Ne doit pas être confondu avec Groupe libre.
En mathématiques, un groupe abélien libre est un groupe abélien qui possède une base, c'est-à-dire une partie B telle que tout élément du groupe s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients entiers (relatifs) d'éléments de B.
Comme les espaces vectoriels, les groupes abéliens libres sont classifiés (à isomorphisme près) par leur rang, défini comme le cardinal d'une base, et tout sous-groupe d'un groupe abélien libre est lui-même abélien libre. Tout groupe abélien est donc isomorphe au quotient d'un groupe abélien libre par un sous-groupe abélien libre.
Contrairement aux espaces vectoriels, les groupes abéliens n'ont pas tous une base, c'est pourquoi l'on réserve à ceux qui en ont une le qualificatif supplémentaire de « libres ».
Ce qualificatif de « libre » peut prêter à confusion. L'expression « groupe abélien libre » est à prendre globalement, et ne signifie pas du tout « groupe qui est à la fois un groupe abélien et un groupe libre » . Les seuls groupes libres qui soient abéliens sont (à isomorphisme près) le groupe trivial déjà mentionné et le groupe cyclique infini ℤ.
Malgré sa simplicité, la propriété d'être abélien libre ou pas peut être difficile à déterminer, pour un groupe concret donné. Par exemple, Reinhold Baer a démontré en 1937 que le groupe de Baer-Specker (en) ℤℕ (produit direct d'une infinité dénombrable de copies de ℤ) n'est pas abélien libre, et Ernst Specker a prouvé en 1950 que tous ses sous-groupes dénombrables sont abéliens libres.
Tout groupe abélien libre de type fini est isomorphe à ℤn pour un certain entier naturel n, qu'on appelle son rang. En général, un groupe abélien libre F a de nombreuses bases, mais toutes ont le même cardinal, et c'est ce cardinal qu'on appelle le rang de F. Cette notion de rang d'un groupe abélien libre peut être étendue à la fois en celle de rang d'un groupe abélien (en) (ou plus généralement, d'un module) et celle de rang d'un groupe. Le lien entre les différentes bases peut être intéressant, par exemple dans l'étude des réseaux.
Le foncteur objet libre qui à tout ensemble B associe le groupe abélien libre de base B, noté ℤ[B], est l'adjoint à gauche du foncteur d'oubli, de la catégorie des groupes abéliens dans celle des ensembles.
Une somme formelle d'éléments de B est un élément de ℤ[B], i.e. un élément de la forme où C est une partie finie de B, avec la convention que si C est vide, la somme est nulle (ce qui rend cette description compatible avec le fait que le groupe abélien libre sur l'ensemble vide est réduit au neutre).
Théorème — Tout sous-groupe d'un groupe abélien libre F est abélien libre et de rang inférieur ou égal à celui de F.
Ce théorème est le cas particulier A = ℤ du théorème similaire concernant les modules libres sur un anneau principal A. Un analogue partiel, pour les groupes libres, est le théorème de Nielsen-Schreier.
This article uses material from the Wikipedia Français article Groupe abélien libre, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Le contenu est disponible sous licence CC BY-SA 4.0 sauf mention contraire. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Français (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.