Omeumurfismu

A nuzioni d'omeumurfismu hè monda impurtanti in tupulugia. Dui spazii tupulogichi ${\displaystyle X}$ è ${\displaystyle Y}$ culligati da un omeumurfismu sò ditti omeumorfi: da un puntu di vista tupulogicu, quisti sò praticamenti uguali. In particulari, ani listessi invarianti tupulogichi.

Un omeumurfismu frà dui spazii tupulogichi ${\displaystyle X}$  è ${\displaystyle Y}$  hè una funzioni cuntinua ${\displaystyle f:X\to Y}$ chì hè ancu biunivoca è di a quali a inversa ${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$  hè anch'idda cuntinua.

Una difinizioni equivalenti hè a siguenti: un omeumurfismu hè una currispundenza biunivoca ${\displaystyle f:X\to Y}$  frà spazii tupulogichi tali ch'è un suttuinsemu ${\displaystyle A}$  di ${\displaystyle X}$  hè apartu s'è è solu s'idduu hè a so imaghjini ${\displaystyle f(A)}$  in ${\displaystyle Y}$ . Brevamenti, hè una currispundenza biunivoca frà spazii tupulogichi chì induci una currispundenza biunivoca frà i so aparti.

S'iddu esisti un omeumurfismu trà ${\displaystyle X}$  è ${\displaystyle Y}$ , i dui spazii sò ditti omeumorfi. A rilazioni d'omeumurfismu frà spazii tupulogichi hè una rilazioni d'equivalenza.

Intarvalli di a retta riali

Sighini ${\displaystyle a$  dui numari riali. A funzioni

${\displaystyle f:[0,1]\to [a,b]}$ 
${\displaystyle f:x\mapsto a+(b-a)x}$ 

hè un omeumurfismu. Infatti hè cuntinua, biunivoca, è a so inversa

${\displaystyle f^{-1}:[a,b]\to [0,1]}$ 
${\displaystyle f^{-1}:y\mapsto {\frac {y-a}{b-a}}}$ 

hè anch'idda cuntinua. Ogni intarvallu chjusu è limitatu ${\displaystyle [a,b]}$  hè dunqua omeumorfu à l'intarvallu ${\displaystyle [0,1]}$ . Da a prubità transitiva suvita quinci ch'è l'intarvalli chjusi è limitati sò tutti omeumorfi frà iddi.

Si virifichighja analugamenti ch'è l'intarvalli aparti ${\displaystyle (a,b)}$  sò tutti omeumorfi frà iddi. È ancu: un intarvallu apartu hè omeumorfu à l'intreia retta riali ${\displaystyle \mathbb {R} }$  par via di a funzioni tangenti

${\displaystyle f:(-\pi /2,\pi /2)\to \mathbb {R} }$ 
${\displaystyle f:x\mapsto \tan x.}$ 

chì hè biunivoca, cuntinua è incù inversa cuntinua (a funzioni arcutangenti). A limitatezza ùn hè micca dunqua un invarianti tupulogicu: un spaziu limitatu com'è ${\displaystyle (0,1)}$  pò essa omeumorfu à un spaziu illimitatu, com'è ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Dui spazii omeumorfi ani asattamenti listessi prubità tupulogichi (siparabilità, cunnissioni, simplicia cunnissioni, cumpattezza...). In u linguaghju di a tiuria di i catigurii, si dice ch'è un omeumurfismu hè un isumurfismu trà spazii tupulogichi.

• Edoardo Sernesi, Giumitria 2, Bollati Boringhieri, Turinu 2006, ISBN 88-339-5548-6.

• Omeumurfismu lucali
• Isumurfismu
• Omeumurfismu (tiuria di i grafi)

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