Στη γεωμετρία, το εξάγωνο (από τις ελληνικές λέξεις ἕξ = έξι και γωνία) είναι ένα πολύγωνο σχήμα με έξι πλευρές και έξι κορυφές.
Οι εσωτερικές γωνίες οποιουδήποτε εξαγώνου έχουν άθροισμα 720 μοίρες (°).
Το κανονικό εξάγωνο έχει όλες τις πλευρές του ίσες, και όλες τις εσωτερικές γωνίες του ίσες με 120°. Το κανονικό εξάγωνο έχει 6 περιστροφικές συμμετρίες («περιστροφική συμμετρία τάξεως 6») και 6 κατοπτρικές συμμετρίες (ή έξι γραμμές συμμετρίας), ορίζοντας τη δίεδρη ομάδα D6. Οι μακρύτερες διαγώνιοι ενός κανονικού εξαγώνου, που ενώνουν διαμετρικά αντίθετες κορυφές, έχουν μήκος διπλάσιο από αυτό της κάθε πλευράς του. Από το δεδομένο αυτό έπεται ότι ένα τρίγωνο με τη μία κορυφή του στο κέντρο κανονικού εξαγώνου και τη μία πλευρά του κοινή με μία πλευρά του εξαγώνου είναι ισόπλευρο τρίγωνο, και ότι το κανονικό εξάγωνο μπορεί να διαμερισθεί σε 6 ισόπλευρα τρίγωνα.
Καθώς συμβαίνει και με τα τετράγωνα και τα ισόπλευρα τρίγωνα, τα κανονικά εξάγωνα συναρμόζονται απολύτως, χωρίς κενά μεταξύ τους, ώστε να «πλακοστρώνουν» το επίπεδο (τρία εξάγωνα συναντώνται σε κάθε κορυφή), και έτσι το σχήμα αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε πλακάκια. Για τον ίδιο λόγο, οι μέλισσες κατασκευάζουν τα κελιά στις κερήθρες τους σε σχήμα κανονικών εξαγωνικών πρισμάτων — με το συγκεκριμένο σχήμα χρησιμοποιείται αποδοτικότερα ο διαθέσιμος χώρος και τα υλικά κατασκευής.
Το εμβαδό ενός κανονικού εξαγώνου με μήκος πλευράς α είναι:
Μία άλλη σχέση για το εμβαδό είναι Ε = 1,5αd όπου το μήκος d είναι η απόσταση μεταξύ των παράλληλων πλευρών του (το «ύψος» του εξαγώνου) ή η διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου. Αν μόνο το d είναι γνωστό, τότε το εμβαδό του εξαγώνου είναι:
Η περίμετρος ενός κανονικού εξαγώνου με μήκος πλευράς α είναι 6α, η ακτίνα του περιγεγραμμένου σε αυτό κύκλου α και η διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου .
Αν ένα κανονικό εξάγωνο έχει διαδοχικές κορυφές A, B, Γ, Δ, E, Ζ και αν P είναι οποιοδήποτε σημείο του περιγεγραμμένου σε αυτό κύκλου μεταξύ των B και Γ, τότε ισχύει PE + PΖ = PA + PB + PΓ + PΔ.
Κυκλικό εξάγωνο ονομάζεται οποιοδήποτε εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο, με τις πλευρές του εν γένει όλες άνισες μεταξύ τους. Αν οι διαδοχικές πλευρές ενός τέτοιου εξαγώνου έχουν μήκη α, β, γ, δ, ε, ζ, τότε οι τρεις κύριες διαγώνιοί του περνούν από το ίδιο σημείο στο εσωτερικό του αν και μόνο αν αγε = βδζ.
Το θεώρημα του Πασκάλ (γνωστό και ως Hexagrammum Mysticum Theorem) λέει ότι αν ένα οποιοδήποτε εξάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κωνική τομή και προεκτείνουμε τα ζεύγη των αντίθετων πλευρών του μέχρι που να συναντηθούν, τότε τα τρία αυτά σημεία τομής θα βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, τη λεγόμενη «γραμμή Πασκάλ» αυτού του σχήματος.
Αν ABCDEF είναι ένα εξάγωνο που σχηματίζεται από έξι ευθείες εφαπτόμενες σε κωνική τομή, τότε οι τρεις κύριες διαγώνιοί του AD, BE και CF τέμνονται σε ένα σημείο (Θεώρημα του Brianchon).
Το κανονικό εξάγωνο μπορεί να δημιουργηθεί ως ένα κόλουρο ισόπλευρο τρίγωνο, με σύμβολο Σλέφλι t{3}. Αυτή η μορφή έχει συμμετρία μόνο D3. Σε αυτό το σχήμα οι παραμένουσες πλευρές του αρχικού τριγώνου είναι γαλάζιες, ενώ οι νέες είναι κόκκινες. | Το εξάγραμμα μπορεί να δημιουργηθεί με την προέκταση των 6 πλευρών ενός κανονικού εξαγώνου μέχρι που να συναντηθούν σε 6 νέες κορυφές. | Ενα κοίλο εξάγωνο | Ενα «αυτοτεμνόμενο» εξάγωνο (αστεροειδές πολύγωνο) | Μη επίπεδο κανονικό εξάγωνο αποτελούμενο από τις ακμές ενός κύβου |
Το κανονικό εξάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για τα παρακάτω κανονικά και ομοιομορφικά πολύτοπα, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές:
(3D) | (5D) | |||
---|---|---|---|---|
κύβος | οκτάεδρο | 5-simplex | ανορθωμένο 5-simplex | διανορθωμένο 5-simplex |
Δεν υπάρχει πλατωνικό στερεό με έδρες κανονικά εξάγωνα, επειδή ακριβώς τα εξάγωνα καλύπτουν πλήρως το επίπεδο, μην αφήνοντας «χώρο» για το «δίπλωμά» τους. Τα αρχιμήδεια στερεά με κάποιες έδρες τους εξαγωνικές είναι το κόλουρο τετράεδρο, το κόλουρο οκτάεδρο, το κόλουρο εικοσάεδρο (γνωστό από τη μπάλα του ποδοσφαίρου), το κόλουρο κυβοκτάεδρο και το κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο.
Αρχιμήδεια στερεά | ||||
---|---|---|---|---|
κόλουρο τετράεδρο | κόλουρο οκτάεδρο | κόλουρο εικοσάεδρο | κόλουρο κυβοκτάεδρο | κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο |
Υπάρχουν επίσης 9 στερεά Τζόνσον:
Πρισμοειδή | ||
---|---|---|
εξαγωνικό πρίσμα | εξαγωνικό αντιπρίσμα | εξαγωνική πυραμίδα |
Λοιπά συμμετρικά πολύεδρα | |||
---|---|---|---|
κόλουρο τριάκις τετράεδρο | κόλουρο ρομβικό δωδεκάεδρο | κόλουρο ρομβικό τριακοντάεδρο |
This article uses material from the Wikipedia Ελληνικά article Εξάγωνο, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Το περιεχόμενο είναι διαθέσιμο υπό CC BY-SA 4.0 εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Ελληνικά (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.