Cijeli Broj

Cijeli brojevi ne smiju imati decimalni nastavak tj. pri pisanju tog broja u vidu razlomka, nazivnik mora biti 1. Oznaka skupa cijelih brojeva je Z. Svi prirodni brojevi se nazivaju pozitivni cijeli brojevi, 0 je neutralan broj u odnosu na sabiranje, a brojevi manji od 0 se zovu negativni cijeli brojevi. Negativni brojevi u svojoj notaciji imaju ispred predznak minus (-) i oni su manji od 0. Pozitivni brojevi imaju predznak plus(+), koji se ne piše i oni su uvijek veći od 0. U skupu cijelih brojeva, ne postoji najmanji ili najveći broj, ali je skup cijelih brojeva linearno uređen skup relacijom ${\displaystyle \leq }$ 

Apsolutna vrijednost

Apsolutna vrijednost je vrijednost broja bez njegovog predznaka tj. apsolutna vrijednost mijenja negativnu vrijednost u pozitivnu. Ako je vrijednost već pozitivna, onda se ona ne mijenja. Apsolutna vrijednost uvijek mora biti pozitivan broj. Stavljajući se pod modul (| |), izračunava se apsloutna vrijednost datog broja. Naprimjer, apsloutna vrijednost broja 5 je 5, a broja -5 je 5.

Kod pozitivnih brojeva važi pravilo: Što je apsolutna vrijednost veća to je i broj veći.

Kod negativnih brojeva važi pravilo: Što je apsolutna vrijednost veća to je broj manji.

Znači

1<2<3<4<5...

-1>-2>-3>-4>-5...

Najmanji pozitivan cijeli broj je 1, a najveći ne postoji. Najmanji negativan cijeli broj ne postoji, a najveći je -1.

Predznak ispred zagrade

Ako ispred zagrade stoji plus (ili ništa) onda se zagrada briše i nastavlja se računanje kao da nije ni bilo zagrade. Ako ispred zagrade stoji minus, zagrada se briše i svi znakovi u zagradi se mijenjaju. (Ako je bio minus onda će biti plus, a ako je bio plus ispred broja, onda će biti minus).

Naprimjer:

4+(8-3+2)-1=4+8-3+2-1=10

4-(8-3+2)-1=4-8+3-2-1=-4

Računanje sa negativnim cijelim brojevima

Ako se trebaju sabrati dva negativna cijela broja, onda im se saberu apsolutne vrijednosti, i ispred tog zbroja se stavi predznak minus (-).

Ako se trebaju sabrati negativan i pozitivan cijeli broj, onda im se izračunaju apsolutne vrijednosti, zatim se oduzme manja od veće apsolutne vrijednosti i stavi se predznak veće apsolutne vrijednosti.

Kako bi se sebi olakšali računanje sa negativnim brojevima, te se riješili dva (pred)znaka, onda treba slijediti slijedeća tri pravila:

Minus(-) i minus(-) daju plus(+)

Plus(+) i plus(+) daju plus(+)

Minus(-) i plus(+) daju minus(-)

Znači, oduzimanje negativnog je sabiranje pozitivnog, sabiranje negativnog je oduzimanje pozitivnog itd.

Kod množenja i dijeljenja, ako je paran broj faktora (ili djelilaca) istog predznaka, onda je rezultat pozitivan, a ako je broj istih predznaka neparan, onda je rezultat negativan.

Primjer

4+3=(+4)+(+3)=4+3=7

8-3=(+8)-(+3)=8-3=5

3-8=(+3)-(+8)=3-8=-5

-4+(-3)=-4-3=-7

3-(-8)=3+8=11

2*3=6

-2*(-3)=6

2*(-3)=-6

8:4=2

-8:(-4)=2

-8:4=-2

 

Šablon:Bočni stubac teorije grupa Cijeli broj ili integer je broj nula (Šablon:Num), pozitivan prirodni broj (Šablon:Num, Šablon:Num, Šablon:Num, itd.) ili negativan cijeli broj sa predznakom minus (−1, −2, −3, itd.). Negativni brojevi su aditivni inverzi odgovarajućih pozitivnih brojeva.< U jeziku matematike, skup cijelih brojeva se često označava podebljano Šablon:Matematika ili crna tabla podebljano${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .

Skup prirodnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {N} }$  je podskup od ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , koji je zauzvrat podskup skupa svih racionalnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , sam podskup realnih brojeva${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Kao i prirodni brojevi, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  je prebrojivo beskonačan. Cijeli broj može se smatrati realnim brojem koji se može napisati bez razlomne komponente. Naprimjer, 21, 4, 0 i −2048 su cijeli brojevi, dok 9,75, 5+1/2 i Šablon:Sqrt nisu.

Cijeli brojevi čine najmanju skup i najmanji prsten koji sadrži prirodne brojeve. U algebarskoj teoriji brojeva, cijeli brojevi se ponekad kvalificiraju kao racionalni cijeli brojevi kako bi se razlikovali od općenitijih algebarskih cijelih brojeva. U stvari, (racionalni) cijeli brojevi su algebarski cijeli brojevi koji su također racionalni brojevi.

 

Šablon:Bočni stubac teorija prstenova

Kao i prirodni brojevi, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  je zatvoren pod operacije sabiranja i množenja , to jest, zbir i proizvod bilo koja dva cijela broja je cijeli broj. Međutim, uz uključivanje negativnih prirodnih brojeva (i što je najvažnije, Šablon:Num), ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , za razliku od prirodnih brojeva, također je zatvoren pod oduzimanjem.

Cijeli brojevi formiraju unitalni prsten koji je najosnovniji, u sljedećem smislu: za bilo koji jedinstveni prsten postoji jedinstveni prstenski homomorfizam iz cijelih brojeva u ovaj prsten. Ovo univerzalno svojstvo, naime biti početni objekt u kategoriji prstenova, karakteriziran prsten ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .

${\displaystyle \mathbb {Z} }$  nije zatvoren pod podjela, budući da količnik dva cijela broja (npr. 1 podijeljeno sa 2) ne mora biti cijeli broj. Iako su prirodni brojevi zatvoreni pod eksponencijal, cijeli brojevi nisu (pošto rezultat može biti razlomak kada je eksponent negativan).

Sljedeća tabela navodi neka od osnovnih svojstava sabiranja i množenja za bilo koje cijele brojeve a, b i c }:

Prvih pet gore navedenih svojstava za sabiranje kažu da je ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , pod sabiranjem, abelova grupa. To je također ciklička grupa, budući da se svaki cijeli broj različit od nule može napisati kao konačan zbir 1 + 1 + ... + 1 ili (−1) + ( −1) + ... + (−1). U stvari, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  pod sabiranjem je jedina beskonačna ciklička grupa—u smislu da je svaka beskonačna ciklička grupa izomorfna prema ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .

Prva četiri svojstva navedena iznad za množenje kažu da je ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  pod množenjem komutativni monoid. Međutim, nema svaki cijeli broj multiplikacijski inverz (kao što je slučaj sa brojem 2), što znači da ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  pod množenjem nije grupa.

Sva pravila svojstava iz gornje tabele (osim posljednjeg), kada se uzmu zajedno, govore da je ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  zajedno sa sabiranjem i množenjem komutativni prsten sa jedinstvom. To je prototip svih objekata takve algebarske strukture. Samo one jednakosti izraza su tačne u ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  za sve vrijednosti varijabli, koje su tačne u bilo kojem unitalnom komutativnom prstenu. Određeni cijeli brojevi koji nisu nula se mapiraju u nula u određenim prstenovima.

Nedostatak djelitelja nula u cijelim brojevima (zadnje svojstvo u tabeli) znači da je komutativni prsten ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  integralni domen.

Nedostatak multiplikativnih inverza, što je ekvivalentno činjenici da ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  nije zatvoren pod dijeljenjem, znači da ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  "nije" ' a polje. Najmanje polje koje sadrži cijele brojeve kao podbring je polje racionalni brojs. Proces konstruisanja racionalnih brojeva iz celih brojeva može se oponašati da bi se formiralo polje razlomaka bilo koje domene integrala. I nazad, počevši od algebarsko polje brojeva (proširenje racionalnih brojeva), njegov prsten cijelih brojeva može se izdvojiti, što uključuje ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  kao svoj subring.

Iako obično dijeljenje nije definirano na ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , dijeljenje "sa ostatkom" je definirano na njima. Zove se Euklidska podjela, i posjeduje sljedeće važno svojstvo: data su dva cijela broja a i b sa b ≠ 0, postoje jedinstveni celi brojevi q i r takvi da je {{math|a {{=} } q × b + r}} i 0 ≤ r < |b| , gdje |b| označava apsolutnu vrijednost od b. Cijeli broj q se naziva količnik, a r se naziva ostatak dijeljenja { a od b. Euklidski algoritam za izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja radi nizom euklidskih podjela.

Gore navedeno kaže da je ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  Euklidski domen. Ovo implicira da je ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  glavni idealni domena, a svaki pozitivni cijeli broj može biti zapisan kao produkt prostih brojeva, u suštini jedinstveninačin. Ovo je osnovna teorema aritmetike.

• Hiperinteger
• Cjelobrojna složenost
• Cjelobrojna rešetka
• Cjelobrojni dio
• Cjelobrojni niz
• Funkcija cjelobrojne vrijednosti
• Matematički simboli
• Paritet (matematika)
• Profinite integer