Función Eta De Dirichlet

${\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}$

onde ζ é a función zeta de Riemann. Tamén pode ser usada para definir a función zeta. Ten unha expresión en serie de Dirichlet, válida para todo número complexo s con parte real positiva, dado por

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}.}$

Aínda que esta é converxente só para s con parte real positiva, é sumable Abel para todo número complexo, o que permite definir a función eta como unha función completa, e mostra que a función zeta de Riemann é meromórfica cun polo simple en s = 1.

En forma equivalente, pódese definir

${\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\exp(x)+1}}{\frac {dx}{x}}}$

na rexión de parte real positiva. Isto dá por resultado a función eta como unha transformada de Mellin.

Hardy deu unha demostración simple da ecuación funcional para a función eta, que é

${\displaystyle \eta (-s)=2\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).}$

A partir disto, pódese obter tamén en forma directa a ecuación funcional da función eta, como así mesmo atopar outro modo de estender a definición de eta a todo o campo dos números complexos.

Peter Borwein utilizou aproximacións baseadas nos polinomios de Chebyshov para desenvolver un método para avaliar en forma eficiente a función eta. Se

${\displaystyle d_{k}=n\sum _{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}}$ 

entón

${\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s),}$ 

onde o termo erro γ_n atópase acoutado por

${\displaystyle \gamma _{n}(s)\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|t|)\exp(|t|\pi /2)}$ 

onde ${\displaystyle t=\Im (s)}$ .

Véxase tamén constante zeta

• η(0) = ¹⁄₂, a suma de Abel da serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
• η(−1) = ¹⁄₄, a suma de Abel de 1 - 2 + 3 - 4 + . . ..
• Para k enteiro > 1, se B_k é o k-esimo número de Bernoulli entón
  ${\displaystyle \eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}.}$ 

Tamén:

${\displaystyle \!\ \eta (1)=\ln 2}$ , esta é serie harmónica alternada
${\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}$ 
${\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}}$ 
${\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}}$ 
${\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}}$ 
${\displaystyle \eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}}$ 
${\displaystyle \eta (12)={{61499\pi ^{12}} \over {15\times 3790360487}}}$ 

A forma xeral para enteiros positivos pares é:

${\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}(2\pi )^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {2^{2n}(2n!)}}=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {(2n)!}}}$ 

• Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.
• Xavier Gourdon e Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, Numbers, constants and computation (2003)
• Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/
• Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 0-486-66165-2.