Тэарэма Грына — Тао

А дакладней, для любога натуральнага k існуюць арыфметычныя прагрэсіі, якія ўтрымліваюць k простых лікаў. Па сутнасці, доказ тэарэмы ўяўляе сабою пашырэнне тэарэмы Семерэдзі.

Гіпотэза аб існаванні адвольна доўгіх арыфметычных прагрэсій з простых лікаў дастаткова вядомая. Аўтар гэтай гіпотэзы невядомы, і яе можна апісаць як класічную, ці, нават, "народную". У Дзіксанавай "Гісторыі тэорыі лікаў" адзначана, што каля 1770 года Лагранж і Варынг даследавалі, якой мае быць рознасць арыфметычнай прагрэсіі з L простых, і цяжка ўявіць, каб яны не цікавіліся тым, ці былі іхнія ацэнкі дакладнымі для ўсіх L.

З’яўленне гэтай гіпотэзы не было нечаканасцю, бо простая эўрыстыка, заснаваная на тэарэме пра размеркаванне простых лікаў наводзіць на думку, што існуе ${\displaystyle \gg N^{2}/(\log N)^{k}}$  k-членных паслядоўнасцей простых ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}}$  у арыфметычнай прагрэсіі, дзе кожны з ${\displaystyle p_{i}}$  не перавышае N. У 1923 годзе Хардзі і Літльвуд выставілі адну дужа агульную гіпотэзу, якая ў адмысловым выпадку ўтрымлівае гіпотэзу пра тое, што лік такіх k-членных прагрэсій асімптатычна роўны ${\displaystyle C_{k}N^{2}/(\ln N)^{k}}$  з некаторай яўнай сталай ${\displaystyle C_{k}>0}$ .

Першы поспех на шляху доказу гэтых здагадак быў дасягнуты ван-дэр-Корпутам, які, карыстаючыся метадам Вінаградава для сум па простых ліках, даказаў гіпотэзу ў выпадку k=3, гэта значыць, што існуе бясконца многа троек простых лікаў у арыфметычнай прагрэсіі. Аднак, тады пытанне пра даўжэйшыя арыфметычныя паслядоўнасці канчаткова развязана не было. Пазней былі атрыманы некаторыя іншыя вынікі, якія ўскосна пацвярджалі выказаныя здагадкі. Развязак задачы пра арыфметычныя прагрэсіі з простых лікаў быў завершаны работай Грына і Тао.

Няхай A - любое падмноства простых лікаў дадатнай адноснай верхняй шчыльнасці

(гэта значыць,
${\displaystyle \limsup _{N\to \infty }{\frac {|A\cap [1,k]|}{\pi (k)}}>0,}$ 
дзе ${\displaystyle \pi (x)}$  абазначае колькасць простых лікаў, меншых ці роўных за x.)

Тады для любых натуральных k мноства A ўтрымлівае бясконца многа арыфметычных прагрэсій даўжыні k.

У 2006 годзе Тао і Тамар Цыглер абагульнілі свой вынік на палінаміяльныя прагрэсіі. Больш дакладна, няхай дадзены любыя цэлалікавыя мнагасклады P₁(m),..., P_k(m) ад адной зменнай m з нулявымі сталымі складнікамі, тады існуе бясконца многа цэлых x, m, такіх што лікі x + P₁(m), ..., x + P_k(m) адначасова простыя. Адмысловы выпадак, калі мнагасклады роўныя m, 2m, ..., km, дае папярэдні вынік пра існаванне арыфметычных прагрэсій даўжыні k з простых лікаў.

Вышэйазначаныя вынікі ёсць тэарэмамі існавання і не паказваюць, як знайсці такія прагрэсіі. 18 студзеня 2007 Яраслаў Урублеўскі знайшоў першую вядомую арыфметычную прагрэсію з 24 простых лікаў:

468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n, для n ад 0 да 23.

Сталая 223092870 ёсць здабыткам усіх простых лікаў ад 2 да 23.

17 траўня 2008 года Урублеўскі і Раанан Чэрмані адшукалі першы вядомы выпадак з 25 простых лікаў:

6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, для n = ад 0 да 24.

12 красавіка 2010 Бенуа Перышон, карыстаючыся праграмай Урублеўскага і Джэфа Рэйнальдса ў праекце размеркаваных вылічэнняў PrimeGrid адшукаў першы вядомы выпадак 26 простых лікаў (паслядоўнасць A204189 у OEIS):

43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n, для n = ад 0 да 25.