Plan Euclidien

${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\{(x,y)|x\in \mathbb {R} ~et~y\in \mathbb {R} \}}$. C'est la raison pour laquelle on dit par abus de langage LE plan euclidien.

 

Les applications ${\displaystyle +,.{\text{ et }}(.|.)}$ de ${\displaystyle {\Bigl (}\mathbb {R} ^{2},+,.,(.|.){\Bigr )}}$ sont définies par

${\displaystyle +:\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},((x,y),(x',y'))\mapsto (x+x',y+y')}$ ;

${\displaystyle .:\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},(\lambda ,(x,y))\mapsto (\lambda x,\lambda y)}$ ;

${\displaystyle (.|.):\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ;{\Bigl (}(x,y),(x',y'){\Bigr )}\mapsto xx'+yy'}$ .

Le produit scalaire permet de définir la structure topologique d'espace métrique du plan euclidien.

 

Ce plan est identifié au plan complexe; où l'on a défini en plus

${\displaystyle \times :\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},{\Bigl (}(x,y),(x',y'){\Bigr )}\mapsto (xx'-yy',xy'+yx')}$ .

Un repère orthonormé de ce plan est constitué d'un point origine et de deux vecteurs orthogonaux de norme 1. Il est utilisé par exemple pour la représentation graphique de courbes planes.

Le développement rapide de la géométrie analytique, notamment dès le 17è siècle grâce à Descartes et Pierre de Fermat, a peu à peu convaincu de la possibilité de substituer un espace affine par ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{4},...}$  Par ailleurs, le développement de la géométrie projective au 19è siècle a permis de comprendre la raison profonde de ces identifications^,.