היא האלגברה הכללית ביותר המקיימת ${\displaystyle v^{2}=q(v)}$ .

בניסוח מדויק, בהינתן אלגברה ${\displaystyle A}$  בה מתקיים ${\displaystyle \forall v\in V:q(v)=v^{2}}$  (כאשר ${\displaystyle V}$  משוכן ב-A על ידי הומומורפיזם ${\displaystyle j}$ ), אז קיים הומומורפיזם אחד ויחיד ${\displaystyle f:C(v,q)\rightarrow A}$ , כך שהדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:

 

(כאשר ${\displaystyle i}$  הוא השיכון ${\displaystyle V\hookrightarrow C(V,q)}$ ).

במילים, זוהי האלגברה הכללית ביותר בעלת התכונה ${\displaystyle v^{2}=q(v)}$  - כל אלגברה אחרת בעלת התכונה הזו היא תמונה של אלברת קליפורד.

אלגברת קליפורד היא אלגברה ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ -מדורגת.

נביט במיפוי ${\displaystyle v\rightarrow -v}$ . הוא משמר את ${\displaystyle q}$ , ולכן לפי התכונה האוניברסלית, הוא משרה מיפוי ${\displaystyle C(V,q)\rightarrow C(V,q)}$  המהווה אינוולוציה שריבועה הוא הזהות. לכן, אפשר לפרק לסכום ישר ${\displaystyle C(V,q)=C_{0}(V,q)\oplus C_{1}(V,q)}$ , כאשר ${\displaystyle C_{0}(V,q)}$  הוא קבוצת האיברים שנשארים במקום תחת ההומורפיזם, הנקרא לעיתים גם החלק הזוגי. מתקיים ${\displaystyle C_{i}(V,q)C_{j}(V,q)\subseteq C_{i+j}(V,q){\pmod {2}}}$ , ולכן זהו דירוג של האלגברה.

ניתן להוכיח כי ${\displaystyle C_{0}(V,q)}$  בעצמה איזומורפית לאלגברת קליפורד. במקרה ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$  שדה המספרים המרוכבים, ניתן להראות מפורשות כי יש תבניות ריבועיות ${\displaystyle q,q'}$  כך ש-${\displaystyle C_{0}(V_{n},q)\cong C(V_{n-1},q')}$ , כאשר ${\displaystyle V_{i}}$  מרחב וקטורי מממד ${\displaystyle i}$ .

אלגברת קליפורד מהווה אינווריאנט של חוג ויט לחבורת בראואר.

ביתר פירוט, לפי הדוגמה האחרונה לעיל, המיפוי ${\displaystyle [q]\rightarrow [C(V,q)]}$  של המחלקה של ${\displaystyle q}$  ב-${\displaystyle I^{2}(\mathbb {F} )}$  (האידיאל של חוג ויט הנוצר מתבניות מסדר 4, או בשקילות מתבניות פיסטר מסדר 2), לחבורת בראואר מוגדר היטב ומהווה הומומורפיזם חוגים, זאת משום שבנוסחא בדוגמה 4 לעיל הדיסקרימיננטה אדישה לתבניות מ-${\displaystyle I^{2}(\mathbb {F} )}$ .

לפי משפט, מההומומורפיזם הנ"ל נובע איזומורפיזם ${\displaystyle I^{2}(\mathbb {F} )/I^{3}(\mathbb {F} )\cong {_{2}{Br(\mathbb {F} )}}}$ , לתת החבורה של חבורת בראואר מפיתול 2.

טענה זו היא בסיסית וחשובה בחקר המנות של שרשרת האידיאלים בחוג ויט - ${\displaystyle W({F})\supseteq I(F)\supseteq {I}^{2}(F)\supseteq ...}$ . בנושא זה ראו גם תורת K של חוגים.

• תבנית ריבועית
• אלגברה פשוטה מרכזית
• אלגברה חיצונית
• חבורת בראואר
• חוג ויט

• עוזי וישנה, מבוא לתבניות ריבועיות, 2014.

  מדיה וקבצים בנושא אלגברת קליפורד בוויקישיתוף

• אלגברת קליפורד, באתר MathWorld (באנגלית)