Παράδοξο Του Τροχού

Με σύγχρονους όρους μπορεί να περιγραφεί ως εξής:

Δύο ομόκεντροι τροχοί (κύκλοι), στερεά συνδεδεμένοι μεταξύ τους με κοινό άξονα, ο ένας μικρότερης και ο άλλος μεγαλύτερης διαμέτρου όπως στο σχήμα, κυλούν χωρίς ολίσθηση σε αντίστοιχα παράλληλα επίπεδα. Ας πούμε ότι ο μεγάλος τροχός έχει διάμετρο ${\displaystyle \ R_{1}}$ και ο μικρότερος ${\displaystyle \ R_{2}}$. Παρατηρούμε ότι όταν ο μεγάλος τροχός θα έχει διατρέξει απόσταση ${\displaystyle \ 2\pi R_{1}}$ ίση με την περιφέρεια του, δηλαδή το σημείο Α εφάπτεται ξανά με το κάτω επίπεδο, τότε και ο μικρός θα έχει διατρέξει επίσης απόσταση ${\displaystyle \ 2\pi R_{1}}$. Όμως και το σημείο Β αναγκαστικά την ίδια στιγμή θα εφάπτεται με το πάνω επίπεδο. Δηλαδή και ο μικρός τροχός θα έχει διατρέξει απόσταση ίση με την περιφέρεια του. Το οποίο είναι παράδοξο διότι η περιφέρεια του μικρού τροχού είναι ${\displaystyle \ 2\pi R_{2}<2\pi R_{1}}$.

Το σφάλμα βρίσκεται στο γεγονός ότι υποθέσαμε κύλιση χωρίς ολίσθηση και για τους δύο τροχούς. Στην πραγματικότητα, εφόσον οι δύο τροχοί είναι στερεά συνδεδεμένοι, είναι αδύνατη ταυτόχρονη κύλιση χωρίς ολίσθηση και για τους δύο. Τούτο μπορεί να δειχθεί με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ότι ο μεγαλύτερος τροχός πράγματι κυλά χωρίς ολίσθηση. Τότε η απόλυτη ταχύτητα του κέντρου των τροχών θα είναι

${\displaystyle \ {\hat {V_{K}}}=V_{0}{\hat {i}}}$

όπου ${\displaystyle \ V_{0}>0}$ το μέτρο της μεταφορικής ταχύτητας του τροχού.

Η σχετική ταχύτητα του σημείου Α ως προς το κέντρο θα είναι

${\displaystyle \ {\hat {V_{AK}}}=-V_{0}\cos \left({\frac {V_{0}t}{R_{1}}}\right){\hat {i}}+V_{0}\sin \left({\frac {V_{0}t}{R_{1}}}\right){\hat {j}}}$

και η σχετική ταχύτητα του σημείου Β ως προς το κέντρο θα είναι

${\displaystyle \ {\hat {V_{BK}}}=-V_{0}{\frac {R_{2}}{R_{1}}}\cos \left({\frac {V_{0}t}{R_{1}}}\right){\hat {i}}+V_{0}{\frac {R_{2}}{R_{1}}}\sin \left({\frac {V_{0}t}{R_{1}}}\right){\hat {j}}}$.

Επομένως, τη χρονική στιγμή ${\displaystyle \ t=0}$, καθώς και τη χρονική στιγμή ${\displaystyle \ t=2\pi {\frac {R_{1}}{V_{0}}}}$, όπου τα σημεία Α και Β θα εφάπτονται στα αντίστοιχα επίπεδα, η απόλυτη ταχύτητα του σημείου Α θα είναι

${\displaystyle \ V_{A}=V_{K}+V_{AK}=V_{0}-V_{0}=0}$ (Στιγμιαία ταχύτητα μηδέν, δηλ. πράγματι δεν υπάρχει ολίσθηση.)

και η απόλυτη ταχύτητα του σημείου Β θα είναι

${\displaystyle \ V_{B}=V_{K}+V_{BK}=V_{0}-V_{0}{\frac {R_{1}}{R_{2}}}\neq 0}$ (Ταχύτητα διαφορετική απ'το μηδέν, δηλαδή υπάρχει ολίσθηση.).

Aristotle's Wheel Paradox

• Ballew, D. "The Wheel of Aristotle." (Ο Τροχός του Αριστοτέλη) Math. Teacher 65, 507-509, 1972.
• Costabel, P. "The Wheel of Aristotle and French Consideration of Galileo's Arguments." (= Ο Τροχός του Αριστοτέλη και γαλλική εξέταση στα επιχειρήματα του Γαλιλαίου) Math. Teacher 61, 527-534, 1968.
• Drabkin, I. "Aristotle's Wheel: Notes on the History of the Paradox." (= Ο τροχός του Αριστοτέλη: Σημειώσεις στην Ιστορία του Παραδόξου) Osiris 9, 162-198, 1950.
• Gardner, M. "Wheels, Life, and other Mathematical Amusements". (= Τροχοί, Ζωή και άλλες μαθηματικές διασκεδάσεις) New York: W. H. Freeman, pp. 2-4, 1983.
• Hutton, C. Mathematical and Philosophical Dictionary, Vol. 1. (= Μαθηματικό και Φιλοσοφικό Λεξικό) London: J. Davis, p. 398, 1795.
• Pappas, T. "The Wheel of Paradox Aristotle." The Joy of Mathematics. (= Ο Τροχός του Παράδοξου του Αριστοτέλη) San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 202, 1989.
• vos Savant, M. The World's Most Famous Math Problem. (= Ο Κόσμος των ποιο διάσημων μαθηματικών προβλημάτων) New York: St. Martin's Press, pp. 48-50, 1993.