Perpendicularitat

A ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, existeixen les següents combinacions que donen angles rectes:

Rectes: 2 rectes que es tallen (són per tant al mateix pla) formen a la vegada 4 angles rectes. Aquest és l'únic cas que existeix també a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Cal dir que una recta té infinites rectes perpendiculars passant per cadascun dels seus punts que estan contingudes en un pla. 2 rectes són perpendiculars si, i només si, el producte escalar dels seus vectors directors és igual a 0.

Recta-Pla: Aquesta relació és única, per cada punt d'una recta només existeix un pla perpendicular i per cada punt del pla una recta perpendicular. La recta que compleix això és la recta normal al pla.

Plans: Per cada punt d'un pla hi ha una infinitat de plans perpendicular i tots ells contenen la recta perpendicular al pla.

Dos plans són perpendiculars si, i només si, els seus vectors normals també ho són.

En un sistema de coordenades cartesià, les equacions de 2 línies rectes no verticals ${\displaystyle L}$  i ${\displaystyle M}$  són:

${\displaystyle L:y=ax+b,}$ 
${\displaystyle M:y=cx+d,}$ 

${\displaystyle a}$  i ${\displaystyle c}$  són anomenades pendents de L i M.

Les línies seran perpendiculars si, i només si, satisfan la condició:

${\displaystyle a*c=-1}$ .

Exemple

Les rectes ${\displaystyle y=3x-2}$  i ${\displaystyle y=1-x/3}$  són perpendiculars ja que el producte de les seves pendents és -1.

 

Procediment per construir la línia perpendicular a AB passant pel punt P usant compàs i regle:

• Pas 1 (vermell): construïu un cercle amb centre P per crear els punts equidistants A' i B' a les interseccions amb AB.

• Pas 2 (verd): construïu sengles cercles centrats a A' i B', passant per P. Sia Q l'altre punt d'intersecció dels dits cercles.
• Pas 3 (blau): connecteu P i Q per construir la perpendicular PQ.

Demostració: Els triangles PQA' i PQB' són congruents doncs tenen tots tres costats iguals. Els triangles POA' i POB' també són congruents en ser OPB' i OPA' angles iguals. Això implica que els angles POA' i POB' són iguals i rectes.

• Ortogonal
• Paral·lelisme