Die 72er-Regel ist eine Faustformel aus der Zinsrechnung.
Die Regel gibt näherungsweise die Verdopplungszeit an, also die Zeit nach der sich eine verzinsliche Kapitalanlage im Nennwert verdoppelt (durch den Effekt des Zinseszins). Dazu teilt man 72 durch den Zinsfuß des angelegten Betrages, daher der Name der Regel. Varianten der 72er-Regel sind die 70er-Regel und die 69er-Regel.
Die Zeit (in Jahren), in der sich eine Kapitalanlage mit Zinssatz (pro Jahr) verdoppelt, ist nach der 72er-Regel:
Dabei bezeichnet den Zinsfuß.
Man kann dieselbe Formel benutzen, um abzuschätzen, welcher Zinsfuß benötigt wird, um ein Kapital in vorgegebener Zeit zu verdoppeln:
In welcher Zeit wird sich ein Betrag, der zu einem Zinsfuß von (8 Prozent pro Jahr) angelegt ist, verdoppeln?
Welchen Zinsfuß (pro Jahr) benötigt man, um ein Kapital im Zeitraum zu verdoppeln?
Die 72er-Regel kann nicht nur auf die Zinsrechnung, sondern auf jede Art exponentiellen Wachstums angewendet werden. Beispielsweise beträgt die Generationszeit, also die Zeitspanne, in der sich eine Mikrobenpopulation verdoppelt, bei einer stündlichen Wachstumsrate von ungefähr Stunden.
Nach der Zinseszinsformel ist das Endkapital einer festverzinslichen Anlage mit Anfangskapital bei einem Zinssatz von nach einer Laufzeit von Jahren bei jährlicher Verzinsung
Setzt man nun , wendet den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an und löst nach auf, ergibt sich die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung als
Nachdem für betragsmäßig kleine gegen konvergiert (siehe Taylor-Reihe) und mit ergibt sich als Näherungsformel
Nähert man nun durch oder , so spricht man von der 69er-Regel oder der 70er-Regel. Als Faustwert hat sich aber die Näherung durch bewährt, unter anderem weil die Zahl viele kleine Teiler aufweist . Für die 69er-Regel findet sich in der Literatur auch eine Modifikation der Form
die durch numerische Approximation gefunden wurde. Die Logarithmusfunktion kann damit im Bereich mit maximal 0,5-prozentiger Abweichung genähert werden. Wird 0,32 als Wert des Absolutglieds verwendet, betragen die Abweichungen im Bereich maximal ein Prozent gegenüber den exakten Verdopplungszeiten.
Für die Herleitung mittels Reihenentwicklung wird die Laurentreihe benötigt (a-1/x + a0 + a1 x + a2 x2 …), speziell die ersten beiden Terme dieser Reihe (n = 2).
Es ergibt sich somit:
Die folgende Tabelle vergleicht die Abschätzungen gemäß der 72er-, der 70er-, der 69er-Regel und weiteren oben aufgeführten Näherungen mit den tatsächlichen Werten für typische Zinssätze. Eine grafische Darstellung der relativen Genauigkeiten zeigt das Diagramm am rechten Rand.
Zinssatz | Verdopplungs- zeit | 72er-Regel | 70er-Regel | 69er-Regel | Näherung 69/p + 0,35 | Näherung 69/p + 0,32 |
---|---|---|---|---|---|---|
0,25 % | 277,605 | 288,000 | 280,000 | 276,000 | 276,350 | 276,320 |
0,5 % | 138,976 | 144,000 | 140,000 | 138,000 | 138,350 | 138,320 |
1 % | 69,661 | 72,000 | 70,000 | 69,000 | 69,350 | 69,320 |
2 % | 35,003 | 36,000 | 35,000 | 34,500 | 34,850 | 34,820 |
3 % | 23,450 | 24,000 | 23,333 | 23,000 | 23,350 | 23,320 |
4 % | 17,673 | 18,000 | 17,500 | 17,250 | 17,600 | 17,570 |
5 % | 14,207 | 14,400 | 14,000 | 13,800 | 14,150 | 14,120 |
6 % | 11,896 | 12,000 | 11,667 | 11,500 | 11,850 | 11,820 |
7 % | 10,245 | 10,286 | 10,000 | 9,857 | 10,207 | 10,177 |
8 % | 9,006 | 9,000 | 8,750 | 8,625 | 8,975 | 8,945 |
9 % | 8,043 | 8,000 | 7,778 | 7,667 | 8,017 | 7,987 |
10 % | 7,273 | 7,200 | 7,000 | 6,900 | 7,250 | 7,220 |
11 % | 6,642 | 6,545 | 6,364 | 6,273 | 6,623 | 6,593 |
12 % | 6,116 | 6,000 | 5,833 | 5,750 | 6,100 | 6,070 |
15 % | 4,959 | 4,800 | 4,667 | 4,600 | 4,950 | 4,920 |
18 % | 4,188 | 4,000 | 3,889 | 3,833 | 4,183 | 4,153 |
20 % | 3,802 | 3,600 | 3,500 | 3,450 | 3,800 | 3,770 |
25 % | 3,106 | 2,880 | 2,800 | 2,760 | 3,110 | 3,080 |
30 % | 2,642 | 2,400 | 2,333 | 2,300 | 2,650 | 2,620 |
40 % | 2,060 | 1,800 | 1,750 | 1,725 | 2,075 | 2,045 |
50 % | 1,710 | 1,440 | 1,400 | 1,380 | 1,730 | 1,700 |
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