Numeru

L'esempii originali sò i numeri naturali 1, 2, 3, 4, è tira è tocca. I numeri ponu esse riprisintati in u linguaghju da parole-numeri. Più universalmente, i numeri individuali ponu esse riprisintati da simbuli, chjamati numerali; per indettu, "5" hè un numerale chì riprisenta u numeru cinque. Cum'ellu ùn hè micca pussibile di mimurizà ch'è un numeru relativamente debule di simbuli, i ciffri di basa sò di solitu organizati in un sistemu numerale, chì hè una manera organizata di riprisintà qualsiasi numeru. U sistemu numerale u più currente hè u sistemu numerale indùarabu, chì permette di riprisintà qualsiasi numeru cù l'aiutu di una cumbinazione di deci simbuli numerichi fundamentali, chjamati ciffri. Oltre u so usu per a cuntera è a misura, i ciffri sò à spessu usati per l'etichette (cum'è i numeri di telefunu), per i cumandi (cum'è i numeri di seria) è per i codici (cum'è l'ISBN). In l'usu currente, un numerale ùn hè micca chjaramente distintu da u numeru ch'ellu riprisenta.

In matematiche, a nuzione di numeru s'hè stesa à u filu di i seculi per inchjude "0", i numeri negativi, i numeri raziunali tali una mità 1/2, i numeri reali tali a "radica quatrata" di 2 è π, è i numeri cumplessi chì stendenu i numeri reali incù una radica quatrata di -1 (è e so cumbinazione incù numeri reali aghjunghjendu ne o suttraiendu ne i so multiplici). I calculi incù i numeri sò effittuati cù l'aiutu di operazione aritmetiche, chì e più famigliare sò l'addizione, a suttrazzione, a multiplicazione, a divisione è a spunenziazione. U so studiu o u so usu hè chjamatu aritmetica, un termine chì pò ancu fà riferimentu à a teuria di i numeri, u studiu di e pruprietà di i numeri.

Oltre u so usu praticu, i numeri anu un significatu culturale in u mondu sanu. Per indettu, in a sucità occidentale, u numeru 13 hè à spessu cunsideratu cum'è sfurtunatu, è "un milione" pò significà "assai", piuttostu ch'è una quantità esatta. Bench'ella sia oghje cunsiderata cum'è una pseudoscenza, a cridenza in un significatu misticu di i numeri, cunnisciuta sottu u nome di numerolugia, hà impregnatu u pinsamentu anticu è medievale. A numerolugia hà assai influinzatu u sviluppu di e matematiche greche, stimulendu u studiu di numerosi prublemi in a teuria di i numeri chì sò sempre d'attualità.

Mentre u XIXu seculu, i matematichi anu cuminciatu à sviluppà numerose astrazzione differente chì spartenu certe pruprietà di i numeri, è ponu esse cunsiderate cum'è un'estinsione di u cuncettu. Frà i primi, omu trova i numeri ipercumplessi, chì cunsistenu in diverse estinsione o mudifiche di u sistemu di i numeri cumplessi. In e matematiche muderne, i sistemi di numeri (insemi) sò cunsiderati cum'è esempii spiciali impurtanti di categurie più generale tale l'anelli è i campi, è l'appiicazione di u termine " numeru " hè una quistione di cunvinzione, senza significatu fundamentale.

Numeri

Ci vole à distingue i ciffri da i numerali, i simbuli imprudati per riprisintà i numeri. L'Egizziani anu invintatu u prima sistemu numerale ciffratu, è i Grechi anu suvitatu fendu currisponde i so ciffri di cuntera à i santacroci ionicu è doricu. I ciffri rumani, un sistemu chì imprudava e cumbinazione di lettere di u santacroce rumanu, sò firmati duminanti in Europa sinu à a diffusione di u sistemu numerale superiore indùarabu ver' di a fine di u 14u seculu, è u sistemu numerale indùarabu ferma u sistemu u più currente per riprisintà i numeri à i ghjorni d'oghje. A chjave di l'efficenza di u sistemu era u simbulu di u zeru, chì hè statu sviluppatu da l'anziani matematichi indiani ver' di 500 dopu à GC.

Prima utilisazione di i numeri

L'ossi è altri artefatti sò stati scuperti incù marche tagliate in elli ch'è assai persone credenu ch'elle sò marche di punteghju. 'Sse marche di punteghju ponu esse state imprudate per cuntà u tempu sculatu, cum'è i numeri di ghjorni,d i i cicli lunarii o guardà i rigistri di quantità, cum'è animali.

Un sistemu di punteghju ùn hà micca cuncettu di valore di piazza (cum'è in a nutazione decimale muderna), ciò chì limiteghja a so ripprisintazione di i grandi numeri. Però, i sistemi di punteghju sò cunsiderati cum'è u prima tipu di sistemu numerale astrattu.

U prima sistemu cunnisciutu incù valore di piazza era u sistemu mesuputamicu in basa 60 (ver' di 3400 av. G.-C.) è u più sistemu anzianu cunnisciutu in basa 10 data di 3100 av. G.-C. in Egittu.

Zeru

A prima utilisazione documintata cunnisciuta di u zeru data di 628 dopu à G.-C. è apparisce in u Brāhmasphuṭasiddhānta, l'opera principale di u matematicu indianu Brahmagupta. Ci tratta u 0 cum'è un numeru è discute l'operazione cuncirnendu lu, in particulare a divisione. À quella epica (u VIIu seculu), u cuncettu avia chjaramente aghjuntu u Cambogia sottu forma di ciffri khmer, è a documentazione mostra ch'è l'idea s'hè dopu sparta in China è in u mondu islamicu.

 

U Brāhmasphuṭasiddhānta di Brahmagupta hè u prima libru chì minziuneghja u zeru cum'è un numeru, dunque Brahmagupta hè di solitu cunsideratu cum'è u prima à furmulà u cuncettu di zeru. Hà datu e regule d'usu di zeru incù numeri negativi è pusitivi, cum'è "zeru più un numeru pusitivu hè un numeru pusitivu, è un numeru negativu più zeru hè u numeru negativu." U Brāhmasphuṭasiddhānta hè u più testu anzianu cunnisciutu à trattà u zeru cum'è un numeru à parte intiera, piuttostu ch'è cum'è un simpliciu ciffru di rimpiazzamentu in a ripprisintazione di un antru numeru, cum'elli facianu i Babiluniani, o cum'è u simbulu di una mancanza di quantità, cum'elli facianu Tolomeu è i Rumani.

Cunvene di distingue l'utilisazione di u 0 in tantu ch'è ciffra di u so usu in quant'è ciffru di rimpiazzamentu in i sistemi di valori di rimpiazzamentu. Numerosi testi anziani usavanu u 0. I testi babiluniani è egizziani l'usavanu. L'Egizziani apradavanu a parola nfr per designà u saldu nullu in a cuntabilità in parte doppia. I testi indiani apradavanu una parola sanscrita, Shunye o shunya, per designà u cuncettu di biotu. In i testi matematichi, 'ssa parola face à spessu riferimentu à u numeru zeru. In listessu ordine d'idee, Pāṇini (Vu seculu av. G.-C.) hà usatu l'operatore null (zeru) in l'Ashtadhyayi, un esempiu prumaticciu di grammatica algebrica per a lingua sanscrita (vede ancu Pingala).

L'archivie mostranu ch'è i grechi antichi simbravanu incerti inquantu à u statutu di 0 in tantu ch'è numeru : si dumandavanu "cume" nulla "pò esse qualcosa?", ciò chì hà datu locu à interessanti argumenti filusofichi è, à l'epica medievale, riligiosu annantu à a natura è l'esistenza di u 0 è di u biotu. I paradossi di Zenone d'Elea dipendenu in parte di l'interpritazione incerta di 0. (I grechi antichi si dumandavanu ancu s'è 1 era un numeru).

L'Olmechi tardivi di u centru di u Messicu anu cuminciatu à imprudà un simbulu per u zeru, un glifu di cunchiglia, in u Nuvellu Mondu, prubabilmente à u IVu seculu innanzu G.-C. ma certamente in 40 avanti G.-C., chì hè diventatu una parte integrante di i ciffri è di u calindariu maya. L'aritmetica maya usava a basa 4 è a basa 5 scritta in basa 20. George I. Sánchez hà signalatu in u 1961 un abacu "à diti" in basa 4 è in basa 5.

In u 130 dopu à G.-C., Tolomeu, influinzatu da Ipparcu è i Babiluniani, imprudava un simbulu per u 0 (un picculu chjerchju incù una longa asta superiore) in un sistemu numerale sessagesimale imprudendu altrimente i ciffri alfabetichi grechi. Parch'è ellu era usatu solu, è micca cum'è un simpliciu sustitutu, 'ssu zeru ellinisticu hè statu u prima usu documintatu di un zeru sputicu in l'Anzianu Mondu. In i manuscritti bizantini ultiriori di a so/u so/sone Syntaxis Mathematica (Almagestu), u zeru ellinisticu s'hè trasfurmatu in a lettera greca Omicron (chì significheghja 70).

Un antru veru zeru hè statu imprudatu in e tavule accantu à i ciffri rumani da 525 (prima utilisazione cunnisciuta da Dionisiu Exiguus), ma cum'è una parola (significhendu "niente"), è micca cum'è un simbulu. Quandu a divisione pruducìa 0 cum'è restu, omu usava nihil, chì significheghja dinò "niente". 'Ssi zeri medievali sò stati usati da tutti i futuri computisti medievali (calculadori di Pasqua). Un usu isulatu di a so iniziale, N, hè statu imprudatu in una tavula di ciffri rumani da Bede o un cullegu ver' di u 725, un simbulu sputicu di zeru.

I numeri negativi

U cuncettu astrattu di i numeri negativi hè statu ricunnusciutu da 100-50 innanzu G.-C. in China. I Nove capituli annantu à l'arte matematicu cuntenenu i metudi per truvà l'arie di e figure ; i bastunelli rossi eranu imprudati per designà i cuefficenti pusitivi, i neri per i negativi. U prima riferimentu in una opera occidentale ricolla à u IIIu seculu di a nostra epica in Grecia. Diofantu hà fattu riferimentu à l'equazione equivalente à 4x + 20 = 0 (a soluzione hè negativa) in l'Arithmetica, dicendu ch'è l'equazione dava un risultatu assurdu.

In l'anni 600, i numeri negativi eranu usati in India per riprisintà i debiti. U riferimentu precedente di Diofantu hè statu discutitu più in modu esplicitu da u matematicu indianu Brahmagupta, in Brāhmasphuṭasiddhānta in u 628, chì hà usatu i numeri negativi per produce a formula quadratica di forma generale chì ferma imprudata oghje. Eppuru, à u XIIu seculu in India, Bhaskara dà e radiche negative per l'equazione quadratiche ma dice ch'è u valore negativu "ùn hè in 'ssu casu micca da piglià, chì hè inadequata ; la ghjente ùn approvanu micca e radiche negative".

I matematichi europei, per a maiò parte, anu resistutu à u cuncettu di i numeri negativi sinu à u XVIIu seculu, bench'è Fibonacci aghji autorizatu e soluzione negative in i prublemi finanziarii induve elle pudianu esse interpritate cum'è debiti (capitulu 13 di u Liber Abaci, 1202) è dopu cum'è perdite (in Flos). À listessa epica, i Chinesi indicavanu i numeri negativi traccendu un trattu diagunale à traversu u ciffru micca nullu u più à dritta di u numerale di u numeru pusitivu currispundente. U prima usu di i numeri negativi in un'opera europea hè statu fattu da Nicolas Chuquet à u XVu seculu. L'hà imprudati cum'è espunenti, ma l'hà qualificati di "numeri assurdi".

À u XVIIIu seculu dinù, era currente di ignurà i risultati negativi rinviati da equazione partendu di u principu ch'elli eranu spruvisti di sensu, cum'è René Descartes l'hà fattu incù e soluzione negative in un sistemu di cuurdinate cartesiane.

I numeri raziunali

Hè prubabile ch'è u cuncettu di numeri frazziunarii ricolla à a preistoria. L'anziani Egizziani usavanu a so nutazione frazziunaria egizziana per i numeri raziunali in testi matematichi tali u papiru matematicu di Rhind è u papiru di Kahun. I matematichi grechi è indiani classichi anu studiatu a teuria di i numeri raziunali in u quatru di u studiu generale di a teuria di i numeri, chì u più cunnisciutu n'hè l'Elementi d'Euclide, datendu di circa 300 av. G-C. Frà i testi indiani, u più pertinente hè u Sthananga Sutra, chì tratta ancu di a teuria di i numeri in u quatru di un studiu generale di e matematiche.

U cuncettu di frazzione decimale hè strettamente ligatu à a nutazione decimale di u valore di piazza ; e duie parenu esse si sviluppate à tempu. Per indettu, hè currente ch'è i sutras matematichi giaini inchjudenu i calculi d'apprussimazione di pi o di a radica quatrata di 2 in frazzione decimale. Listessa, i testi matematichi babiluniani usanu assai à spessu e frazzione sessagesimale (basa 60).

Numeri irraziunali

U prima usu cunnisciutu di i numeri irraziunali si trova in i Sulba Sutras indiani cumposti trà 800 è 500 avanti G.-C. A prima prova d'esistenza di i numeri irraziunali hè di solitu attribuita à Pitagora, più precisamente à u pitagoricu Hippasus di Metapontum, chì hà produttu una prova (assai prubabilmente geumetrica) di l'irraziunalità di a radica quatrata di 2. A storia conta ch'è Hippasus hà scupertu i numeri irraziunali pruvendu à riprisintà a radica quatrata di 2 cum'è una frazzione. Eppuru, Pitagora credia in l'assoluità di i numeri è ùn pudia accittà l'esistenza di numeri irraziunali. Ùn pudia micca confutà a so esistenza per via di a logica, ma ùn pudia micca accittà i numeri irraziunali, è dunque, sient'è allegazione à spessu rapurtate, hà cundannatu Hippasus à a morte per annigamentu, per impidisce a prupagazione di 'ssa nutizia scuncertante.

 

U XVIu seculu hà arricatu l'accittazione europea finale di i numeri integrali è frazziunarii negativi. À u XVIIu seculu, i matematichi apradavanu di solitu e frazzione decimale incù una nutazione muderna. Eppuru, ùn hè eppuru ch'è à u XIXu seculu ch'è i matematichi anu spiccatu l'irraziunali in parte algebrichi è trascendentali, è anu torna intrapresu u studiu scentificu di l'irraziunali. Quessa era firmata guasi in sonnu dapoi Euclide. In u 1872, a publicazione di e teurie di Karl Weierstrass (da u so elevu E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor, è Richard Dedekind. In u 1869, Carlu Méray avia pigliatu listessu puntu di partenza ch'è Heine, ma a teuria hè generalmente riferita à l'annu 1872. U metudu di Weierstrass hè statu espostu cumplittamente da Salvatore Pincherle (1880), è quellu di Dedekind hà ricevutu un'impurtanza supplementaria grazia à i travagli ultiriori di l'autore (1888) è à l'appruvazione di Paulu Tannery (1894). Weierstrass, Cantor è Heine fondanu e so teurie annantu à e serie infinite, mentre ch'è Dedekind fonda a soia annantu à l'idea di una tagliatura (Schnitt) in u sistemu di i numeri reali, spicchendu tutti i numeri raziunali in dui gruppi avendu certe pruprietà caratteristiche. U sughjettu hà ricevutu i cuntributi ultiriori da parte di Weierstrass, Kronecker, è Méray.

A ricerca di e radiche di l'equazione quintiche è di gradu superiore hà custituitu un sviluppu impurtante, u teurema d'Abel-Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) hà mustratu ch'elle ùn pudianu micca esse risolte per via di i radicali (formule implichendu unicamente l'operazione aritmetiche è e radiche). Era dunque necessariu di cunsiderà l'inseme più largu di i numeri algebrichi (tutte e soluzione di l'equazione polinumiale). Galois (1832) hà culligatu l'equazione polinumiale à a teuria di i gruppi, ciò chì hà datu nascita à a teuria di Galois.

E frazzione cuntinue, strettamente ligate à i numeri irraziunali (è duvute à Cataldi, 1613), anu ricevutu l'attinzione da parte di Euler, è à u principiu di u 19imu seculu, sò state messe in evidenza da i scritti di Joseph Louis Lagrange. Altri cuntributi nutevuli sò stati fatti da Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), è Günther (1872). Ramus hà prima culligatu u sughjettu à i determinanti, ciò chì hà datu locu, incù i cuntributi ultiriori di Heine, Möbius è Günther, à a teuria di i Kettenbruchdeterminanten.

Numeri trascendenti è reali

L'esistenza di i numeri trascendenti hè stata stabilita per a prima volta da Liouville (1844, 1851). Hermite hà pruvatu in 1873 ch'è e hè trascendente è Lindemann hà pruvatu in 1882 ch'è π hè trascendente. Infine, Cantor hà mustratu ch'è l'inseme di tutti i numeri reali hè innumerevulmente infinitu ma ch'è l'inseme di tutti i numeri algebrichi hè numerevulmente infinitu, è ch'ellu esiste dunque un numeru innumerevulmente infinitu di numeri trascendenti.

Infinitu è infinitesimali

 

A più cuncezzione anziana cunnisciuta di l'infinitu matematica apparisce in u Yajur Veda, un'anziana scrittura indiana, chì dichjara à un mumentu datu: "S'è voi toglite una parte di l'infinitu o aghjunghjite una parte à l'infinitu, ciò chì ferma hè l'infinitu." L'infinitu era un sughjettu di studiu filusoficu populare ind'è i matematichi giaini, ver' di 400 nanzu à Cristu. Distinguianu cinque tipi di infinitu: infinitu in una è dui direzzione, infinitu in superficia, infinitu dignalocu è infinitu perpetuamente. U simbulu ${\displaystyle {\text{∞}}}$  hè à spessu imprudatu per riprisintà una quantità infinita.

Aristotele hà definitu a nuzione occidentale tradiziunale di infinitu matematicu. Hà fattu a distinzione trà l'infinitu reale è l'infinitu putenziale, u cunsensu generale essendu ch'è solu quest'ultimu avia un valore reale. E Duie nuvelle scenze di Galileu abburdavanu l'idea di currispundenze biunivoche trà insemi infiniti. Ma a prossima avanzata magiore di a teuria hè stata rializata da Georg Cantor chì in u 1895, hà publicatu un libru annantu à a so nuvella teuria di l'insemi, intruducendu, frà altru, i numeri trasfiniti è furmulendu l'ipotesi di u cuntinuu.

In l'anni 1960, Abraham Robinson hà mustratu cume i numeri infinitamente grandi è infinitesimali ponu esse definiti di manera rigurosa è usati per sviluppà u campu di l'analisi non standard. U sistemu di i numeri iperreali riprisenta un metudu rigurosu per trattà l'idee annantu à i numeri infiniti è infinitesimali chì eranu state imprudate di manera disinvolta da i matematichi, i scentifichi è l'ingenieri dapoi l'invinzione di u calculu infinitesimale da Newton è Leibniz.

Una virsione geumetrica muderna di l'infinitu hè data da a geumitria pruiettiva, chì introduttu di i "punti ideali à l'infinitu", unu per ogni direzzione spaziale. Ogni famiglia di linie parallele in una direzzione data hè supposta cunfluisce ver' di u puntu ideale currispundente. Quessa hè strettamente ligata à l'idea di punti di fughjera in u disegnu in pruspittiva.

I numeri cumplessi

U prima riferimentu à e radiche quatrate di i numeri negativi si trova in i travagli di u matematicu è invintore Héron d'Alissandria à u 1ima seculu di a nostra epica, quandu ellu hà esaminatu u vulume di un fustu di piramida impussibile. Sò diventate più impurtante quandu, à u XVIu seculu, e formule chjuse per e radiche di i pulinomii di u terzu è di u quartu gradu sò stati scuperte da matematichi taliani tali Niccolò Fontana Tartaglia è Gerolamo Cardano. Omu s'hè in freccia resu cunta ch'è 'sse formule, ancu s'è omu ùn s'intarissava ch'è à e soluzione reale, necessitavanu qualchì volta a manipulazione di radiche quatrate di numeri negativi.

 

Era duppiamentu scuncertante chì, à l'epica, ùn cunsidaravanu mancu i numeri negativi cum'è un terrenu solidu. Quandu René Descartes hà invintatu u termine " imaginariu " per 'sse quantità in u 1637, l'hà vulsutu pighjurativu. (Vede numeru imaginariu per una discussione annantu à a "rialità" di i numeri cumplessi.) un'antra fonte di cunfusione era ch'è l'equazione

${\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$ 

simbrava capricciosamente incompatibile incù l'identità algebrica

${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}$ 

chì hè valevule per i numeri reali pusitivi a è b, è era ancu imprudata in i calculi di numeri cumplessi incù unu di i a, b pusitivu è l'altru negativu. L'usu scurrettu di 'ss'identità, è di l'identità cunnessa

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$ 

in u casu induve a è b sò tremindui negativi hà ancu scumudatu Euler. 'Ssa difficultà l'hà finalmente cunduttu à imprudà u simbulu spiciale i à a piazza di ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$  per evità 'ssu errore.

U XVIIIu seculu hà vistu i travagli d'Abraham di Moivre è di Leonhard Euler. A formula di Di Moivre (1730) enuncia :

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }$ 

quandu a formula d'analisi cumplessa d'Euler (1748) dà :

${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.}$ 

L'esistenza di i numeri cumplessi ùn hè stata accittata cumplittamente ch'è quandu Caspar Wessel ne hà discrittu l'interpritazione geumetrica in u 1799. Carl Friedrich Gauss l'hà rescuperta è popularizata une pochi di anni più tardi, è a teuria di i numeri cumplessi hà cusì cunnisciutu un'espansione nutevule. L'idea di a ripprisintazione grafica di i numeri cumplessi era eppuru apparsa da 1685, in u Di algebra tractatus di Wallis.

Sempre in u 1799, Gauss hà furnitu a prima prova di solitu accittata di u teurema fundivu di l'algebra, mustrendu ch'è ogni pulinomiu annantu à i numeri cumplessi hà unu inseme cumplettu di soluzione in 'ssu campu. L'accittazione generale di a teuria di i numeri cumplessi hè duvuta à i travagli d'Austinu Luigi Cauchy è di Niels Henrik Abel, è soprattuttu di quest'ultimu, chì fubbe u prima à usà arditamente i numeri cumplessi incù un successu bellu cunnisciutu.

Gauss hà studiatu i numeri cumplessi di a forma a + bi, induve a è b sò integrali, o raziunali (è i hè una di e duie radiche di x² + 1 = 0). U so elevu, Gotthold Eisenstein, hà studiatu u tipu a + bω, induve ω hè una radica cumplessa di x³ − 1 = 0.. Altre classe di 'ssu tipu (chjamate campi ciclotomichi) di numeri cumplessi deriveghjanu di e radiche di l'unità x^k − 1 = 0 per i valori superiori di k. 'Ssa generalisazione hè largamente duvuta à Ernst Kummer, chì hà ancu invintatu i numeri ideali, chì sò stati sprimati cum'è entità geumetriche da Felix Klein in u 1893.

In u 1850, Victor Alexandre Puiseux hà pigliatu l'iniziativa di fà a distinzione trà i poli è i punti di brancamentu, è hà introduttu u cuncettu di punti singulari essenziali, ciò chì hà finalmente cunduttu à u cuncettu di pianu cumplessu stesu.

Numeri primi

I numeri primi sò stati studiati tuttu à longu à a storia. Euclide hà cunsacratu un libru da l'Elementi à a teuria di i numeri primi; ci hà dimustratu l'infinitezza di i numeri primi è u teurema fundamentale di l'aritmetica, è hà prisintatu l'algoritmu d'Euclide per truvà u più grande divisore cumunu di dui numeri.

In u 240 avanti G.-C., Eratostene hà usatu u stacciu d'Eratostene per isulà prestu i numeri primi. Ma a maiò parte di i sviluppi ultiriori di a teuria di i numeri primi in Europa datanu di a Rinascita è di l'epiche ultiriore.

In u 1796, Adrien-Marie Legendre hà cungetturatu u teurema di i numeri primi, discrivendu a distribuzione asintotica di i numeri primi. Altri risultati cuncirnendu a distribuzione di i numeri primi inchjudenu a prova d'Euler ch'è a somma di e reciproche di i numeri primi diverge, è a cungettura di Goldbach, chì afferma ch'è ogni numeru paru sufficintamente grande hè a somma di dui numeri primi. Un'antra cungettura ligata à a distribuzione di i numeri primi hè l'ipotesi di Riemann, furmulata da Bernhard Riemann in u 1859. U teurema di i numeri primi hè, fatta fine, statu pruvatu da Ghjacumu Hadamard è Carlu di a Vallée-Poussin in u 1896. E cungetture di Goldbach è di Riemann fermanu sempre micca pruvate è micca confutate.

I numeri ponu esse classificati in insemi, chjamati sistemi di numeri, tali i numeri naturali è i numeri reali. E principale categurie di numeri sò e seguente:

Principali sistemi di numeri

Numeri naturali

I numeri i più famigliari sò i numeri naturali (qualchì volta chjamati numeri intieri o numeri da cuntà) : 1, 2, 3, è tira è tocca. Tradiziunalmente, a siquenza di i numeri naturali principiava da 1 (0 ùn era mancu cunsideratu cum'è un numeru da i grechi antichi.) Eppuru, à u 19imu seculu, i teorichi di l'insemi è altri matematichi anu principiatu à inchjude 0 (cardinalità di l'inseme biotu, vene à dì 0 elementi, induve 0 hè dunque u più numeru chjucu cardinale) in l'inseme di i numeri naturali. Oghje, differenti matematichi usanu u termine per discrive i duie insemi, inchjudendu 0 o nò. U simbulu matematicu di l'inseme di tutti i numeri naturali hè N, ancu scrittu ${\displaystyle \mathbb {N} }$ , è qualchì volta ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$  o ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$  quandu ellu hè necessariu di indicà s'è l'inseme deve cumincià da 0 o 1, rispittivamente.

In u sistemu di numerazione in basa 10, usatu guasi universalmente oghje per l'operazione matematiche, i simbuli di i numeri naturali si scrivenu cù l'aiutu di deci ciffri : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 è 9. A basa hè u numeru di ciffri singuli, cumpresu u zeru, ch'è un sistemu numericu usa per riprisintà i numeri (per u sistemu decimale, a basa hè di 10). In 'ssu sistemu di basa 10, u ciffru u più à dritta di un numeru naturale hà un valore di piazza di 1, è ogni altru ciffru hà un valore di piazza deci volta superiore à quella da u ciffru à a so dritta.

In a teuria di l'insemi, chì pò serve di fundamentu assiumaticu à e matematiche muderne, i numeri naturali ponu esse riprisintati da classe d'insemi equivalenti. Per indettu, u numeru 3 pò esse riprisintatu cum'è a classa di tutti l'insemi chì anu esattamente trè elementi. Di manera alternativa, in l'aritmetica di Peano, u numeru 3 hè riprisintatu da sss0, induve s hè a funzione " successore " (vale à dì ch'è 3 hè u terzu successore di 0). Numerose ripprisintazione differente sò pussibile ; tuttu ciò chì hè necessariu per riprisintà furmalmente 3 hè di iscrive trè volte un certu simbulu o una certa cunfigurazione di simbuli.

Numeri intieri

U negativu di un numeru intieru pusitivu hè definitu cum'è un numeru chì produce 0 quandu ellu hè aghjuntu à u numeru intieru pusitivu currispundente. I numeri negativi sò generalmente scritti incù un segnu negativu (u segnu di menu). Per indettu, u negativu di 7 si scrive -7, è 7 (-7) 0. Quandu l'inseme di i numeri negativi hè cumbinatu incù l'inseme di i numeri naturali (cumpresu 0), u risultatu hè definitu cum'è l'inseme di i numeri intieri, Z ancu scrittu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . A lettera Z vene da u tedescu Zahl, chì significheghja "numeru". L'inseme di i numeri intieri forma un anellu incù l'operazione d'addizione è di multiplicazione.

I numeri naturali formanu un sottuinsemu di i numeri intieri. Cum'ellu ùn esiste micca una norma cumuna per l'inclusione o nò di u zeru in i numeri naturali, i numeri naturali senza zeru sò cumunamente chjamati numeri intieri pusitivi, è i numeri naturali incù zeru sò chjamati numeri intieri micca negativi.

Numeri raziunali

Un numeru raziunale hè un numeru chì pò esse sprimatu cum'è una frazzione incù un numeratore intieru è un dinuminatore intieru pusitivu. I dinuminatori negativi sò autorizati, ma sò di solitu evitati, chì ogni numeru raziunale hè uguale à una frazzione à dinuminatore pusitivu. E frazzione si scrivenu cum'è dui numeri intieri, u numeratore è u dinuminatore, incù un'asta di siparazione trà di elli. A frazzione m/n riprisenta m parte di un tuttu divisu in n parte uguale. Duie frazzione differente ponu currisponde à listessu numeru raziunale ; per indettu 1/2 è 2/4 sò uguale.

S'è u valore assolutu di m hè superiore à n (suppostu esse pusitivu), tandu u valore assolutu di a frazzione hè superiore à 1. E frazzione ponu esse superiore, inferiore o uguale à 1 è ponu ancu esse pusitive, negative o nulle. L'inseme di tutti i numeri raziunali cumprende l'intieri apposta chì ogni intieru pò esse scrittu sottu a forma di frazzione incù u dinuminatore 1. Per indettu, -7 pò scrive si -7/1. U simbulu di i numeri raziunali hè Q (per quoziente), ancu scrittu ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .

I numeri reali

U simbulu di i numeri reali hè R, ancu scrittu sottu à a forma ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ . Cumprendenu tutti i numeri di misura. Ogni numeru reale currisponde à un puntu annantu à a dritta numerica. In u paragrafu seguente, ci interisseremu per u più à i numeri reali pusitivi. U trattamentu di i numeri reali negativi hè cunformu à e regule generale di l'aritmetica è a so denutazione cunsiste simpliciamente à prefissà u ciffru pusitivu currispundente incù un segnu di menu, per indettu -123,456.

A maiò parte di i numeri reali ùn ponu esse avvicinati ch'è da ciffri decimali, in i quali un non decimale hè piazzatu à dritta di u ciffru avendu u valore di piazza 1. Ogni ciffru à dritta di u non decimale hà un valore di piazza uguale à un dicesimu di u valore di piazza da u ciffru à a so sinistra. Per indettu, 123.456 riprisenta 123456/1000, o in altri termini, centu, dui dicine, trè uni, quattru dicesimi, cinque centesimi è sei millesimi. Un numeru reale ùn pò esse sprimatu incù un numeru finitu di ciffri decimali ch'è si ellu hè raziunale è ch'è a so parte frazziunaria hà un dinuminatore chì i so fattori primi sò 2 o 5 o e dui, chì sò i fattori primi di 10, a basa di u sistemu decimale. Cusì, per indettu, a mità vale 0,5, u quintu vale 0,2, u dicesimu vale 0,1 è u cinquantesimu vale 0,02. A ripprisintazione di altri numeri reali sottu forma di decimale necessiteria una siquenza infinita di ciffri à dritta di u non decimale. S'è 'ssa siquenza infinita di ciffri suvita un mudellu, pò esse scritta incù un'ellisse o un'antra nutazione chì indicheghja u mudellu ripetitivu. Una tale decimale hè chjamata decimale ripetitiva. Cusì, 1/3 pò esse scrittu 0,333..., incù un'ellisse per indicà ch'è u mutivu cuntinueghja.

 

S'avvera ch'è 'sse decimale ripetute (cumpresu a ripetizione di i zeri) designanu esattamente i numeri raziunali, vene à dì ch'è tutti i numeri raziunali sò ancu i numeri reali, ma ùn hè micca u casu ch'è ogni numeru reale sia raziunale. Un numeru reale chì ùn hè micca raziunale hè chjamatu irraziunale. Un celebru numeru reale irraziunale hè u numeru π, u rapportu trà a circumfarenza di un chjerchju qualunque è u so diamitru. Quandu pi hè scrittu sottu à a forma ${\displaystyle \pi =3.14159265358979\dots ,}$  cum'ellu hè qualchì volta u casu, l'ellisse ùn significheghja micca ch'è e decimale si ripetenu (ùn si ripetenu micca), ma piuttostu ch'è ùn anu micca fine. Hè statu pruvatu ch'è π hè irraziunale. Un antru numeru bellu cunnisciutu, ch'ellu hè statu pruvatu ch'è ellu si tratta di un numeru reale irraziunale, hè ${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,}$  a radica quatrata di 2, vene à dì u singulu numeru reale pusitivu chì u quatratu hè 2. 'Ssi dui numeri sò stati apprussimati (per ordinatore) à trilioni (1 trilione 1012 1000 000000 000) di ciffri.

Oltre 'ssi esempii nutevuli, guasi tutti i numeri reali sò irraziunali è ùn anu cusì micca mutivi ripetitivi è dunque micca ciffru decimale currispundente. Ùn ponu esse avvicinati ch'è da ciffri decimali, designendu i numeri reali attundati o muzzati. Ogni numeru attundatu o mozzu hè necessariamente un numeru raziunale, chì ùn ne esiste ch'è un numeru innumerevule. Tutte e misure sò, par natura, apprussimazione è cumportanu sempre una margine d'errore. Cusì, 123,456 hè cunsideratu cum'è un'apprussimazione di ogni numeru reale superiore o uguale à 1234555/10000 è strittamente inferiore à 1234565/10000 (attundatu à 3 decimale), o di ogni numeru reale superiore o uguale à 123456/1000 è strittamente inferiore à 123457/1000 (troncature dopu à a 3. Decimale). I ciffri chì sugiriscenu un'accuratezza superiore à quella di a misura ella stessa devenu esse cancellati. I ciffri rimanenti sò tandu chjamati ciffri significativi. Per indettu, e misure incù una regula ponu raramente esse effittuate senza una margine d'errore di omancu 0,001 m. S'è i lati di un rettangulu sò misurati à 1,23 m è 4,56 m, a multiplicazione dà una superficia per u rettangulu cumpresa trà 5,614591 m2 è 5,603011 m2. Datu chì ancu u sicondu ciffru dopu à a decimale ùn hè micca cunsirvatu, i ciffri seguenti ùn sò micca significativi. Per via di cunsequenza, u risultatu hè generalmente attundatu à 5,61.

Cum'è una stessa frazzione pò esse scritta di parechji modi, unu stessu numeru reale pò avè parechje ripprisintazione decimale. Per indettu, 0,999..., 1,0, 1,00, 1,000,..., riprisentanu tutti u numeru naturale 1. Un numeru reale datu ùn hà ch'è e ripprisintazione decimale seguente : un'apprussimazione à un numeru compiu di decimale, un'apprussimazione in a quale un mudellu hè stabilitu chì si perseguiteghja per un numeru illimitatu di decimale o un valore esattu incù sultantu un numeru finitu di decimale. In quest'ultimu casu, l'ultimu ciffru micca nullu pò esse rimpiazzatu da u ciffru unu più chjucu suvitatu da un numeru illimitatu di 9, o l'ultimu ciffru micca nullu pò esse suvitatu da un numeru illimitatu di zeri. Cusì, u numeru reale esattu 3,74 pò ancu scrive si 3,7399999999... È 3,74000000000..... Listessa, un numeru decimale cumpurtendu un numeru illimitatu di 0 pò esse turnatu à scrive cancellendu i 0 à dritta di a decimale, è un numeru decimale cumpurtendu un numeru illimitatu di 9 pò esse turnatu à scrive aumintendu di un'unità u ciffru -9 u più à dritta è trasfurmendu tutti i 9 à dritta di 'ssu ciffru in 0. Infine, una siquenza illimitata di 0 à dritta di a decimale pò esse abbandunata. Per indettu, 6,849999999999... = 6,85 è 6,850000000000... = 6,85. Infine, s'è tutti i ciffri di un numerale sò 0, u numeru hè 0, è s'è tutti i ciffri di un numerale sò una catena senza fine di 9, pudete lascià cascà i 9 à dritta di a decimale, è aghjunghje unu à a catena di 9 à manca di a decimale. Per indettu, 99,999... = 100.

I numeri reali pussedenu ancu una pruprietà impurtante ma assai tecnica chjamata a pruprietà di a minima limita superiore.

Omu pò mustrà ch'è ogni campu ordinatu, chì hè ancu cumplettu, hè isumorfu à i numeri reali. I numeri reali ùn sò eppuru micca un campu algebricamente chjusu, chì ùn cumprendenu micca soluzione (à spessu chjamata radica quatrata di menu unu) à l'equazione algebrica ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ .

Numeri cumplessi

Passendu à unu più grande livellu d'astrazzione, i numeri reali ponu esse stesi à i numeri cumplessi. Stu inseme di numeri hè apparsu sturicamente pruvendu à truvà e formule chjuse per e radiche di i pulinomii cubichi è quadratichi. Quessa hà cunduttu à sprissione implichendu e radiche quatrate di numeri negativi, è finalmente à a definizione di un nuvellu numeru : a radica quatrata di -1, nutata da i, un simbulu attribuitu da Leonhard Euler, è chjamata l'unità imaginaria. I numeri cumplessi sò custituiti di tutti i numeri di a forma ${\displaystyle \,a+bi}$  induve a è b sò i numeri reali. Per via di quessa, i numeri cumplessi currispondenu à punti di u pianu cumplessu, un spaziu vetturiale in duie dimensione reale. In a sprissione a bi, u numeru reale a hè chjamatu a parte reale è b hè chjamatu a parte imaginaria. S'è a parte reale di un numeru cumplessu hè uguale à 0, u numeru hè chjamatu un numeru imaginariu o puramente imaginariu ; s'è a parte imaginaria hè uguale à 0, u numeru hè un numeru reale. Cusì, i numeri reali sò un sottuinsemu di i numeri cumplessi. S'è e parte reale è imaginariu di un numeru cumplessu sò tremindui numeri intieri, tandu u numeru hè chjamatu un numeru intieru gaussianu. U simbulu di i numeri cumplessi hè C o ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

U teurema fundivu di l'algebra afferma ch'è i numeri cumplessi formanu un campu algebricamente chjusu, ciò chì significheghja ch'è ogni pulinomiu à cuefficenti cumplessi hà una radica in i numeri cumplessi. Cum'è i reali, i numeri cumplessi formanu un campu, chì hè cumplettu, ma in cuntrariu di i reali, ùn hè micca ordinatu. Vene à dì ch'è ùn ci hè micca sensu cuerente à dì ch'è i hè superiore à 1, nè à dì ch'è i hè inferiore à 1. In termini tecnichi, i numeri cumplessi ùn anu micca ordine tutale compatibile incù l'operazione di u campu.

Numeri pari è dispari

Un numeru paru hè un numeru intieru chì hè "uniformemente divisibile" via dui, vene à dì divisibile via dui senza restu ; un numeru disparu hè un numeru intieru chì ùn hè micca paru. Ogni numeru disparu n pò esse custruitu da a formula n = 2k + 1,, per un intieru k apprupriatu. Principiendu cù k = 0,, i primi numeri dispari micca negativi sò 1, 3, 5, 7,.... Ogni numeru paru m hà a forma m = 2k induve k hè di novu un numeru intieru. Listessa, i primi numeri pari micca negativi sò 0, 2, 4, 6,....

Numeri primi

Un numeru prima hè un intieru superiore à 1 chì ùn hè micca u produttu di dui intieri pusitivi più chjuchi. I primi numeri primi sò 2, 3, 5, 7, è 11. Ùn esiste micca di formula cusì simplicia ch'è per i numeri pari è dispari per ingenerà i numeri primi. I numeri primi sò stati largamente studiati dapoi più di 2000 anni è anu datu locu à numerose quistione, chì certe sultantu anu truvatu una risposta. U studiu di 'sse quistione rileva di a teuria di i numeri. A cungettura di Goldbach hè un esempiu di quistione firmata senza risposta : "Ogni numeru paru hè a somma di dui numeri primi ?"

Una quistione a a quale ellu hè statu rispostu, à sapè s'è ogni numeru intieru superiore à un hè un produttu di numeri primi di una sola manera, eccituatu un reacconciu di i numeri primi, hè stata cunfirmata ; 'ssa affirmazione pruvata hè chjamata teurema fundivu di l'aritmetica. Una prova apparisce in l'Elementi d'Euclide.

Altre classe di intieri

Numerosi sottuinsemi di i numeri naturali anu fattu l'ogettu di studii specifichi è sò stati numinati, à spessu siont'è u prima matematicu chì l'hà studiati. I numeri di Fibonacci è i numeri perfetti sò l'esempii di tali insemi di intieri.

Numeri algebrichi, irraziunali è trascendentali

I numeri algebrichi sò quelli chì sò una soluzione à un'equazione polinumiale à cuefficenti intieri. I numeri reali chì ùn sò micca numeri raziunali sò chjamati numeri irraziunali. I numeri cumplessi chì ùn sò micca algebrichi sò chjamati numeri trascendentali. I numeri algebrichi chì sò soluzione di un'equazione polinumiale monica à cuefficenti intieri sò chjamati numeri intieri algebrichi.

Numeri custruttibili

Mutivati da i prublemi classichi di custruzzione à a regula è à u cumpassu, i numeri custruttibili sò i numeri cumplessi chì e so parte reale è imaginarie ponu esse custruite à a regula è à u cumpassu, à parte si da un sigmentu datu di lunghezza unitaria, in un numeru finitu di tappe.

Numeri calculevuli

Un numeru calculevule, ancu cunnisciutu cum'è numeru ricursivu, hè un numeru reale tale ch'ellu esiste un algoritmu chì, datu un numeru pusitivu n cum'è intrata, produce i n primi ciffri di a ripprisintazione decimale di u numeru calculevule. E definizione equivalente ponu esse date usendu e funzione μ récursive, e macchine di Turing o u λ-calcul. I numeri calculevuli sò stabili per tutte l'operazione aritmetiche solite, cumpresu u calculu di e radiche di un pulinomiu, è formanu dunque un campu chjusu reale chì cuntene i numeri algebrichi reali.

I numeri calculevuli ponu esse cunsiderati cum'è i numeri reali chì ponu esse riprisintati esattamente in un ordinatore : un numeru calculevule hè riprisintatu esattamente da i so primi ciffri è un prugramma per calculà i ciffri seguenti. Eppuru, i numeri calculevuli sò raramente usati in a pratica. Una di e raghjone hè ch'ellu ùn esiste nissunu algoritmu permittendu di testà l'ugualità di dui numeri calculevuli. Più precisamente, ùn pò micca esiste algoritmu chì piglia qualsiasi numeru calculevule cum'è intrata, è dicide in ogni casu s'è 'ssu numeru hè uguale à zeru o micca.

L'inseme di i numeri calculevuli hà listessa cardinalità ch'è i numeri naturali. Per via di cunsequenza, guasi tutti i numeri reali ùn sò micca calculevuli. Eppuru, hè assai difficile di produce in modu esplicitu un numeru reale chì ùn sia micca calculevule.

Numeri p-adichi

I numeri p-adichi ponu avè espansione infinitamente longhe à manca di a virgula, à listessu modu ch'è i numeri reali ponu avè di l'espansione infinitamente longhe à dritta. U sistemu di numerazione chì ne risulta dipende di a basa imprudata per i ciffri : qualsiasi basa hè pussibile, ma una basa di numeri primi offre e megliu pruprietà matematiche. L'inseme di i numeri p-adichi cuntene i numeri raziunali, ma ùn hè micca cuntenutu in i numeri cumplessi.

L'elementi di un campu di funzione algebriche annantu à un corpu finitu è i numeri algebrichi anu numerose pruprietà simile (vede Analugia di i campi di funzione). Per via di cunsequenza, sò à spessu cunsiderati cum'è numeri da i teorichi di i numeri. I numeri p-adichi ghjocanu un rollu impurtendu in 'ss'analugia.

Numeri ipercumplessi

Certi sistemi di numeri chì ùn sò micca inchjusi in i numeri cumplessi ponu esse custruiti à parte si da i numeri reali di una manera chì generalizeghja a custruzzione di i numeri cumplessi. Sò qualchì volta chjamati numeri ipercumplessi. Inchjudenu i quaternioni H, introdutti da Sir William Rowan Hamilton, in i quali a multiplicazione ùn hè micca cummutativa, l'ottunioni, in i quali a multiplicazione ùn hè micca assuciativa in più di ùn esse micca cummutativa, è i sedenioni, in i quali a multiplicazione ùn hè micca alternativa, nè assuciativa nè cummutativa.

Numeri trasfiniti

Per trattà l'insemi infiniti, i numeri naturali sò stati generalizati à i numeri ordinali è à i numeri cardinali. U prima dà l'ordine di l'inseme, mentre ch'è u sicondu dà a so taglia. Per l'insemi finiti, i numeri ordinali è cardinali sò identificati à i numeri naturali. In u casu infinitu, parechji numeri ordinali currispondenu à listessu numeru cardinale.

Numeri non-standard

I numeri iperreali sò usati in analisi non standard. L'iperreali, o reali non standard (di solitu nutati R), designanu un campu ordinatu chì hè un'estinsione pulita di u campu ordinatu di i numeri reali R è chì suddisface à u principu di trasfirimentu. 'Ssu principu permette di reinterprità l'enunciati veri di u prima ordine cuncirnendu R cum'è l'enunciati veri di u prima ordine cuncirnendu R.

I numeri superreali è soprareali stendenu i numeri reali aghjunghjendu i numeri infinitamente chjuchi è i numeri infinitamente grandi, ma formanu sempre campi.

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