Impulsimoment

Impulsimomendi tähis on ${\displaystyle L}$ ja mõõtühik njuutonmeetersekund (n·m·s).

Punktmassi impulsimoment koordinaatide alguspunkti suhtes on

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} \,,}$ 

kus r on osakese kohavektor, v kiiruse vektor, m mass ja p = mv impulss. × tähistab vektorkorrutist. Impulsimoment fikseeritud punkti r₀ suhtes on

${\displaystyle \mathbf {L} =(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})\times \mathbf {p} \,.}$ 

Näiteks nurkkiirusega ω piki ringjoont raadiusega r tiirleva punktmassi impulsimomendi moodul on

${\displaystyle L=mr^{2}\omega .\,}$ 

Paljudest osakestest koosneva süsteemi koguimpulsimoment on osakeste impulsimomentide summa:

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\,,}$ 

kus r_i on i-nda osakese kohavektor, v_i selle kiirus ja m_i selle mass. (Σ_i tähistab summat üle kõigi osakeste.)

Impulsimoment ja massikese

Osakeste süsteemi jaoks on tihti otstarbekas vaadleda impulsimomenti süsteemi massikeskme

${\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}$ 

suhtes, kus

${\displaystyle M=\sum _{i}m_{i}.\,}$ 

tähistab süsteemi kogumassi. Nende suuruste abil saab süsteemi impulsimomendi jagada kahte ossa

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} _{0}+\mathbf {R} \times M\mathbf {V} \,,}$ 

kus V = dR/dt on massikeskme liikumise kiirus ja

${\displaystyle \mathbf {L} _{0}=\sum _{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times m_{i}(\mathbf {v} _{i}-\mathbf {V} )\,,}$ 

on impulsimoment taustsüsteemis, kus massikese on paigal, ent kirjeldab seega süsteemi "sisemist" impulsimomenti. Suurus R × M V kirjeldab aga massikeskme liikumisest tingitud impulsimomenti.

Jäiga keha impulsimoment

Nurkkiirusega ω ümber oma sümmeetriatelje pöörleva jäiga keha impulsimoment on

${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,.}$ 

kus I on keha inertsimoment vaadeldava sümmeetriatelje suhtes.

Kui osakesele mõjub jõud F, siis on impulsimomendi muutumise kiirus võrdne jõumomendiga M = r × F:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} .}$ 

Osakeste süsteemi koguimpulsimoment on võrdne süsteemile mõjuvate väliste jõudude momentide summaga:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}\mathbf {M} _{i}.}$ 

Seega isoleeritud süsteemis, väliste jõudude puudumisel, on osakeste süsteemi koguimpulsimoment jääv – viimane väide väljendab impulsimomendi jäävuse seadust.

Tuginedes Noetheri teoreemile saab impulsimomendi jäävuse järeldada ruumi isotroopsusest, st asjaolust, et ruum on igas suunas ühesugune.

Relatiivsusteoorias kirjeldab impulsimomenti impulsimomendi 2-vorm r ∧ p, kus r on osakese kohavektor aegruumis ja p on energia-impulsi 4-vektor ning ∧ tähistab väliskorrutist. Et impulsimoment on Noetheri teoreemi kaudu seotud ruumi isotroopsusega, siis pole see kõverates aegruumides üldjuhul jääv.

Kvantmehaanikas saab impulsimoment võtta vaid diskreetseid väärtuseid, mis on taandatud Plancki konstandi ${\displaystyle \hbar }$  poolarv kordsed. Samuti pole impulsimomendi suund kvantmehaanikas määratud – kvantsüsteemi jaoks saab korraga täpselt määratud olla vaid impulsimomendi projektsioon ühele fikseeritud teljele.

Kvantmehaanikas kirjeldatakse vaadeldavaid suurusi olekuvektoritele mõjuvate operaatorite abil. Orbitaalset impulsimomenti kirjeldab impulsimomendi operaator

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {x} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}\,,}$ 

mis on koordinaatesituses kujul

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )\,,}$ 

kus ${\displaystyle \nabla }$  on nabla-operaator. Orbitaalne impulsimomendi (projektsiooni) väärtused saavad olla vaid ${\displaystyle \hbar }$  täisarv kordsed.

Lisaks viimasele võib osake omada ka sisemist impulsimomenti ehk spinni, mille väärtused võivad olla ${\displaystyle \hbar }$  poolarv kordsed. Spinni kirjeldatakse vastava spinni operaatorga S. Spinniga osakese koguimpulssi kirjeldab operaator

${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}\,.}$ 

Impulsimomendi operaatori komponentide vahel kehtivad kanoonilised kommutatsiooniseosed

${\displaystyle [{\hat {J}}_{l},{\hat {J}}_{m}]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}{\hat {J}}_{n}\,,}$ 

kus ε_lmn on (täielikult antisümmeetriline) Levi-Civita sümbol ja ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$  on kommutaator. Neid seoseid rahuldavad eraldi ka L ja S komponendid.

• Pöördliikumise energia
• Spinn