Évariste Galois: Matemático francés

Mentres aínda era un adolescente, foi capaz de determinar a condición necesaria e suficiente para que un polinomio sexa resolto por radicais, dando unha solución a un problema que permanecera sen resolver. O seu traballo ofreceu as bases fundamentais para a teoría que leva o seu nome, unha rama principal da álxebra abstracta. Foi o primeiro en utilizar o termo "grupo" nun contexto matemático. A teoría constitúe unha das bases matemáticas da modulación CDMA utilizada en comunicacións e, especialmente, nos sistemas de navegación por satélite, como GPS, GLONASS etc.

Évariste Galois

Biografía
Nacemento	25 de outubro de 1811 Bourg-la-Reine, Francia
Morte	31 de maio de 1832 (20 anos) París, Francia
Causa da morte	Homicidio e duelo  (Ferida por arma de fogo )
Datos persoais
País de nacionalidade	Francia
Ideoloxía política	Republicanismo
Educación	École Normale Supérieure Liceo Louis-le-Grand
Actividade
Campo de traballo	Teoría de Galois
Lugar de traballo	París
Ocupación	matemático
Empregador	École Normale Supérieure
Membro de	Sociedade de Amigos do Pobo (1830–1832)
Influencias	Adrien-Marie Legendre
Lingua	Lingua francesa
Obra
Obras destacables teoría de Galois
Familia
Cónxuxe	sen valor
Pai	Nicolas-Gabriel Galois
Premios (1827)  concours général
Sinatura

 

Évariste Galois naceu en Bourg-la-Reine, concello nos arredores de París. O seu pai foi Nicolas-Gabriel Galois, director da escola local que chegou a ser elixido alcalde polo Partido Liberal, partidario de Napoleón. A súa nai, Adelaide-Marie Demante, era unha persoa de indubidables calidades intelectuais filla dunha familia de avogados moi influentes de París.

Ata os doce anos foi educado pola súa nai xunto coa súa irmá máis vella Nathalie-Théodore, conseguindo unha sólida formación en latín e grego, así como nos clásicos. Era un rapaz moi intelixente, mais non é probable que durante a súa educación máis temperá tivese unha fonda exposición ás matemáticas alén da aritmética elemental.

A súa educación académica comezou aos 12 anos cando ingresou no liceo real Louis-le-Grand, de París, onde estudaran Robespierre e Victor Hugo. Alí tivo os primeiros contactos políticos (un enfrontamento co director do internado) que acabaron coa expulsión de varios alumnos, entre os que non estaba el, mais que forxaron unha incipiente rebeldía ante a autoridade, especialmente un ideario antieclesiástico e antimonárquico que mantivo ata a súa morte. Durante os dous primeiros anos no liceo tivo un rendemento normal e mesmo chegou a gañar algúns premios en grego e latín. Porén, no terceiro curso o seu traballo de retórica foi reprobado e tivo que repetir. Foi entón, aos 15 anos, cando entrou en contacto coas matemáticas. Despois tivo tamén interese na xeografía.

O programa de matemáticas do liceo era semellante aos outros programas, mais Galois atopou nel o pracer intelectual que lle faltaba. O curso impartido por M. Vernier, espertou o xenio matemático de Galois. Tras asimilar sen esforzo o texto oficial da escola e os manuais ao uso, Galois comezou cos textos máis avanzados do momento: estudou a xeometría de Legendre e a álxebra de Lagrange. Galois afondou considerablemente no estudo da álxebra, unha materia que aínda tiña moitas cuestións escuras. Así chegou a coñecer a cantidade de problemas sen resolver que encerraba esa disciplina, e que pasaron a ocupar a maior parte do seu tempo de estudo. Comezou a descoidar as outras materias, atraendo a hostilidade dos profesores de humanidades e o propio Vernier suxeriulle a necesidade de traballar máis noutras disciplinas.

Con todo, Galois tiña unha idea clara: quería ser matemático e entrar na École polytechnique. Así decidiu presentarse cun ano de antelación (1828) ao exame de acceso. Ao carecer da formación fundamental en diversos aspectos e non recibir o curso habitual preparatorio de matemáticas, foi rexeitado. Galois no aceptou este rexeitamento inicial e aumentou a súa rebeldía e a súa oposición á autoridade. Non obstante, continuou progresando rapidamente no estudo das matemáticas durante o segundo curso impartido no liceo Louis-le-Grand, neste caso por M. Richard, quen soubo ver as calidades do mozo e solicitou que fose admitido na École polytechnique. Aínda que a solicitude de Richard non foi atendida, a dedicación e o pulo que Galois recibiu do seu profesor tivo uns resultados notables.

Sendo estudante do liceo, logrou publicar o seu primeiro traballo (unha demostración dun teorema sobre fraccións continuas periódicas) e pouco despois deu coa clave para resolver un problema que estudaban os matemáticos dende había máis dun século (as condicións de resolución de ecuacións polinómicas por radicais). Porén, os seus avances máis notables foron os relacionados co desenvolvemento dunha nova teoría con aplicacións que desbordaban con moito os límites das ecuacións alxébricas: a teoría de grupos.

Non obstante, poucos días antes de presentarse ao segundo e definitivo exame de acceso á École polytechnique, o pai de Évariste quitouse a vida. Galois presentouse e coas súas habituais maneiras rebeldes e o seu desprezo pola autoridade, negouse a seguir as indicacións dos examinadores e rexeitou xustificar os seus enunciados, polo que foi rexeitado definitivamente.

Véndose obrigado considerar a entón menos prestixiosa École normale, Galois presentouse aos exames de bacharelato (necesario para ser admitido) e esta vez foi aprobado grazas á súa excepcional cualificación en matemáticas. Foi admitido na École normale máis ou menos ao mesmo tempo que os seus revolucionarios traballos sobre teoría de grupos eran avaliados pola Academia de Ciencias. Con todo, os seus artigos nunca chegaron a ser publicados en vida. Inicialmente envioullos a Cauchy, quen os rexeitou porque o seu traballo tiña puntos en común cun recente artigo publicado por Abel. Galois revisouno e volveullo remitir e nesta ocasión, Cauchy enviouno á academia para a súa consideración; pero Fourier, o secretario vitalicio da mesma e o encargado da súa publicación, finou pouco despois de recibilo e a memoria foi perdida. O premio foi outorgado ex æquo a Abel e a Jacobi, e Évariste acusou a academia dunha farsa para desacreditalo.

A pesar da perda da memoria enviada a Fourier, Galois publicou tres artigos aquel mesmo ano no Bulletin des sciences mathématiques, astronomiques, physiques et chimiques do Barón de Férussac. Estes traballos presentan os fundamentos da súa teoría e, aínda que se trataba dun traballo inconcluso, proban que chegara máis lonxe que ningún outro matemático no campo da álxebra relacionado coa resolución de ecuacións polinómicas.

Para entón, a vida de Galois comezaba a estar moi influída pola política. En xullo de 1830 os republicanos levantáronse e obrigaron a exiliarse ao rei Carlos X. Non obstante, o triunfo dos republicanos, entre os que se atopaba Galois, foi esmagado pola chegada ao trono dun novo rei: Lois Filipe de Orleáns. Galois participou activamente nas manifestacións e sociedades republicanas, motivo polo que foi expulsado da École normale. Na primavera de 1831, foi detido e encarcerado durante máis dun mes acusado de sedición, tras un desafiante brinde en nome do rei. Volveu ser arrestado por levar un uniforme ilegalmente en xullo e esta segunda vez pasou seis meses en prisión.

Durante 1831 Galois por fin redondeara as cuestións pendentes no seu traballo e sometérao á consideración de Poisson, quen lle recomendou que o presentase de novo á Academia. Máis tarde, aquel mesmo ano, o propio Poisson recomendou á Academia que rexeitase o seu traballo coa indicación de que «as súas argumentacións non estaban nin o suficientemente claras nin o suficientemente desenvolvidas para permitirlles xulgar o seu rigor». O propio Poisson, a pesar do seu enorme prestixio matemático e dos seus esforzos, non chegou a comprender os resultados que presentaba aquela memoria. Galois recibiu a carta de rexeitamento en prisión. O 29 de abril de 1832, foi liberado da súa prisión.

O duelo

 

Os detalles que conduciron ao seu duelo (suponse que a causa dunha muller) non están claros. Galois estaba tan convencido da inminencia da súa morte que pasou toda a noite anterior escribindo unha carta a "todos os republicanos", cartas a Napoléon Lebon e a Vincent Delaunay e resumiu o estado dos seus descubrimentos nunca carta a Auguste Chevalier. Esta última considérase o seu testamento matemático, no que describiu por riba as implicacións do traballo que desenvolvera en detalle e anotou unha copia do manuscrito que remitira á Academia xunto con outros artigos.

O 30 de maio de 1832, a primeira hora da mañá, perdeu un duelo de espadas contra o campión de esgrima do exército francés, falecendo ao día seguinte ás dez da mañá, probablemente de peritonite, no hospital Cochin, despois de rexeitar os servizos dun sacerdote. Só o irmán máis novo de Galois, Alfred, soubo as circunstancias previas á súa morte. As súas últimas palabras ao seu irmán foron:

"Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans !"
Non chores! Necesito todo o meu coraxe para morrer aos vinte anos!

O 2 de xuño, Évariste Galois foi enterrado nunha fosa común do cemiterio de Montparnasse da que non se coñece a localización exacta.

As contribucións matemáticas de Galois foron publicadas finalmente en 1843 cando Joseph Liouville revisou os seus manuscritos. Este declarou que aquel mozo, en verdade, resolvera o problema de Abel por outros medios que supuñan unha verdadeira revolución na teoría das matemáticas empregadas. O manuscrito foi publicado no número de outubro de 1846 do Journal des mathématiques pures et appliquées.

 

Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.
Pregunta a Jacobi ou a Gauss publicamente para que dean a súa opinión, non sobre a verdade, senón sobre a importancia destes teoremas.

Máis tarde haberá, espero, algunha xente que atoparán a súa vantaxe para descifrar toda esta lea.

Liñas finais da carta de Galois ao seu amigo Auguste Chevalier, 29 de maio de 1832

Entre as aproximadamente 60 páxinas das obras de Galois están moitas importantes ideas que tiveron grandes consecuencias en case todas as ramas das matemáticas. A súa obra foi comparada coa de Niels Henrik Abel, outro matemático que tamén faleceu novo e cun traballo que o sobreviviu de xeito significativo.

Álxebra

Mentres moitos matemáticos anteriores a Galois daban consideración ao que hoxe se coñece como grupo, foi Galois o primeiro en usar a palabra group (en francés groupe) nun sentido próximo ao actual, converténdoo nun dos fundadores da rama da álxebra chamada teoría de grupos. Desenvolveu o concepto coñecido como subgrupo normal: considerou que a descomposición dun grupo nas súas clases laterais esquerda e dereita era unha descomposición propia se as clases esquerda e dereita coinciden, que é o que se chama hoxe subgrupo normal. Introduciu ademais o concepto de corpo finito na forma na que se entende actualmente.

Na súa última carta a Chevalier fixo estudos básicos de grupos lineares sobre corpos finitos:

• Construíu o grupo xeral linear sobre un corpo primo, GL(ν, p) e calculou a súa orde, estudando o grupo de Galois da ecuación xeral de grao p^ν.
• Construíu o grupo linear PSL(2,p). Construíunos como transformacións lineares fraccionarias e observou que eran simples, agás se p é 2 ou 3. Estas eran a segunda familia dos grupos simples, despois dos grupos alternados.
• Denotou o feito excepcional de que PSL(2,p) é simple e actúa en p puntos se e só se p é 5, 7 ou 11.

Teoría de Galois

A contribución máis significativa de Galois ás matemáticas foi o desenvolvemento do que se coñece como teoría de Galois. Descubriu que a solución alxébrica dunha ecuación polinómica está relacionada coa estrutura dun grupo de permutacións asociado coas raíces do polinomio, o grupo de Galois do polinomio.

Análise

Galois tamén fixo contribucións á teoría das integrais abelianas e as fraccións continuas.

Fraccións continuas

No seu primeiro artigo de 1828, demostrou que a fracción continua regular que representa un radical cuadrático ζ é puramente periódica se e só se ζ é un radical reducido, é dicir, ${\displaystyle \zeta >1}$  e o seu conxugado ${\displaystyle \eta }$  satisfai ${\displaystyle -1<\eta <0}$ .

De feito, Galois demostrou máis ca iso. Probou que se ζ é un radical cuadrático reducido e η é o seu conxugado, entón as fraccións continuas para ζ e para (−1/η) son ambas puramente periódicas, e o bloque repetido nunha destas fraccións continuas é a imaxe especular do bloque repetido da outra. Simbolicamente tense

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}]\,\end{aligned}}}$ 

onde ζ é calquera radical reducido e η é o seu conxugado.

Destes dous teoremas de Galois pode deducirse un resultado xa coñecido por Lagrange. Se r > 1 é un número racional que non é un cadrado perfecto, entón

${\displaystyle {\sqrt {r}}=[a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}].\,}$ 

No cemiterio da súa localidade natal ergueuse un cenotafio á súa memoria xunto as tumbas dos seus familiares.

O cráter lunar Galois foi bautizado no seu nome.

Wiki Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Évariste Galois

Bibliografía

Ligazóns externas

• Histoire de Galois. (en francés)