Differentiaaliyhtälö: Matemaattinen yhtälö

Differentiaaliyhtälöillä on runsaasti käyttöä mitä erilaisimmissa käytännön sovelluksissa, erityisesti fysikaalisten ilmiöiden mallintamisessa, mutta sovelluskenttä jatkuu lääkeaineen poistumisesta jyrsijäkantojen vaihteluun.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen ei ole olemassa mitään yleispätevää menetelmää, vaan ratkaiseminen tapahtuu yleensä tunnistamalla yhtälö tietyn muotoiseksi ja käyttämällä tämän nimenomaisen yhtälötyypin ratkaisumenetelmää. Mikäli yhtälön analyyttinen ratkaiseminen ei ole mahdollista, on tyydyttävä numeeriseen ratkaisuun.

• Jos tuntematon funktio on yhden muuttujan funktio, esimerkiksi y(x), puhutaan tavallisesta differentiaaliyhtälöstä tai vain differentiaaliyhtälöstä. Esimerkkejä tavallisista differentiaaliyhtälöistä ovat

${\displaystyle \,\!y'=\sin x}$ 
${\displaystyle \,\!y''+3y=0}$ 

• Jos tuntematon funktio on usean muuttujan funktio, esimerkiksi v(x, y, z), kyseessä on osittaisdifferentiaaliyhtälö. Yhtälössä esiintyvät derivaatat ovat tällöin funktion v osittaisderivaattoja muuttujien (tässä x, y, z) suhteen. Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden käsittely eroaa jonkin verran tavallisista.
• Differentiaaliyhtälön kertaluku on sama kuin korkeimman siinä esiintyvän derivaatan kertaluku. Yllä olevista esimerkeistä ensimmäinen on ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, kun taas jälkimmäinen on toista kertalukua.
• Differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos funktiota tai sen derivaattoja ei ole korotettu potenssiin. Tämän vastakohtana differentiaaliyhtälö on epälineaarinen, jos siinä esiintyy toista tai korkeampaa potenssia. Molemmat yllä olevat esimerkit ovat lineaarisia, mutta yhtälö

${\displaystyle y''+3y^{2}=0\,}$ 

on epälineaarinen.

• Mikäli differentiaaliyhtälössä ei esiinny näkyvää eli eksplisiittistä riippuvuutta ${\displaystyle x}$ :stä yhtälö on autonominen. Yllä olevista esimerkeistä kaksi viimeistä yhtälöä on autonomisia mutta ensimmäinen ei, sillä ${\displaystyle \sin x\,}$  sisältää näkyvän riippuvuuden ${\displaystyle x}$ :stä.

Tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaoloa koskee Picardin–Lindelöfin lause, joka takaa ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden tiettyjen reunaehtojen vallitessa. Differentiaaliyhtälön ratkaisu on funktio ${\displaystyle y=y(x)}$ , joka alkuperäiseen yhtälöön sijoitettaessa toteuttaa sen. Ratkaisua ei kuitenkaan ole aina mahdollista kirjoittaa tällaiseen eksplisiittiseen muotoon vaan joskus saatetaan joutua tyytymään myös implisiittiseen ratkaisuun, joka on muotoa ${\displaystyle G(x,y)=0}$ .

Mitään yleistä keinoa differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi ei ole, ja analyyttisen ratkaisun löytyminen ylipäänsä on taattua ainoastaan lineaarisille differentiaaliyhtälöille. Myös eräille epälineaarisille yhtälöille tunnetaan analyyttinen ratkaisu, mutta sen löytyminen ei siis yleensä ole taattua. On olemassa suuri joukko erikseen nimettyjä differentiaaliyhtälöitä, joiden analyyttiseen ratkaisuun johtava menetelmä tunnetaan. Näitä tapauksia on lueteltu artikkelin lopussa. Differentiaaliyhtälöille on myös tyypillistä, että ratkaisumenetelmän tuottaman yleisen ratkaisun lisäksi on olemassa myös erikoisratkaisu, jota ei usein ole mahdollista löytää kuin päättelemällä tai huomaamalla.

Differentiaaliyhtälön ratkaisu ei yleisessä tapauksessa ole yksikäsitteinen, vaan ratkaisuun jää aina yhtälön kertaluvun osoittama määrä vakioita, joita ei ole mahdollista määrätä ilman lisätietoja kuvattavasta systeemistä. Kaikkien näiden ratkaisujen muodostamaa joukkoa kutsutaan yhtälön ratkaisuparveksi. Yksikäsitteisen ratkaisun löytämiseen tarvittavia lisätietoja ovat tyypillisesti alkuarvot (esimerkiksi tiedetään että ${\displaystyle y(0)=3}$ ), joita on kaikkien tuntemattomien vakioiden määräämiseksi tunnettava yhtälön kertaluvun osoittama määrä. Jos alkuarvot tunnetaan, yhtälön ratkaisussa puhutaan alkuarvotehtävästä.

Mikäli yhtälön ratkaisemiseen ei ole olemassa valmista ”kaavaa”, analyyttistä ratkaisua voidaan hakea olettamalla ratkaisulle jokin sarjakehitelmä (yleensä potenssisarja) ja sijoittamalla se tarvittavine derivaattoineen yhtälöön. Näin on mahdollista löytää sarjakehitelmän kertoimet. Mikäli yhtälön ratkaisu on alkuarvotehtävä, ratkaisussa voidaan yrittää käyttää integraalimuunnoksia. Useimmat yhtälöt on kuitenkin ratkaistava lopulta numeerisesti tietokoneella, koska analyyttistä ratkaisua ei ole olemassa.

Koska differentiaaliyhtälön ratkaiseminen yleensä edellyttää yhtälön tyypin tunnistamista, huomattavan monet differentiaaliyhtälöt, joiden ratkaisumenetelmä tunnetaan, on nimetty erikseen.

Ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä

• Separoituva differentiaaliyhtälö tarkoittaa yhtälöä, joka voidaan johtaa muotoon

${\displaystyle F(x)dx=G(y)dy\,.}$ 

Tätä johtamista kutsutaan yhtälön separoinniksi. Nyt yhtälön kumpikin puoli voidaan integroida tavallisesti, toinen muuttujan x ja toinen muuttujan y suhteen.

• Lineaarinen 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö on muotoa

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)\,}$ 

• Bernoullin yhtälö muistuttaa edellistä

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$ 

• Eksakti yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa

${\displaystyle F(x,y)dx+G(x,y)dy=0\,}$ ,

missä funktioilla ${\displaystyle F}$  ja ${\displaystyle G}$  on yhteys ${\displaystyle \partial F/\partial y=\partial G/\partial x}$ .

• Homogeeninen yhtälö on muotoa

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)}$ .

• Erittäin mielenkiintoinen on Riccatin yhtälö

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}}$ ,

jonka erikoistapauksina saadaan monet muut 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt.

Toisen kertaluvun yhtälöitä

• Lineaarinen 2. kertaluvun differentiaaliyhtälö voi olla homogeeninen

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+a{\frac {dy}{dx}}+by=0}$ 

tai epähomogeeninen

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+a{\frac {dy}{dx}}+by=R(x)}$ .

Tässä ${\displaystyle a}$  ja ${\displaystyle b}$  ovat reaalilukuja.

• Eulerin yhtälö eli Cauchyn yhtälö on muotoa

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=R(x)}$ 

• Besselin yhtälö on muotoa

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(a^{2}x^{2}-n^{2})y=0}$ .

Tämän yhtälön ratkaisut ovat Besselin funktioita.

• Muunnettu Besselin yhtälö muistuttaa edellistä

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(2p+1)x{\frac {dy}{dx}}+(a^{2}x^{2r}-b^{2})y=0}$ 

ja sen ratkaisut ovat modifioituja Besselin funktioita.

• Hyvin yleistä muotoa olevan hypergeometrisen yhtälön

${\displaystyle x(1-x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[c-(a+b+1)x]{\frac {dy}{dx}}-aby=0}$ 

ratkaisut ovat hypergeometrisia funktioita, joiden erikoistapauksina monet muut funktiot saadaan.

• Legendren yhtälön

${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+n(n-1)y=0}$ 

ratkaisut muodostavat erään ortogonaalisten polynomien joukon. Muita vastaavia yhtälöitä ovat

• Hermiten yhtälö

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+2ny=0}$ 

• Laguerren yhtälö

${\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(1-x){\frac {dy}{dx}}+ny=0}$ 

• Tšebyševin yhtälö

${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-x{\frac {dy}{dx}}+n^{2}y=0}$ 

• Aivan oman ja matemaattisesti hyvin mielenkiintoisen joukon toisen kertaluvun yhtälöitä muodostavat Painlevén yhtälöt.

• Sään ennustaminen
• Mallintaminen
• Differentiaali- ja integraalilaskenta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).
• Haukkanen, Pentti: Differentiaaliyhtälöt

 

Wiki Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Differentiaaliyhtälö.

• Riccatin yhtälö Pro gradu -tutkielma, Helsingin yliopisto