Seata

Mar eisimpleir, tha na ceithir dathan: dearg, buidhe, uaine agus gorm, nam buill de sheata nan dathan uile. Ged tha bun-bheachd nan seataichean sìmplidh, ’s e fear de na smaoineasan bunaiteach ann am matamataig nar latha an-diugh. ’S e teòiridh nan seataichean sgoilearachd feartan nan seataichean, agus tha cuid mhath de mhatamataig stèidhichte air.

Mar a leanas tha geàrr-chunntas bunasach de na theirear teòiridh sìmplidh nan seataichean. Gheibh cus fiosrachadh air smaointean nas pongaile bho theòiridh aicseamach nan seataichean.

’S e cruinneachadh de nithean sam bith a th’ ann an seata. Tha na nithean seo nam buill no eileamaidean den seata. Is àbhaisteach seata a chomharrachadh le litir mhòr (me. A, B, C, msaa.). Tha dà sheata co-ionnan, sgrìobhte A = B, ma tha gach ball de A na bhall de B cuideachd.

Tha na buill de sheata matamataigeach uile eadar-dhealaichte. Chan fhaod ach aon bhall den t-seòrsa a bhith ann an seata. Anns an t-seagh seo tha diofar eadar seata matamataigeach agus cleachdadh an fhacail sa chainnt chumanta làitheil.

Chan eil òrdugh aig buill an t-seata. Mar eisimpleir, biodh A na sheata anns a bheil na ceithir àireamhan 2, 4, 6 agus 8. ’S urrainnear òrdugh na h-aibidil a chur riutha, no òrdugh àireamhail, no òrdugh sam bith eile ach chan eil òrdugh ann mar thà.

Glèidhidh obrachaidhean sheata na buadhan seo.

Thathar a’ toirt iomraidh air seataichean an iomadh dòigh. Mar eisimpleir, le faclan:

’S e A an seata anns nach eil ach a’ chiad cheithir àireamhan slàn dearbh.
’S e B an seata anns nach eil ach dathan bratach na Frainge.

Faodaidh nithean eugsamhail a bhith ann an seata agus ’s e an cleachdadh liosta dhiubh a dhèanamh eadar camagan bachlach. Mar eisimpleir:

C = { 4, 2, 1, 3 }
D = { dearg, geal, gorm }

Faodaidh dà iomradh a bhith air an aon seata. Mar eisimpleir, mar os cionn tha A agus C co-ionnan chionn 's gu bheil na buill de A nam buill de C cuideachd, agus tha gach ball de C na bhall de A. ’S ann an seo a tha seagh “co-ionnanachd” nan seataichean, agus seagh comharra “=” nuair a sgrìobh sinn A = C. Mar an ceudna, tha B = D.

Chan eil òrdugh aig na buill agus chan eil e gu diofar co dhiù a sgrìobhar:

C = { 4, 2, 1, 3 } = { 1, 2, 3, 4 } = { 1, 3, 2, 4 } = …

Chan ann ach aon de gach seòrsa ge b’ e air bith dè cho tric ’s a tha ball ainmichte anns an liosta. Ma tha:

E = { dearg, geal, gorm, geal, dearg, dearg, gorm }

Chan eil ach trì dathan ann, agus tha E = D = B.

Ma tha an liosta fada, agus pàtran nam ball follaiseach, ’s urrainnear beàrn ( ... ) a chur ann. Mar eisimpleir tha a’ chiad chaogad àireamh chothromach dhearbh:

{ 2, 4, 6, 8, ..., 100 }

Anns an dòigh cheudna, tha seata nan àireamhan nàdarra corra:

{ 1, 3, 5, 7, ... }

Uaireannan tha foirmle feumail. Mar eisimpleir, ma tha F na sheata den chiad fhichead àireamhan a tha ceithir nas lugha na slàn-àireamh cheàrnaichte, ’s urrainnear a sgrìobhadh:

F = { n² − 4 : n na shlàn-àireamh; 0 ≤ n ≤ 19 }

Thathar a’ leughadh a’ chòilein (:) “far a bheil”, agus an iomraidh gu lèir: “Tha F na sheata àireamh den riochd n² − 4, far a bheil n na shlàn-àireamh agus tha n san raon bho 0 gu 19”.

Thathar a’ comharrachadh ball no eileamaid seata le ∈, bho litir na Grèigis ε a’ riochdachadh “eileamaid de”. Mur eil rudeigin na bhall thathar a’ comharrachadh le ∉. Mar eisimpleirean:

dearg ∈ { dearg, geal, gorm }, ach uaine ∉ D
4 ∈ A
285 ∈ F (chionn 's gu bheil 172 – 4 = 285) ach 9 ∉ F

Ma tha seata a’ gabhail a-steach eileamaid, tha seo air a chomharrachadh le ∋, agus mur eil leis a’ chomharra ∌ (me. D ∋ dearg, D ∌ uaine). Tha na comharran seo air an leughadh “a tha gabhail a-steach” no “anns a bheil an eileamaid” agus “anns nach eil an eileamaid”.

Mur eil ball no eileamaid sam bith anns an t-seata, ’s e an seata bàn a th’ ann agus tha an comharra sònraichte ∅ air.

∅ = { }

Ma tha gach ball den t-seata A na bhall den t-seata B cuideachd, ’s e fo-sheata B a th’ anns an A. Tha seo air a sgrìobhadh A ⊆ B. Ma tha A ⊆ B agus B ⊆ A, ’s ann a tha A = B. Ma tha A na fho-sheata B agus tha eileamaidean anns a’ B nach eil anns an A, tha A na fho-sheata fìor de B. Tha seo air a sgrìobhadh A ⊂ B, no mar A ⊊ B airson a shoilleireachadh nach eil A agus B co-ionnan. Mar eisimpleir:

{ 1, 3 } ⊂ { 1, 2, 3, 4 }
{ 1, 3, 4, 2 } ⊆ { 1, 2, 3, 4 }

Tha gach seata na fho-sheata fhèin, A ⊆ A, agus tha an seata bàn na fho-sheata de gach seata, ∅ ⊆ A. Mur eil A na fho-sheata B, thèid a sgrìobhadh A ⊈ B, no A ⊄ B.

Ma tha A na fho-sheata B, ’s e for-sheata A a th’ anns a’ B. ’S urrainnear a’ sgrìobhadh B ⊇ A. Faodaidh na comharran eile air an cur air ais cuideachd (.i. ⊃ ⊅ ⊉ ⊋).

’S e aonadh nan seataichean A agus B seata nan eileamaidean uile a th’ anns an A no a th’ anns a’ B. Tha seo air a sgrìobhadh: A ⋃ B. Mar eisimpleir:

{ 1, 3, 5 } ⋃ { 2, 4, 6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Tha e soilleir gu bheil:

A ⋃ B = B ⋃ A
A ⋃ A = A
A ⊆ A ⋃ B
A ⋃ ∅ = A

’S e eadar-ghearradh nan seataichean A agus B seata nan eileamaidean uile a tha an dà chuid na bhall de A agus na bhall de B. Tha seo air a sgrìobhadh: A ⋂ B. Mar eisimpleir:

{ 1, 2, 3, 4, 5 } ⋂ { 2, 3, 7, 9 } = { 2, 3 }
{ 1, 3, 5, 7 } ⋂ { 2, 4, 6, 8 } = ∅

Ma tha A ⋂ B = ∅, tha na seataichean neo-thàthach. Tha e soilleir gu bheil:

A ⋂ B = B ⋂ A
A ⋂ A = A
A ⋂ B ⊆ A
A ⋂ ∅ = ∅

’S e co-phàirt an t-seata A seata nan eileamaidean uile nach eil anns an t-seata A. Tha seo air an sgrìobhadh A′. Thathar a’ togail às an seo gu bheil ciall air seata anns a bheil gach nì a th’ anns a’ chruinne-cè. Tha seo ainmichte seata na h-uileachd, U, agus tha e soilleir gu bheil:

A ⋃ A′ = U
A ⋂ A′ = ∅
(A′)′ = A
U = ∅′
U′ = ∅

Anns a’ chumantas, tha e nas feumaile bheachdachadh air seata leis na h-eileamaidean nach eil anns an t-seata A, can, ach gu bheil ann an seata eile B, can. ’S e co-phàirt dàimheach na h-A anns a’ B a tha seo, no an diofar eadar an seata B agus an seata A. Tha an diofar seo air a sgrìobhadh: B – A. Tha e soilleir gu bheil:

A – B = A ⋂ B ′
A – A = ∅

Tha grunnan seata a tha cudromach ann am matamataig agus tha ainmean sònraichte aca. Is iad seo:

ℙ seata nam prìomh-àireamhan. ’S e sin { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... }.
ℕ seata nan àireamhan nàdarrach. ’S e sin { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }.
ℤ seata nan slàn-àireamhan. ’S e sin { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }.
ℚ seata nan àireamhan coimeasta. ’S e sin { a/b : a, b ∈ ℤ; b ≠ 0 }.
ℝ seata nam fìor-àireamhan. ’S e sin aonadh ℚ agus seata nan àireamhan eucoimeasta (.i. na h-àireamhan nach thathar a’ sgrìobhadh mar bloighean, me. π, e, agus √2).
ℂ seata nan àireamhan co-fhillte. ’S e sin { a + b i : a, b ∈ ℝ }.

Tha ℙ ⊂ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

’S e àrdaileachd seata an àireamh de bhuill no eileamaidean a th' anns an t-seata. ’S e neoni àrdaileachd an t-seata bhàin agus neo-chrìochnachd àrdaileachd nan seataichean ℙ, ℕ, ℤ, ℚ, ℝ agus ℂ.