Schrödingers Katze: Physikalisches Gedankenexperiment

Mit dem mathematischen Formalismus der Quantenmechanik kann man nämlich, wenn der quantenmechanische Zustand eines physikalischen Systems genau bekannt ist, den späteren Zustand nach einer bestimmten Zeit ebenso genau vorhersagen. Aber aus dieser Kenntnis des Zustands erhält man für den Wert einer physikalischen Größe in vielen Fällen nur die Vorhersage einer unscharfen oder „verwaschenen“ Wahrscheinlichkeitsverteilung verschiedener möglicher Messergebnisse. Mit allen diesen Werten muss nach der weitverbreiteten Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik die betreffende Größe gleichzeitig im System vorgelegen haben, wobei erst durch den Akt der Messung entschieden wird, welcher Wert nun in der Realität gilt.

Ein einfaches Beispiel ist die Wellenfunktion für ein punktförmiges Elektron, sei es in einem Elektronenstrahl, der auf einen Leuchtschirm trifft, oder innerhalb eines Atoms. In jedem Fall ist die Wellenfunktion räumlich ausgedehnt, ein Elektron zeigt sich bei Messung des Orts aber immer nur an einem Punkt. An welchem Punkt das sein wird, dafür lässt sich aus der Wellenfunktion nur eine Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen.

Damit ist eine begriffliche Problematik verbunden, die Erwin Schrödinger in seinem 1935 veröffentlichten Gedankenexperiment verdeutlicht – nach eigenen Worten in „burlesk“ ausgeschmückter Form: Er setzt eine Katze an die Stelle des Elektrons und versetzt sie in einen Zustand, in dem sie nach den Regeln der Quantenmechanik gleichzeitig lebendig und tot sein könnte. Erst durch eine direkte Beobachtung (wie beim Elektron durch die Ortsmessung) würde der Zustand der Katze in eine der beiden Möglichkeiten „lebendig“ oder „tot“ springen.

Nach Schrödinger darf die Quantenmechanik dennoch nicht als ein „verwaschenes“ Modell der Realität fehlgedeutet werden. Im eigenartigen Zustand der Mischung sieht Schrödinger an sich nichts Unklares oder Widerspruchsvolles. Dieser Begriff sei für atomare Dimensionen noch hinnehmbar, beispielsweise für das α-Teilchen im Atomkern, bevor es als α-Strahlung ausgesandt und nur in einer Richtung beobachtet wird, obwohl in seinem Zustand alle Richtungen mit gleicher Wahrscheinlichkeit vorliegen. Der Begriff sei jedoch einfach falsch, wenn auch grob tastbare und sichtbare Dinge in der Realität diese quantenmechanische Unbestimmtheit zeigen sollen.

Das Gedankenexperiment beruht darauf, dass immer, wenn ein System verschiedene Zustände einnehmen kann, in der Quantenmechanik auch die Überlagerung dieser Zustände einen möglichen Zustand darstellt. Erst wenn eine Beobachtung oder Messung durchgeführt wird, mit der man zwischen den überlagerten Zuständen unterscheiden kann, nimmt das System einen von ihnen an. In Anlehnung an das Gedankenexperiment, das mit der Katze als einem makroskopischen System formuliert ist, spricht man auch bei einem mikroskopischen quantenmechanischen System von einem Katzenzustand, wenn man die verschiedenen überlagerten Zustände durch eine Messung unterscheiden kann.

 

In Schrödingers Gedankenexperiment befinden sich eine Katze und ein instabiler Atomkern in einem geschlossenen Kasten. Der Atomkern zerfällt mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit innerhalb einer bestimmten Zeitspanne. Der Zerfall löst mittels eines Geigerzählers die Freisetzung von Giftgas aus, welches die Katze tötet.

Schrödinger argumentiert nun, dass – wenn die Quantenphysik auch auf makroskopische Systeme anwendbar wäre – nicht nur der Atomkern, sondern auch die Katze in einen Zustand der Überlagerung geraten müsste. Diese Überlagerung würde erst beendet, wenn jemand den Kasten öffnet und den Zustand der Katze überprüft. Dies stellt eine Messung dar, die entweder das Ergebnis „tot“ oder „lebendig“ feststellt. Bis dahin wäre die Katze also lebendig und gleichzeitig tot. Diese Schlussfolgerung erscheint paradox, wobei die Paradoxie in gewisser Weise durch das Postulat der Überlagerungen mathematisch dargestellt wird.

Schrödinger selbst formuliert das 1935 in seinem Aufsatz Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik. § 5. Sind die Variablen wirklich verwaschen?

Die Superposition in der Quantenmechanik

Die Quantenmechanik beschreibt den Zustand und die Entwicklung eines physikalischen Systems mittels eines Zustandsvektors. Im Allgemeinen ist dieser eine gewichtete Summe (kohärente Superposition) solcher Eigenzustände, in denen eine durch Messung bestimmbare Größe einen jeweils wohldefinierten Messwert hat. Jeden einzelnen dieser Messwerte könnte man bei einer Messung dieser Größe erhalten; d. h., bei einem solchen quantenmechanischen Zustand ist das Ergebnis einer einzelnen Messung nicht eindeutig bestimmt. Eine Serie von identischen Messungen, d. h. Messungen derselben physikalischen Größe an gleichen Systemen mit immer demselben Zustandsvektor, ergibt daher eine Folge von Messergebnissen mit zufällig verschiedenen Werten. Deren Wahrscheinlichkeitsverteilung, aber nicht die Aufeinanderfolge der einzelnen Werte, kann mittels der Quantenmechanik aus dem Zustandsvektor ermittelt werden. Unmittelbar nach einer Messung liegt das System sicher in dem Eigenzustand vor, der zu dem gerade erhaltenen Messergebnis gehört. Dieser Vorgang der Zustandsreduktion wird durch ein eigenes Postulat in die Quantenmechanik (in ihrer Kopenhagener Deutung) eingeführt. Er bezeichnet das quantenmechanische Messproblem und ist auch heute nicht befriedigend verstanden.

Historischer Kontext

Zum Zeitpunkt von Schrödingers Veröffentlichung waren solche Quanteneffekte nur im mikroskopischen Bereich bekannt. Die Anwendbarkeit der Quantenmechanik auf komplexe makroskopische Prozesse, z. B. auf den Messprozess selbst, war jedoch unklar. Schrödingers Gedankenexperiment dient der Illustration der konzeptionellen Schwierigkeiten, die mit der Anwendung des Begriffs des Quantenzustands auf makroskopische Systeme verbunden sind. Heute ist die Quantentheorie makroskopischer Systeme ein umfangreich untersuchtes Teilgebiet der Physik.

Der Dekohärenz-Effekt

Gemäß der Dekohärenztheorie tritt die von Schrödinger beschriebene Situation in der Realität so nicht ein, da es bei makroskopischen Systemen immer zu einer Unterdrückung der Kohärenzeigenschaften des quantenmechanischen Zustands kommt. Selbst durch die Wand des Kastens hindurch steht die Katze im thermischen Kontakt mit der Außenwelt, wodurch permanent mikroskopische Information über den Zustand nach außen gelangt. Dadurch findet nach extrem kurzer Zeit ein effektiver Kollaps der Wellenfunktion im Sinne der Kopenhagener Deutung statt. Die Dekohärenztheorie nimmt damit die realen Umgebungsbedingungen ernst, die sich bei makroskopischen Objekten technisch nicht eliminieren lassen. Die Vergiftungsapparatur und die Katze reagieren daher nicht erst auf den „Messprozess“ durch das Öffnen des Kastens, sondern direkt auf die ersten unmittelbaren Auswirkungen des atomaren Zerfalls.

Reale Experimente

Trotz des Einflusses der Dekohärenz kann das Gedankenexperiment mit realen Experimenten überprüft werden. Dabei muss die Wechselwirkung mit der Umgebung vollständig abgeschirmt werden. Eine solche Isolation erreicht man sehr gut bei Photonen als Untersuchungsobjekten, da Photonen selbst nicht von anderen Photonen beeinflusst werden und somit von der Dekohärenz wenig betroffen sind. Bei fester Materie ist eine Isolation sehr viel schwieriger und gelang bisher nur bei sehr kleinen Objekten. Zum Beispiel konnte bei einem Experiment mit Fullerenen nachgewiesen werden, dass ein solches aus 60 Kohlenstoffatomen bestehendes einzelnes Molekül gleichzeitig unterschiedliche Wege durch verschiedene Spalte eines Hindernisses nehmen kann. Die experimentellen Bedingungen, die hier ausreichend vor Dekohärenz schützten, waren ein hohes Vakuum, Dunkelheit und eine sehr kurze Zeitspanne zwischen Erzeugung und Überprüfung der Überlagerung. Bei Quantencomputern versucht man die Dekohärenz von Elektronen zu unterdrücken, indem man mithilfe sehr tiefer Temperaturen und Supraleitung deren Freiheitsgrade einschränkt. Die überlagerten Zustände nutzt man dann zur Durchführung von parallelen Rechenoperationen.

Diese Experimente bestätigen die Annahme, dass die Gesetze der Quantenmechanik auch für makroskopische Systeme gelten.

Unabhängig von der Dekohärenztheorie werden die Abläufe im hypothetischen perfekt verschlossenen Kasten in den verschiedenen Schulen und Deutungen der Quantenmechanik sehr unterschiedlich interpretiert.

Kopenhagener Deutung

 

In der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik erfolgt im Moment der Messung ein Kollaps der Wellenfunktion des gemessenen Systems. Beim Öffnen des Raums und Beobachtung seines Inneren (Messung) springt der Atomkern, der sich zuvor im Zustand der Überlagerung befand, in einen der zu diesem Messapparat gehörenden Eigenzustände. Erst bei der Messung (hier durch einen äußeren Beobachter) entscheidet sich also, ob die Katze tot oder lebendig ist. Vor der Messung kann über den Zustand der Katze lediglich eine Wahrscheinlichkeitsaussage getroffen werden. Der Messvorgang selbst wird dabei wie in der klassischen Physik beschrieben.

Spätere Interpreten der Kopenhagener Deutung wie Carl Friedrich von Weizsäcker erkennen an, dass das makroskopische Ansprechen der „Höllenmaschine“ die Entstehung eines irreversiblen „Dokuments“ über den erfolgten Atomzerfall zur Folge hat, mit anderen Worten, eine Messung hat stattgefunden. Die Wellenfunktion kollabiert ohne weiteres menschliches Zutun; die Katze ist entweder lebendig oder tot.

Mit den 50-Prozent-Wahrscheinlichkeiten für die beiden möglichen Eigenzustände beschreibt die Wellenfunktion vor der Messung gewissermaßen nicht wirklich das System, sondern das unvollständige Wissen über das System. Fröhner hat nachgewiesen, dass die quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten widerspruchsfrei als Bayessche Wahrscheinlichkeiten aufgefasst werden können. Diese ändern sich, indem die Messung den Informationsstand des Beobachters verändert. Dazu wird keine Zeit benötigt; was kollabiert („zusammenbricht“), ist nichts Physikalisches, sondern nur der Informationsmangel des Beobachters. Ganz entsprechend haben sich hierzu Heisenberg 1960 in einer brieflichen Diskussion (siehe Zitat bei Fröhner) und Styer geäußert.

Viele-Welten-Interpretation

 

Die Viele-Welten-Interpretation geht auf den Physiker Hugh Everett zurück. Sie ist keine neue oder zusätzliche Theorie, sondern eine alternative Interpretation der Quantenmechanik. Die Viele-Welten-Interpretation spricht allen möglichen Zuständen (also hier „Katze tot“ und „Katze lebendig“) gleichermaßen physikalische Realität zu. Es gibt dann tatsächlich ein Universum, in dem das Atom zerfallen ist, und eines, in dem das Atom noch nicht zerfallen ist. Im ersten Universum öffnen wir den Kasten und finden die Katze tot, im zweiten Universum ist die Katze lebendig.

Unsere Erinnerungen und das, was wir als Realität wahrnehmen, entsprechen dann nur einer von unzähligen möglichen (und gleichermaßen realisierten) Geschichten des Universums.

Ensembletheorie

Vertreter der Ensembletheorie würden das Gedankenexperiment auf eine Gesamtheit von Systemen beziehen (also mehrere Kästen mit Katzen): Nach einem bestimmten Zeitintervall sind dann die Hälfte aller Katzen tot und die andere Hälfte lebendig. Hier greift das empirische Gesetz der großen Zahlen, d. h., je öfter man dieses Experiment durchführt, desto sicherer ist es, dass die relative Häufigkeit sich der theoretischen Wahrscheinlichkeit annähert.

Bohmsche Mechanik

 

Die bohmsche Mechanik ist eine alternative Formulierung der Quantenmechanik. Sie fügt der Quantenmechanik eine zusätzliche Bewegungsgleichung hinzu, die den Ort sämtlicher Teilchen zu jeder Zeit festlegt. Die Beschreibung wird dadurch deterministisch. Die Bohmsche Mechanik legt also zu jeder Zeit genau fest, ob die Katze tot oder lebendig ist. Man kann den Anfangszustand des Systems jedoch nicht genau messen, ohne das System zu stören. Daher kann man für das Ergebnis nur Wahrscheinlichkeiten für den Fall einer toten oder einer lebendigen Katze angeben.

Allgemeine Überlegung

In einem allgemeineren Sinn wird in der Quantenmechanik eine Überlagerung zweier kohärenter Zustände, die hinreichend unterschiedlich und klassischen Zuständen ähnlich sind, als Katzenzustand bezeichnet. Um einen solchen Zustand zu präparieren, ist es notwendig, das System von der Umgebung abzuschirmen. Typische experimentelle Realisierungen sind Spin-Ausrichtungen oder Teilchenpositionen. Erste mesoskopische Katzenzustände wurden mit Elektronenstrahlen und Strahlteilern erzeugt, bei denen eine Überlagerung der Zustände darin bestand, dass ein Elektron in dem einen oder dem anderen Teilstrahl ist. Mitte der 1990er Jahre ist es gelungen, einen mesoskopischen Katzenzustand für ein einzelnes Atom bezüglich seiner Position zu erzeugen. Darauf aufbauend wurden größere Systeme aus einzelnen Atomen erzeugt, bei denen zum Beispiel mit sechs Atomen die Überlagerung der beiden Zustände, bei denen alle Atome Spin-Up. oder alle Atome Spin-Down. untersucht wurden. Diese Formulierung wurde von David Bohm vorgeschlagen, der den Spin als Observable 1935 in einem Gedankenexperiment zum Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon formulierte.

Katzenzustand beim Quantencomputer

Konkreter Spezialfall ist der Katzenzustand als Zustand in einem Register eines Quantencomputers, der aus der Überlagerung der beiden Zustände besteht, bei denen alle Qubits |0⟩ bzw. alle |1⟩ sind. In der Bra-Ket-Notation wird er als proportional zu |00…0⟩ +|11…1⟩ geschrieben. Diese Art von Katzenzustand wird auch als Greenberger–Horne–Zeilinger (GHZ) Zustand bezeichnet.

Katzenzustand in der Quantenoptik

 

In der Quantenoptik wird ein Katzenzustand als kohärente Überlagerung von zwei bestimmten kohärenten Zuständen mit entgegengesetzten Phasen definiert:

${\displaystyle |\mathrm {cat} _{e}\rangle \propto |\alpha \rangle +|{-}\alpha \rangle }$ ,

wobei

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$ ,

und

${\displaystyle |{-}\alpha \rangle =e^{-{|{-}\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{({-}\alpha )^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$ 

als kohärente Zustände in der Zahlenbasis (Fock-Zustand) definiert sind. Die Bezeichnung Katzenzustand ergibt sich daraus, dass α prinzipiell beliebig große Werte annehmen kann, und die beiden Anteile somit makroskopisch unterscheidbar werden, wie die tote oder lebendige Katze. Die vergleichsweise einfache Struktur des Zustandes erlaubt dann systematische theoretische und experimentelle Untersuchungen.

Wenn man die beiden entgegengesetzten Zustände addiert, enthält der Katzenzustand nur gerade Fock-Zustands-Terme:

${\displaystyle |\mathrm {cat} _{e}\rangle \propto 2e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\left({\alpha ^{0} \over {\sqrt {0!}}}|0\rangle +{\alpha ^{2} \over {\sqrt {2!}}}|2\rangle +{\alpha ^{4} \over {\sqrt {4!}}}|4\rangle +\dots \right)}$ .

Als Ergebnis dieser Eigenschaft wird der obige Zustand oft als gerader Katzenzustand bezeichnet. Alternativ kann man einen ungeraden Katzenzustand mit

${\displaystyle |\mathrm {cat} _{o}\rangle \propto |\alpha \rangle -|{-}\alpha \rangle }$ 

definieren, der nur ungerade Fock-Zustände enthält

${\displaystyle |\mathrm {cat} _{o}\rangle \propto 2e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\left({\alpha ^{1} \over {\sqrt {1!}}}|1\rangle +{\alpha ^{3} \over {\sqrt {3!}}}|3\rangle +{\alpha ^{5} \over {\sqrt {5!}}}|5\rangle +\dots \right)}$ .

• Wigners Freund stellt eine Erweiterung dieses Gedankenexperiments dar.
• Der sogenannte Quantenselbstmord zieht andere Schlüsse aus einem vergleichbaren Experiment.

• Karl von Meyenn (Hrsg.): Eine Entdeckung von ganz außerordentlicher Tragweite: Schrödingers Briefwechsel zur Wellenmechanik und zum Katzenparadoxon. Springer, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-04334-5.
• John Gribbin: Auf der Suche nach Schrödingers Katze: Quantenphysik und Wirklichkeit. Aus dem Englischen von Friedrich Griese. Piper, München/Zürich 2004, ISBN 3-492-24030-5.

 

Wikiquote: Erwin Schrödinger – Zitate

 

Commons: Schrödingers Katze – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

 Wiktionary: Schrödingers Katze – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Ist Schrödingers Katze tot? aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri (ca. 15 Minuten). Erstmals ausgestrahlt am 15. Sep. 2004.
• Schrödingers Katze kann aufatmen – und sei es auch nur ein letztes Mal. quanten.de
• Wie Erwin Schrödingers Katze zu Weltruhm kam. Welt Online, 12. August 2013
• Reincarnation can save Schrödinger’s cat. In: Nature, Band 454, 2. Juli 2008, S. 8–9.
• Quantum superposition of distinct macroscopic states. In: Nature, Band 406, 6. Juli 2000, S. 43–46; nature.com (PDF) doi:10.1038/35017505 – Versuch einer experimentellen Realisierung des Gedankenexperiments mit makroskopischen elektrischen Strömen, die angeblich gleichzeitig in zwei Richtungen fließen.
• Zvi Schreiber: The nine lives of Schrödingers Cat. Diplomarbeit. Imperial College 1995, Schrödingers Katze in verschiedenen Interpretationen der Quantenmechanik, arxiv:quant-ph/9501014.